Номер 6.123, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.6. Умножение многочлена на многочлен. Глава 6. Многочлены - номер 6.123, страница 168.

Условие.

6.123 МОДЕЛИРУЕМ

Составьте два выражения для вычисления площади прямоугольника (рис. 6.5) и запишите соответствующее равенство. Докажите это равенство алгебраически.

Рис. 6.5

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Составьте два выражения для вычисления площади прямоугольника

Площадь прямоугольника, представленного на рисунке 6.5, можно вычислить двумя различными способами.

1. Вычисление площади всего прямоугольника.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Согласно рисунку, общая длина прямоугольника равна сумме длин отрезков $b$ и $d$, то есть $b+d$. Общая ширина равна сумме длин отрезков $a$ и $c$, то есть $a+c$.
Таким образом, первое выражение для площади $S$ имеет вид:
$S = (b+d)(a+c)$

2. Вычисление площади как суммы площадей его частей.
Большой прямоугольник состоит из четырех меньших прямоугольников (I, II, III, IV). Его общая площадь равна сумме площадей этих частей. Определим площадь каждой части:
- Площадь прямоугольника I: ширина $b$, высота $c$. $S_I = b \cdot c$
- Площадь прямоугольника II: ширина $d$, высота $c$. $S_{II} = d \cdot c$
- Площадь прямоугольника III: ширина $b$, высота $a$. $S_{III} = b \cdot a$
- Площадь прямоугольника IV: ширина $d$, высота $a$. $S_{IV} = d \cdot a$
Сложив площади всех частей, получим второе выражение для общей площади $S$ (слагаемые для удобства расположены в алфавитном порядке):
$S = ab + ad + bc + dc$

Ответ: $(b+d)(a+c)$ и $ab + ad + bc + dc$.

Запишите соответствующее равенство

Поскольку оба выражения определяют площадь одной и той же фигуры, они равны друг другу. Запишем соответствующее равенство:

$(b+d)(a+c) = ab + ad + bc + dc$

Ответ: $(b+d)(a+c) = ab + ad + bc + dc$.

Докажите это равенство алгебраически

Для доказательства равенства необходимо выполнить алгебраические преобразования его левой части, чтобы показать, что она идентична правой. Раскроем скобки в левой части, используя распределительный закон умножения (правило умножения многочлена на многочлен):

$(b+d)(a+c) = b \cdot (a+c) + d \cdot (a+c)$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$b \cdot a + b \cdot c + d \cdot a + d \cdot c = ab + bc + ad + dc$

Переставим слагаемые в соответствии с порядком в правой части исходного равенства:

$ab + ad + bc + dc$

В результате преобразований левая часть равенства стала полностью идентична правой части: $ab + ad + bc + dc = ab + ad + bc + dc$. Это доказывает, что равенство является тождеством.

Ответ: Равенство доказано. Преобразование левой части дает: $(b+d)(a+c) = b(a+c) + d(a+c) = ab + bc + ad + dc = ab + ad + bc + dc$, что в точности равно правой части.