Номер 6.121, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.121 Упростите выражение:

а) $(n + 1)(2n - 3) + (n - 1)(3n + 1);$

б) $(x - y)(2x - 3y) - (3x - y)(2x + y);$

в) $(2a + 3)(2a + 3) - (2a + 1)(2a - 1);$

г) $(3c - d)(d + 3c) + (4c - d)(c - 4d).$

а) Чтобы упростить выражение $(n + 1)(2n - 3) + (n - 1)(3n + 1)$, нужно раскрыть скобки, перемножив многочлены, а затем привести подобные слагаемые.
1. Раскроем первую пару скобок:
$(n + 1)(2n - 3) = n \cdot 2n + n \cdot (-3) + 1 \cdot 2n + 1 \cdot (-3) = 2n^2 - 3n + 2n - 3 = 2n^2 - n - 3$.
2. Раскроем вторую пару скобок:
$(n - 1)(3n + 1) = n \cdot 3n + n \cdot 1 - 1 \cdot 3n - 1 \cdot 1 = 3n^2 + n - 3n - 1 = 3n^2 - 2n - 1$.
3. Сложим полученные многочлены:
$(2n^2 - n - 3) + (3n^2 - 2n - 1) = 2n^2 - n - 3 + 3n^2 - 2n - 1$.
4. Приведем подобные слагаемые:
$(2n^2 + 3n^2) + (-n - 2n) + (-3 - 1) = 5n^2 - 3n - 4$.
Ответ: $5n^2 - 3n - 4$.

б) Чтобы упростить выражение $(x - y)(2x - 3y) - (3x - y)(2x + y)$, нужно раскрыть скобки в каждом произведении, а затем выполнить вычитание и привести подобные слагаемые.
1. Раскроем первую пару скобок:
$(x - y)(2x - 3y) = x \cdot 2x + x \cdot (-3y) - y \cdot 2x - y \cdot (-3y) = 2x^2 - 3xy - 2xy + 3y^2 = 2x^2 - 5xy + 3y^2$.
2. Раскроем вторую пару скобок:
$(3x - y)(2x + y) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot y - y \cdot 2x - y \cdot y = 6x^2 + 3xy - 2xy - y^2 = 6x^2 + xy - y^2$.
3. Вычтем второй многочлен из первого:
$(2x^2 - 5xy + 3y^2) - (6x^2 + xy - y^2) = 2x^2 - 5xy + 3y^2 - 6x^2 - xy + y^2$.
4. Приведем подобные слагаемые:
$(2x^2 - 6x^2) + (-5xy - xy) + (3y^2 + y^2) = -4x^2 - 6xy + 4y^2$.
Ответ: $-4x^2 - 6xy + 4y^2$.

в) Чтобы упростить выражение $(2a + 3)(2a + 3) - (2a + 1)(2a - 1)$, можно использовать формулы сокращенного умножения.
1. Первое слагаемое представляет собой квадрат суммы: $(2a + 3)(2a + 3) = (2a + 3)^2$. Используем формулу $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$:
$(2a + 3)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 + 12a + 9$.
2. Второе слагаемое представляет собой произведение разности и суммы двух выражений: $(2a + 1)(2a - 1)$. Используем формулу разности квадратов $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$:
$(2a + 1)(2a - 1) = (2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1$.
3. Выполним вычитание:
$(4a^2 + 12a + 9) - (4a^2 - 1) = 4a^2 + 12a + 9 - 4a^2 + 1$.
4. Приведем подобные слагаемые:
$(4a^2 - 4a^2) + 12a + (9 + 1) = 0 + 12a + 10 = 12a + 10$.
Ответ: $12a + 10$.

г) Чтобы упростить выражение $(3c - d)(d + 3c) + (4c - d)(c - 4d)$, воспользуемся формулой разности квадратов для первого слагаемого и раскроем скобки во втором.
1. Преобразуем первое произведение: $(3c - d)(d + 3c) = (3c - d)(3c + d)$. Это формула разности квадратов $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$:
$(3c - d)(3c + d) = (3c)^2 - d^2 = 9c^2 - d^2$.
2. Раскроем скобки во втором произведении:
$(4c - d)(c - 4d) = 4c \cdot c + 4c \cdot (-4d) - d \cdot c - d \cdot (-4d) = 4c^2 - 16cd - cd + 4d^2 = 4c^2 - 17cd + 4d^2$.
3. Сложим полученные выражения:
$(9c^2 - d^2) + (4c^2 - 17cd + 4d^2) = 9c^2 - d^2 + 4c^2 - 17cd + 4d^2$.
4. Приведем подобные слагаемые:
$(9c^2 + 4c^2) - 17cd + (-d^2 + 4d^2) = 13c^2 - 17cd + 3d^2$.
Ответ: $13c^2 - 17cd + 3d^2$.