Номер 6.129, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.129 Упростите выражение:

а) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 5) - (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x - 3);$

б) $(n - 1)(n - 6)(n^2 - 7n - 3) - (n - 3)(n - 4)(n^2 - 7n + 1).$

Подсказка. Сделайте замену; например, в п. а: $x^2 - 3x = y.$

а) Исходное выражение: $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 5) - (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 3x - 3)$.
Заметим, что в каждой скобке присутствует выражение $x^2 - 3x$. Воспользуемся подсказкой и сделаем замену: пусть $y = x^2 - 3x$.
Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:
$(y + 1)(y + 5) - (y + 2)(y - 3)$.
Теперь раскроем скобки в каждом произведении:
$(y + 1)(y + 5) = y^2 + 5y + y + 5 = y^2 + 6y + 5$
$(y + 2)(y - 3) = y^2 - 3y + 2y - 6 = y^2 - y - 6$
Подставим полученные многочлены обратно в выражение и упростим его:
$(y^2 + 6y + 5) - (y^2 - y - 6) = y^2 + 6y + 5 - y^2 + y + 6 = (y^2 - y^2) + (6y + y) + (5 + 6) = 7y + 11$.
Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 - 3x$ вместо $y$:
$7(x^2 - 3x) + 11 = 7x^2 - 21x + 11$.
Ответ: $7x^2 - 21x + 11$

б) Исходное выражение: $(n - 1)(n - 6)(n^2 - 7n - 3) - (n - 3)(n - 4)(n^2 - 7n + 1)$.
Сначала перемножим пары двучленов в каждой части выражения:
$(n - 1)(n - 6) = n^2 - 6n - n + 6 = n^2 - 7n + 6$
$(n - 3)(n - 4) = n^2 - 4n - 3n + 12 = n^2 - 7n + 12$
Теперь выражение выглядит так:
$(n^2 - 7n + 6)(n^2 - 7n - 3) - (n^2 - 7n + 12)(n^2 - 7n + 1)$.
Мы видим, что общая часть это $n^2 - 7n$. Сделаем замену: пусть $z = n^2 - 7n$.
Выражение примет вид:
$(z + 6)(z - 3) - (z + 12)(z + 1)$.
Раскроем скобки:
$(z + 6)(z - 3) = z^2 - 3z + 6z - 18 = z^2 + 3z - 18$
$(z + 12)(z + 1) = z^2 + z + 12z + 12 = z^2 + 13z + 12$
Подставим обратно и упростим:
$(z^2 + 3z - 18) - (z^2 + 13z + 12) = z^2 + 3z - 18 - z^2 - 13z - 12 = (z^2 - z^2) + (3z - 13z) + (-18 - 12) = -10z - 30$.
Выполним обратную замену $z = n^2 - 7n$:
$-10(n^2 - 7n) - 30 = -10n^2 + 70n - 30$.
Ответ: $-10n^2 + 70n - 30$