Страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.160 Докажите, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.

Для доказательства данного утверждения введем переменные. Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 1$). Тогда следующее за ним, то есть большее, число будет равно $n + 1$.

Согласно условию задачи, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти произведение этих двух чисел: $n \cdot (n + 1)$.

2. К полученному произведению прибавить большее из этих чисел, то есть $n + 1$.

Запишем получившееся математическое выражение: $n \cdot (n + 1) + (n + 1)$

Теперь нам нужно доказать, что это выражение равно квадрату большего числа. Большее число — это $n + 1$, а его квадрат равен $(n + 1)^2$.

Таким образом, задача сводится к доказательству тождества: $n \cdot (n + 1) + (n + 1) = (n + 1)^2$

Преобразуем левую часть выражения. Мы видим, что $(n + 1)$ является общим множителем для обоих слагаемых, поэтому мы можем вынести его за скобки: $n \cdot (n + 1) + 1 \cdot (n + 1) = (n + 1) \cdot (n + 1)$

Произведение выражения $(n + 1)$ на само себя по определению является его квадратом: $(n + 1) \cdot (n + 1) = (n + 1)^2$

Таким образом, мы доказали, что $n \cdot (n + 1) + (n + 1)$ действительно равно $(n + 1)^2$. Утверждение доказано.

Для наглядности рассмотрим пример. Возьмем последовательные числа 5 и 6.

Их произведение: $5 \cdot 6 = 30$.
Прибавим к произведению большее число (6): $30 + 6 = 36$.
Полученный результат 36 является квадратом большего числа 6, так как $6^2 = 36$.

Ответ: Утверждение верно. Если обозначить два последовательных натуральных числа как $n$ и $n+1$, то выражение «произведение двух чисел плюс большее из них» записывается как $n(n+1) + (n+1)$. После вынесения общего множителя $(n+1)$ за скобки получаем $(n+1)(n+1)$, что равно $(n+1)^2$ — квадрату большего числа. Что и требовалось доказать.

6.161 Докажите равенство:

а) $(a - 1)^2 + 2(a - 1) + 1 = a^2;$

б) $(1 - a)^2 + 2a(1 - a) + a^2 = 1;$

в) $(x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4 = (x - 1)^2;$

г) $(x + y)^2 - 2(x + y)(x - y) + (x - y)^2 = 4y^2.$

а) Чтобы доказать равенство $(a - 1)^2 + 2(a - 1) + 1 = a^2$, преобразуем его левую часть. Она представляет собой полный квадрат суммы, соответствующий формуле $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$, где $X = a-1$ и $Y = 1$.

Применим формулу:

$(a - 1)^2 + 2(a - 1) \cdot 1 + 1^2 = ((a - 1) + 1)^2$

Упростим выражение в скобках:

$((a - 1) + 1)^2 = (a - 1 + 1)^2 = a^2$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства.

Ответ: $a^2 = a^2$. Равенство доказано.

б) Чтобы доказать равенство $(1 - a)^2 + 2a(1 - a) + a^2 = 1$, преобразуем его левую часть. Это также полный квадрат суммы по формуле $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$, но здесь $X = 1-a$ и $Y = a$.

Применим формулу:

$(1 - a)^2 + 2(1 - a)a + a^2 = ((1 - a) + a)^2$

Упростим выражение в скобках:

$((1 - a) + a)^2 = (1 - a + a)^2 = 1^2 = 1$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть равенства.

Ответ: $1 = 1$. Равенство доказано.

в) Чтобы доказать равенство $(x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4 = (x - 1)^2$, преобразуем левую часть. Она является полным квадратом разности по формуле $(X-Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$, где $X = x+1$ и $Y = 2$ (поскольку $4=2^2$ и $4(x+1) = 2 \cdot (x+1) \cdot 2$).

Применим формулу:

$(x + 1)^2 - 2 \cdot (x+1) \cdot 2 + 2^2 = ((x + 1) - 2)^2$

Упростим выражение в скобках:

$((x + 1) - 2)^2 = (x + 1 - 2)^2 = (x - 1)^2$

Левая часть после преобразования равна правой части.

Ответ: $(x-1)^2 = (x-1)^2$. Равенство доказано.

г) Чтобы доказать равенство $(x + y)^2 - 2(x + y)(x - y) + (x - y)^2 = 4y^2$, преобразуем левую часть. Она представляет собой полный квадрат разности по формуле $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$, где $A = x+y$ и $B = x-y$.

Применим формулу:

$((x + y) - (x - y))^2$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x + y - x + y)^2 = (2y)^2 = 4y^2$

Левая часть после преобразования равна правой части.

Ответ: $4y^2 = 4y^2$. Равенство доказано.

Выделите квадрат двучлена (6.162–6.163).

6.162 а) $a^2 + 6a - 10;$

б) $x^2 - 4x + 1;$

в) $c^2 + 10c;$

г) $x^2 + 3x - 0,25;$

д) $a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{4};$

е) $b^2 + b + 1.$

Образец.

$x^2 - 8x + 9 = x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x + 16 - 16 + 9 = (x - 4)^2 - 7.$

а) Чтобы выделить квадрат двучлена в выражении $a^2 + 6a - 10$, используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x=a$. Член $6a$ является удвоенным произведением первого члена на второй, то есть $2 \cdot a \cdot y = 6a$, откуда находим второй член $y = 3$.
Для полного квадрата нам необходим квадрат второго члена, $y^2 = 3^2 = 9$.
Добавим и вычтем 9, чтобы не изменить значение выражения:
$a^2 + 6a - 10 = (a^2 + 6a + 9) - 9 - 10$
Первые три слагаемых теперь образуют полный квадрат $(a+3)^2$. Выполним вычитание оставшихся чисел:
$(a+3)^2 - 19$
Ответ: $(a+3)^2 - 19$.

б) В выражении $x^2 - 4x + 1$ выделим квадрат двучлена, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x=x$. Удвоенное произведение $2xy$ равно $4x$, значит $2 \cdot x \cdot y = 4x$, откуда $y = 2$.
Для полного квадрата нужен член $y^2 = 2^2 = 4$.
Преобразуем выражение, добавив и отняв 4:
$x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1$
Группируем первые три члена в квадрат разности и упрощаем остаток:
$(x-2)^2 - 3$
Ответ: $(x-2)^2 - 3$.

в) Для выражения $c^2 + 10c$ применяем тот же метод. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x=c$. Удвоенное произведение $2xy$ равно $10c$, то есть $2 \cdot c \cdot y = 10c$, откуда $y = 5$.
Для полного квадрата нужен член $y^2 = 5^2 = 25$.
Добавим и вычтем 25:
$c^2 + 10c = (c^2 + 10c + 25) - 25$
Сворачиваем первые три члена в квадрат суммы:
$(c+5)^2 - 25$
Ответ: $(c+5)^2 - 25$.

г) В выражении $x^2 + 3x - 0,25$ выделим квадрат двучлена, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x=x$. Удвоенное произведение $2xy$ равно $3x$, то есть $2 \cdot x \cdot y = 3x$, откуда $y = \frac{3}{2} = 1,5$.
Для полного квадрата нужен член $y^2 = (1,5)^2 = 2,25$.
Добавим и вычтем 2,25:
$x^2 + 3x - 0,25 = (x^2 + 3x + 2,25) - 2,25 - 0,25$
Группируем члены в полный квадрат и вычисляем остаток:
$(x+1,5)^2 - 2,5$
Ответ: $(x+1,5)^2 - 2,5$.

д) Чтобы выделить квадрат двучлена в выражении $a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{4}$, воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = a$. Удвоенное произведение $2xy$ равно $\frac{1}{4}a$, то есть $2 \cdot a \cdot y = \frac{1}{4}a$, откуда $y = \frac{1}{8}$.
Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = (\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$.
Добавим и вычтем $\frac{1}{64}$:
$a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{4} = (a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{64}) - \frac{1}{64} + \frac{1}{4}$
Группируем члены в полный квадрат и вычисляем остаток, приводя дроби к общему знаменателю:
$(a - \frac{1}{8})^2 - \frac{1}{64} + \frac{16}{64} = (a - \frac{1}{8})^2 + \frac{15}{64}$
Ответ: $(a - \frac{1}{8})^2 + \frac{15}{64}$.

е) В выражении $b^2 + b + 1$ выделим квадрат двучлена, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x = b$. Удвоенное произведение $2xy$ равно $b$, то есть $2 \cdot b \cdot y = b$, откуда $y = \frac{1}{2}$.
Для полного квадрата нужен член $y^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Добавим и вычтем $\frac{1}{4}$:
$b^2 + b + 1 = (b^2 + b + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 1$
Группируем члены в полный квадрат и вычисляем остаток:
$(b + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = (b + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$
Ответ: $(b + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.

6.163 а) $a^2 + 3ab + b^2$;

б) $x^2 + xy + y^2$;

В) $m^2 - mn + n^2$;

Г) $4a^2 + 5ac + c^2$.

В данной задаче требуется проверить, являются ли представленные трехчлены полными квадратами, то есть можно ли их представить в виде квадрата двучлена $(x \pm y)^2$. Формулы полного квадрата выглядят следующим образом:

• Квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
• Квадрат разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Проанализируем каждый трехчлен.

а) $a^2 + 3ab + b^2$

Чтобы данный трехчлен был полным квадратом, он должен соответствовать одной из формул. Первый член $a^2$ — это квадрат выражения $a$. Третий член $b^2$ — это квадрат выражения $b$. Средний член должен быть удвоенным произведением $a$ и $b$. Для квадрата суммы это $2 \cdot a \cdot b = 2ab$. В заданном выражении средний член равен $3ab$. Поскольку $3ab \neq 2ab$, данный трехчлен не является полным квадратом.

Ответ: Трехчлен $a^2 + 3ab + b^2$ не является полным квадратом, так как его средний член $3ab$ не равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов ($2ab$).

б) $x^2 + xy + y^2$

Проверим этот трехчлен по аналогии с предыдущим. Первый член $x^2$ — это квадрат $x$. Третий член $y^2$ — это квадрат $y$. Средний член для полного квадрата суммы должен быть $2 \cdot x \cdot y = 2xy$. В выражении средний член равен $xy$. Поскольку $xy \neq 2xy$, этот трехчлен не является полным квадратом.

Ответ: Трехчлен $x^2 + xy + y^2$ не является полным квадратом, так как его средний член $xy$ не равен $2xy$.

в) $m^2 - mn + n^2$

Это выражение похоже на формулу квадрата разности. Первый член $m^2$ — это квадрат $m$. Третий член $n^2$ — это квадрат $n$. Средний член для полного квадрата разности должен быть $-2 \cdot m \cdot n = -2mn$. В заданном выражении средний член равен $-mn$. Так как $-mn \neq -2mn$, данный трехчлен не является полным квадратом.

Ответ: Трехчлен $m^2 - mn + n^2$ не является полным квадратом, так как его средний член $-mn$ не равен $-2mn$.

г) $4a^2 + 5ac + c^2$

Проверим этот трехчлен на соответствие формуле квадрата суммы. Первый член $4a^2$ — это квадрат выражения $2a$, так как $(2a)^2 = 4a^2$. Третий член $c^2$ — это квадрат выражения $c$. Следовательно, средний член для полного квадрата должен быть $2 \cdot (2a) \cdot c = 4ac$. В заданном выражении средний член равен $5ac$. Поскольку $5ac \neq 4ac$, этот трехчлен не является полным квадратом.

Ответ: Трехчлен $4a^2 + 5ac + c^2$ не является полным квадратом, так как его средний член $5ac$ не равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов ($4ac$).

6.164 Дополните равенство:

а) $x^2 + y^2 = (x + y)^2 ...$;

б) $x^2 + y^2 = (x - y)^2 ...$

а) Чтобы дополнить равенство $x^2 + y^2 = (x + y)^2 ...$, необходимо преобразовать правую часть так, чтобы она стала равна левой. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы":
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
Мы видим, что раскрытие скобок $(x + y)^2$ дает нам $x^2 + y^2$, а также дополнительный член $2xy$. Чтобы получить исходное выражение $x^2 + y^2$, этот дополнительный член нужно вычесть:
$x^2 + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 2xy = (x + y)^2 - 2xy$
Таким образом, пропущенный член в равенстве — это $-2xy$.
Ответ: $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$.

б) Аналогично, чтобы дополнить равенство $x^2 + y^2 = (x - y)^2 ...$, воспользуемся формулой "квадрат разности":
$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
В этом случае раскрытие скобок $(x - y)^2$ дает нам $x^2 + y^2$ и дополнительный член $-2xy$. Чтобы получить исходное выражение $x^2 + y^2$, этот член нужно скомпенсировать, то есть прибавить $2xy$:
$x^2 + y^2 = (x^2 - 2xy + y^2) + 2xy = (x - y)^2 + 2xy$
Следовательно, пропущенный член в равенстве — это $+2xy$.
Ответ: $x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy$.

6.165 Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, если:

a) $x + \frac{1}{x} = 2,5$;

б) $x - \frac{1}{x} = 2$.

а) Чтобы найти значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, зная, что $x + \frac{1}{x} = 2,5$, возведем обе части данного равенства в квадрат. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x + \frac{1}{x})^2 = (2,5)^2$
Применяя формулу, раскрываем левую часть:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 6,25$
Упрощаем средний член: $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$.
$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 6,25$
Теперь, чтобы найти $x^2 + \frac{1}{x^2}$, вычтем 2 из обеих частей уравнения:
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6,25 - 2$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4,25$
Ответ: 4,25

б) Чтобы найти значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, зная, что $x - \frac{1}{x} = 2$, поступим аналогично. Возведем обе части данного равенства в квадрат, но на этот раз будем использовать формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(x - \frac{1}{x})^2 = 2^2$
Раскрываем левую часть по формуле:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 4$
Упрощаем средний член: $-2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = -2$.
$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 4$
Теперь, чтобы найти $x^2 + \frac{1}{x^2}$, прибавим 2 к обеим частям уравнения:
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 + 2$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$
Ответ: 6

6.166 ИССЛЕДУЕМ

1) Используя формулу квадрата двучлена, возведите в квадрат трёхчлен $a+b+c$. (Указание. Сделайте замену $a+b=x$.) Проиллюстрируйте полученное равенство геометрически, изобразив квадрат со стороной $a+b+c$.

2) С помощью полученной формулы возведите в квадрат:

$a - b + c$; $a - b - c$.

3) По аналогии с формулой, полученной в п. 1, запишите формулу для преобразования в многочлен выражения $(a+b+c+d)^2$. Проверьте с помощью умножения, верно ли записанное равенство.

4) Пользуясь выведенной формулой, возведите в квадрат

$a + b - c + d$.

1) Чтобы возвести в квадрат трёхчлен $a + b + c$, воспользуемся указанием и сделаем замену $a + b = x$. Тогда выражение $(a + b + c)^2$ превратится в $(x + c)^2$.

Теперь применим формулу квадрата двучлена $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$:

$(x + c)^2 = x^2 + 2xc + c^2$

Сделаем обратную замену, подставив $a+b$ вместо $x$:

$(a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2$

Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а затем умножим $2(a+b)$ на $c$:

$(a^2 + 2ab + b^2) + (2ac + 2bc) + c^2$

Уберем скобки и сгруппируем слагаемые, сначала квадраты, потом удвоенные произведения:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Это и есть формула квадрата трёхчлена.

Геометрическая иллюстрация:

Представим квадрат, длина стороны которого равна $a + b + c$. Его площадь равна $(a + b + c)^2$.

Разделим каждую сторону этого квадрата на три отрезка длиной $a$, $b$ и $c$. Проведём через точки деления прямые, параллельные сторонам квадрата. В результате большой квадрат разобьётся на 9 меньших фигур:

• Три квадрата, расположенных на диагонали, с площадями $a^2$, $b^2$ и $c^2$.
• Шесть прямоугольников, расположенных симметрично относительно диагонали. Они образуют три пары равных прямоугольников с площадями $ab$, $ac$ и $bc$.

Площадь большого квадрата равна сумме площадей всех этих фигур:

$S = a^2 + b^2 + c^2 + ab + ab + ac + ac + bc + bc = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Таким образом, геометрически подтверждается, что $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

Ответ: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

2) Воспользуемся формулой, полученной в п. 1: $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$.

Для выражения $a - b + c$ представим его как $a + (-b) + c$. Тогда $x=a$, $y=-b$, $z=c$.

$(a - b + c)^2 = (a + (-b) + c)^2 = a^2 + (-b)^2 + c^2 + 2a(-b) + 2ac + 2(-b)c = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$.

Для выражения $a - b - c$ представим его как $a + (-b) + (-c)$. Тогда $x=a$, $y=-b$, $z=-c$.

$(a - b - c)^2 = (a + (-b) + (-c))^2 = a^2 + (-b)^2 + (-c)^2 + 2a(-b) + 2a(-c) + 2(-b)(-c) = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$.

Ответ: $(a - b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$; $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$.

3) По аналогии с формулой квадрата трёхчлена, квадрат четырёхчлена равен сумме квадратов всех его членов плюс удвоенная сумма всевозможных попарных произведений его членов.

Формула для $(a + b + c + d)^2$ будет выглядеть так:

$(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd$

Проверим это равенство с помощью умножения, используя замену $x = a+b+c$:

$(a + b + c + d)^2 = ((a + b + c) + d)^2 = (x+d)^2 = x^2 + 2xd + d^2$

Подставим обратно $x = a+b+c$:

$(a+b+c)^2 + 2(a+b+c)d + d^2$

Используем результат из п. 1 для $(a+b+c)^2$ и раскроем скобки $2(a+b+c)d$:

$(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc) + (2ad + 2bd + 2cd) + d^2$

Сгруппируем слагаемые:

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd$

Полученное выражение совпадает с формулой, записанной по аналогии. Следовательно, равенство верно.

Ответ: Формула: $(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd$. Проверка подтвердила верность равенства.

4) Воспользуемся выведенной в п. 3 формулой для возведения в квадрат выражения $a + b - c + d$.

Представим выражение в виде $(a + b + (-c) + d)^2$. Применим формулу квадрата четырёхчлена, где в качестве третьего слагаемого выступает $-c$:

$(a + b - c + d)^2 = a^2 + b^2 + (-c)^2 + d^2 + 2ab + 2a(-c) + 2ad + 2b(-c) + 2bd + 2(-c)d$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab - 2ac + 2ad - 2bc + 2bd - 2cd$

Ответ: $(a + b - c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab - 2ac + 2ad - 2bc + 2bd - 2cd$.