Номер 6.162, страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Выделите квадрат двучлена (6.162–6.163).

6.162 а) $a^2 + 6a - 10;$

б) $x^2 - 4x + 1;$

в) $c^2 + 10c;$

г) $x^2 + 3x - 0,25;$

д) $a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{4};$

е) $b^2 + b + 1.$

Образец.

$x^2 - 8x + 9 = x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x + 16 - 16 + 9 = (x - 4)^2 - 7.$

а) Чтобы выделить квадрат двучлена в выражении $a^2 + 6a - 10$, используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x=a$. Член $6a$ является удвоенным произведением первого члена на второй, то есть $2 \cdot a \cdot y = 6a$, откуда находим второй член $y = 3$.
Для полного квадрата нам необходим квадрат второго члена, $y^2 = 3^2 = 9$.
Добавим и вычтем 9, чтобы не изменить значение выражения:
$a^2 + 6a - 10 = (a^2 + 6a + 9) - 9 - 10$
Первые три слагаемых теперь образуют полный квадрат $(a+3)^2$. Выполним вычитание оставшихся чисел:
$(a+3)^2 - 19$
Ответ: $(a+3)^2 - 19$.

б) В выражении $x^2 - 4x + 1$ выделим квадрат двучлена, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x=x$. Удвоенное произведение $2xy$ равно $4x$, значит $2 \cdot x \cdot y = 4x$, откуда $y = 2$.
Для полного квадрата нужен член $y^2 = 2^2 = 4$.
Преобразуем выражение, добавив и отняв 4:
$x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1$
Группируем первые три члена в квадрат разности и упрощаем остаток:
$(x-2)^2 - 3$
Ответ: $(x-2)^2 - 3$.

в) Для выражения $c^2 + 10c$ применяем тот же метод. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x=c$. Удвоенное произведение $2xy$ равно $10c$, то есть $2 \cdot c \cdot y = 10c$, откуда $y = 5$.
Для полного квадрата нужен член $y^2 = 5^2 = 25$.
Добавим и вычтем 25:
$c^2 + 10c = (c^2 + 10c + 25) - 25$
Сворачиваем первые три члена в квадрат суммы:
$(c+5)^2 - 25$
Ответ: $(c+5)^2 - 25$.

г) В выражении $x^2 + 3x - 0,25$ выделим квадрат двучлена, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x=x$. Удвоенное произведение $2xy$ равно $3x$, то есть $2 \cdot x \cdot y = 3x$, откуда $y = \frac{3}{2} = 1,5$.
Для полного квадрата нужен член $y^2 = (1,5)^2 = 2,25$.
Добавим и вычтем 2,25:
$x^2 + 3x - 0,25 = (x^2 + 3x + 2,25) - 2,25 - 0,25$
Группируем члены в полный квадрат и вычисляем остаток:
$(x+1,5)^2 - 2,5$
Ответ: $(x+1,5)^2 - 2,5$.

д) Чтобы выделить квадрат двучлена в выражении $a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{4}$, воспользуемся формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = a$. Удвоенное произведение $2xy$ равно $\frac{1}{4}a$, то есть $2 \cdot a \cdot y = \frac{1}{4}a$, откуда $y = \frac{1}{8}$.
Для полного квадрата нам нужен член $y^2 = (\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$.
Добавим и вычтем $\frac{1}{64}$:
$a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{4} = (a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{64}) - \frac{1}{64} + \frac{1}{4}$
Группируем члены в полный квадрат и вычисляем остаток, приводя дроби к общему знаменателю:
$(a - \frac{1}{8})^2 - \frac{1}{64} + \frac{16}{64} = (a - \frac{1}{8})^2 + \frac{15}{64}$
Ответ: $(a - \frac{1}{8})^2 + \frac{15}{64}$.

е) В выражении $b^2 + b + 1$ выделим квадрат двучлена, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x = b$. Удвоенное произведение $2xy$ равно $b$, то есть $2 \cdot b \cdot y = b$, откуда $y = \frac{1}{2}$.
Для полного квадрата нужен член $y^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Добавим и вычтем $\frac{1}{4}$:
$b^2 + b + 1 = (b^2 + b + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 1$
Группируем члены в полный квадрат и вычисляем остаток:
$(b + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = (b + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$
Ответ: $(b + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.