Номер 6.155, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Авторы: Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А., Кузнецова Л. В., Минаева С. С., Рослова Л. О.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, голубой, оранжевый с галочкой
ISBN: 978-5-09-106179-6
Популярные ГДЗ в 7 классе
Упражнения. 6.7. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 6. Многочлены - номер 6.155, страница 174.
№6.155 (с. 174)
Условие. №6.155 (с. 174)
скриншот условия

ДОКАЗЫВАЕМ (6.155–6.157)
6.155 Докажите, что:
а) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$;
б) $(p^2 + q^2)^2 = (p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2$;
в) $\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab} = 4$;
г) $-\frac{(a-b)^2 - (a+b)^2}{4} = ab.
Решение 2. №6.155 (с. 174)




Решение 3. №6.155 (с. 174)

Решение 5. №6.155 (с. 174)

Решение 6. №6.155 (с. 174)
Для доказательства тождества $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$ преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
$(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)$
Приведем подобные слагаемые. Члены $2abcd$ и $-2abcd$ взаимно уничтожаются:
$a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2$
Перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(a^2c^2 + a^2d^2) + (b^2c^2 + b^2d^2) = a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(c^2 + d^2)$:
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$
В результате преобразования правой части мы получили левую часть. Тождество доказано.
Ответ: $(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$.
б)Для доказательства тождества $(p^2 + q^2)^2 = (p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2$ преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и свойство возведения произведения в степень.
$(p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2 = ((p^2)^2 - 2p^2q^2 + (q^2)^2) + 4p^2q^2 = p^4 - 2p^2q^2 + q^4 + 4p^2q^2$
Приведем подобные слагаемые:
$p^4 + 2p^2q^2 + q^4$
Полученное выражение представляет собой полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, где $x=p^2$ и $y=q^2$:
$p^4 + 2p^2q^2 + q^4 = (p^2 + q^2)^2$
Правая часть тождества равна левой. Тождество доказано.
Ответ: $(p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2 = (p^2 + q^2)^2$.
в)Для доказательства тождества $\frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{ab} = 4$ преобразуем его левую часть. Сначала упростим числитель дроби, раскрыв скобки по формулам сокращенного умножения.
$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab) = 4ab$
Подставим полученный результат обратно в дробь:
$\frac{4ab}{ab}$
Сократим дробь на $ab$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$), получим 4. Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: 4.
г)Для доказательства тождества $-\frac{(a - b)^2 - (a + b)^2}{4} = ab$ преобразуем его левую часть. Упростим выражение в числителе дроби:
$(a - b)^2 - (a + b)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2) = a^2 - 2ab + b^2 - a^2 - 2ab - b^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (-2ab - 2ab) = -4ab$
Подставим результат в исходное выражение:
$-\frac{-4ab}{4}$
Два знака "минус" дают "плюс", поэтому выражение упрощается до:
$\frac{4ab}{4} = ab$
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: ab.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 6.155 расположенного на странице 174 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.155 (с. 174), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Суворова (Светлана Борисовна), Бунимович (Евгений Абрамович), Кузнецова (Людмила Викторовна), Минаева (Светлана Станиславовна), Рослова (Лариса Олеговна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.