Номер 6.155, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 6. Многочлены. 6.7. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Упражнения - номер 6.155, страница 174.

Условие.

ДОКАЗЫВАЕМ (6.155–6.157)

6.155 Докажите, что:

а) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$;

б) $(p^2 + q^2)^2 = (p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2$;

в) $\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab} = 4$;

г) $-\frac{(a-b)^2 - (a+b)^2}{4} = ab.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Для доказательства тождества $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$ преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

$(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)$

Приведем подобные слагаемые. Члены $2abcd$ и $-2abcd$ взаимно уничтожаются:

$a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2$

Перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(a^2c^2 + a^2d^2) + (b^2c^2 + b^2d^2) = a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(c^2 + d^2)$:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$

В результате преобразования правой части мы получили левую часть. Тождество доказано.

Ответ: $(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$.

б)

Для доказательства тождества $(p^2 + q^2)^2 = (p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2$ преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и свойство возведения произведения в степень.

$(p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2 = ((p^2)^2 - 2p^2q^2 + (q^2)^2) + 4p^2q^2 = p^4 - 2p^2q^2 + q^4 + 4p^2q^2$

Приведем подобные слагаемые:

$p^4 + 2p^2q^2 + q^4$

Полученное выражение представляет собой полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$, где $x=p^2$ и $y=q^2$:

$p^4 + 2p^2q^2 + q^4 = (p^2 + q^2)^2$

Правая часть тождества равна левой. Тождество доказано.

Ответ: $(p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2 = (p^2 + q^2)^2$.

в)

Для доказательства тождества $\frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{ab} = 4$ преобразуем его левую часть. Сначала упростим числитель дроби, раскрыв скобки по формулам сокращенного умножения.

$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab) = 4ab$

Подставим полученный результат обратно в дробь:

$\frac{4ab}{ab}$

Сократим дробь на $ab$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$), получим 4. Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: 4.

г)

Для доказательства тождества $-\frac{(a - b)^2 - (a + b)^2}{4} = ab$ преобразуем его левую часть. Упростим выражение в числителе дроби:

$(a - b)^2 - (a + b)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2) = a^2 - 2ab + b^2 - a^2 - 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (-2ab - 2ab) = -4ab$

Подставим результат в исходное выражение:

$-\frac{-4ab}{4}$

Два знака "минус" дают "плюс", поэтому выражение упрощается до:

$\frac{4ab}{4} = ab$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: ab.