Номер 6.151, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.151 Укажите пары равных выражений, пары противоположных выражений:

a) $(a - b)^2$, $(b - a)^2$, $-(a - b)^2$;

б) $(a - b)^3$, $(b - a)^3$, $-(b - a)^3$;

в) $(a - b)^4$, $(b - a)^4$, $-(b - a)^4$.

а) Рассмотрим выражения $(a - b)^2$, $(b - a)^2$, $-(a - b)^2$. Для их сравнения воспользуемся основным свойством: $b - a = -(a - b)$.

Преобразуем выражение $(b - a)^2$: $(b - a)^2 = (-(a - b))^2$. Поскольку показатель степени 2 является четным числом, для любого числа $x$ выполняется равенство $(-x)^2 = x^2$. Следовательно, $(-(a - b))^2 = (a - b)^2$. Таким образом, выражения $(a - b)^2$ и $(b - a)^2$ равны.

Выражения $(a - b)^2$ и $-(a - b)^2$ являются противоположными, так как их сумма равна нулю: $(a - b)^2 + (-(a - b)^2) = 0$. Поскольку $(a - b)^2 = (b - a)^2$, то выражения $(b - a)^2$ и $-(a - b)^2$ также являются противоположными.

Ответ: пары равных выражений: $(a - b)^2$ и $(b - a)^2$; пары противоположных выражений: $(a - b)^2$ и $-(a - b)^2$, а также $(b - a)^2$ и $-(a - b)^2$.

б) Рассмотрим выражения $(a - b)^3$, $(b - a)^3$, $-(b - a)^3$. Используем свойство $b - a = -(a - b)$.

Преобразуем $(b - a)^3$: $(b - a)^3 = (-(a - b))^3$. Поскольку показатель степени 3 является нечетным числом, для любого числа $x$ выполняется равенство $(-x)^3 = -x^3$. Следовательно, $(-(a - b))^3 = -(a - b)^3$. Отсюда следует, что выражения $(a - b)^3$ и $(b - a)^3$ являются противоположными, так как их сумма $(a - b)^3 + (-(a - b)^3) = 0$.

Теперь сравним $(a - b)^3$ и $-(b - a)^3$. Мы уже знаем, что $(b - a)^3 = -(a - b)^3$. Подставив это во второе выражение, получим: $-(b - a)^3 = -(-(a - b)^3) = (a - b)^3$. Следовательно, выражения $(a - b)^3$ и $-(b - a)^3$ равны.

Пара $(b - a)^3$ и $-(b - a)^3$ является парой противоположных выражений по определению.

Ответ: пары равных выражений: $(a - b)^3$ и $-(b - a)^3$; пары противоположных выражений: $(a - b)^3$ и $(b - a)^3$, а также $(b - a)^3$ и $-(b - a)^3$.

в) Рассмотрим выражения $(a - b)^4$, $(b - a)^4$, $-(b - a)^4$.

Поскольку показатель степени 4 является четным числом, этот случай аналогичен пункту а). Преобразуем $(b - a)^4$: $(b - a)^4 = (-(a - b))^4 = (a - b)^4$. Таким образом, выражения $(a - b)^4$ и $(b - a)^4$ равны.

Выражения $(b - a)^4$ и $-(b - a)^4$ являются противоположными по определению. Так как $(a - b)^4 = (b - a)^4$, то пара $(a - b)^4$ и $-(b - a)^4$ также является парой противоположных выражений.

Ответ: пары равных выражений: $(a - b)^4$ и $(b - a)^4$; пары противоположных выражений: $(a - b)^4$ и $-(b - a)^4$, а также $(b - a)^4$ и $-(b - a)^4$.