Номер 6.154, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.154 Упростите выражение:

а) $(m^2 + n - 4)^2 - (m^2 + n - 1)(m^2 + n - 8);$

б) $(2x^2 + x - 5)^2 - (2x^2 + x)(2x^2 + x - 1) + 9(2x^2 + x).$

Подсказка. Сделайте удобную замену.

а) $(m^2 + n - 4)^2 - (m^2 + n - 1)(m^2 + n - 8)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом замены. Заметим, что в выражении несколько раз встречается часть $m^2 + n$.

Пусть $y = m^2 + n$. Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$(y - 4)^2 - (y - 1)(y - 8)$

Теперь раскроем скобки. Квадрат разности раскрывается по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а произведение двух скобок — путем перемножения каждого члена одной скобки на каждый член другой:

$(y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2) - (y \cdot y - 8y - 1 \cdot y + 8) = (y^2 - 8y + 16) - (y^2 - 9y + 8)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 8y + 16 - y^2 + 9y - 8 = (y^2 - y^2) + (-8y + 9y) + (16 - 8) = y + 8$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $y$ выражение $m^2 + n$:

$y + 8 = m^2 + n + 8$

Ответ: $m^2 + n + 8$

б) $(2x^2 + x - 5)^2 - (2x^2 + x)(2x^2 + x - 1) + 9(2x^2 + x)$

Аналогично предыдущему пункту, сделаем удобную замену. Общей частью здесь является выражение $2x^2 + x$.

Пусть $z = 2x^2 + x$. Подставим $z$ в исходное выражение:

$(z - 5)^2 - z(z - 1) + 9z$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$(z^2 - 2 \cdot z \cdot 5 + 5^2) - (z^2 - z) + 9z = (z^2 - 10z + 25) - z^2 + z + 9z$

Приведем подобные слагаемые:

$z^2 - 10z + 25 - z^2 + z + 9z = (z^2 - z^2) + (-10z + z + 9z) + 25 = 0 + 0 + 25 = 25$

В результате упрощения мы получили число, не зависящее от переменной $x$. Обратная замена не требуется.

Ответ: $25$