Страница 180 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите задачу (сделайте рисунок по условию задачи, 6.173—6.174).

6.173 а) Площадь квадрата равна площади прямоугольника, одна из сторон которого на 1 см меньше стороны квадрата, а другая на 2 см больше стороны квадрата. Найдите длину стороны квадрата и длины сторон прямоугольника.

б) Площадь квадрата на $63 \text{ см}^2$ больше площади прямоугольника. Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше, а другая на 6 см меньше стороны квадрата. Найдите площадь квадрата.

а) Пусть длина стороны квадрата равна $x$ см. Тогда его площадь $S_{кв}$ составляет $x^2$ см$^2$.
Согласно условию, одна сторона прямоугольника на 1 см меньше стороны квадрата, то есть ее длина равна $(x - 1)$ см. Другая сторона на 2 см больше стороны квадрата, то есть ее длина равна $(x + 2)$ см. Так как длина стороны должна быть положительным числом, то $x - 1 > 0$, что означает $x > 1$.
Площадь прямоугольника $S_{пр}$ равна произведению его сторон: $S_{пр} = (x - 1)(x + 2)$ см$^2$.
По условию, площади фигур равны, то есть $S_{кв} = S_{пр}$. Составим уравнение:
$x^2 = (x - 1)(x + 2)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$x^2 = x^2 + 2x - x - 2$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 = x^2 + x - 2$
Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$x^2 - x^2 - x = -2$
$-x = -2$
$x = 2$
Это значение удовлетворяет условию $x > 1$.
Таким образом, длина стороны квадрата равна 2 см.
Длины сторон прямоугольника равны:
$x - 1 = 2 - 1 = 1$ см
$x + 2 = 2 + 2 = 4$ см
Ответ: длина стороны квадрата 2 см, длины сторон прямоугольника 1 см и 4 см.

б) Пусть длина стороны квадрата равна $x$ см. Тогда его площадь $S_{кв}$ составляет $x^2$ см$^2$.
Согласно условию, одна сторона прямоугольника на 3 см больше стороны квадрата, то есть ее длина равна $(x + 3)$ см. Другая сторона на 6 см меньше стороны квадрата, то есть ее длина равна $(x - 6)$ см. Так как длина стороны должна быть положительным числом, то $x - 6 > 0$, что означает $x > 6$.
Площадь прямоугольника $S_{пр}$ равна произведению его сторон: $S_{пр} = (x + 3)(x - 6)$ см$^2$.
По условию, площадь квадрата на 63 см$^2$ больше площади прямоугольника, то есть $S_{кв} = S_{пр} + 63$. Составим уравнение:
$x^2 = (x + 3)(x - 6) + 63$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$x^2 = (x^2 - 6x + 3x - 18) + 63$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 = x^2 - 3x + 45$
Перенесем члены с $x^2$ и $x$ в левую часть уравнения:
$x^2 - x^2 + 3x = 45$
$3x = 45$
$x = \frac{45}{3}$
$x = 15$
Это значение удовлетворяет условию $x > 6$.
Таким образом, длина стороны квадрата равна 15 см.
Требуется найти площадь квадрата:
$S_{кв} = x^2 = 15^2 = 225$ см$^2$
Ответ: площадь квадрата 225 см$^2$.

6.174 а) Пекарня использует для выпечки тортов формы двух видов, имеющие одинаковую площадь дна. У одной из них дно квадратное, а у другой — прямоугольное. Длина прямоугольной формы на 8 см больше, а ширина на 6 см меньше, чем сторона квадратной формы. Найдите размеры дна каждой формы.

б) Под строительство был отведён участок земли, имеющий форму квадрата. Площадь этого участка пришлось увеличить на $830 \text{ м}^2$. Для этого одну из сторон первоначального участка увеличили на 4 м, а другую — на 5 м и получили новый участок прямоугольной формы. Чему была равна площадь первоначального участка?

а)

Пусть сторона дна квадратной формы равна $x$ см. Тогда её площадь составляет $S_1 = x^2$ см$^2$.

Согласно условию, длина дна прямоугольной формы на 8 см больше стороны квадратной, то есть равна $(x+8)$ см. Ширина дна прямоугольной формы на 6 см меньше стороны квадратной, то есть равна $(x-6)$ см. Площадь дна прямоугольной формы составляет $S_2 = (x+8)(x-6)$ см$^2$.

Так как площади дна обеих форм одинаковы ($S_1 = S_2$), мы можем составить и решить уравнение:

$x^2 = (x+8)(x-6)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x^2 = x^2 - 6x + 8x - 48$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 = x^2 + 2x - 48$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$x^2 - x^2 - 2x = -48$

$-2x = -48$

$x = \frac{-48}{-2}$

$x = 24$

Таким образом, сторона дна квадратной формы равна 24 см.

Теперь найдем размеры дна прямоугольной формы:

Длина: $x + 8 = 24 + 8 = 32$ см.

Ширина: $x - 6 = 24 - 6 = 18$ см.

Проверим: площадь квадратной формы $24^2 = 576$ см$^2$. Площадь прямоугольной формы $32 \times 18 = 576$ см$^2$. Площади равны, значит, решение верное.

Ответ: размеры дна квадратной формы — 24 см на 24 см, размеры дна прямоугольной формы — 32 см на 18 см.

б)

Пусть сторона первоначального квадратного участка земли была $y$ м. Тогда его площадь была равна $S_{нач} = y^2$ м$^2$.

Для нового участка одну сторону увеличили на 4 м, её длина стала $(y+4)$ м. Другую сторону увеличили на 5 м, её длина стала $(y+5)$ м. В результате получился прямоугольный участок.

Площадь нового прямоугольного участка равна $S_{нов} = (y+4)(y+5)$ м$^2$.

По условию, площадь нового участка на 830 м$^2$ больше площади первоначального, то есть $S_{нов} = S_{нач} + 830$. Составим и решим уравнение:

$(y+4)(y+5) = y^2 + 830$

Раскроем скобки в левой части:

$y^2 + 5y + 4y + 20 = y^2 + 830$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 9y + 20 = y^2 + 830$

Вычтем $y^2$ из обеих частей уравнения:

$9y + 20 = 830$

$9y = 830 - 20$

$9y = 810$

$y = \frac{810}{9}$

$y = 90$

Итак, сторона первоначального квадратного участка была равна 90 м.

Вопрос задачи — найти площадь первоначального участка.

$S_{нач} = y^2 = 90^2 = 8100$ м$^2$.

Ответ: площадь первоначального участка была равна 8100 м$^2$.

Решите задачу (6.175—6.176).

6.175 а) Через 3 дня после того, как Пётр начал читать книгу, эту же книгу начал читать Алексей. Закончили чтение они одновременно. Пётр прочитывал по 10 страниц в день, а Алексей — по 16 страниц в день. Сколько страниц в книге?

б) Два студента взялись набрать рукопись, разделив её между собой на две равные части. Через 4 дня после того, как первый начал работу, к работе приступил второй. Закончили они работу одновременно. Первый студент набирал по 24 страницы в день, а второй — по 40 страниц. Сколько дней работал каждый студент и сколько страниц они набрали вместе?

а)

Пусть $x$ — это количество дней, в течение которых Алексей читал книгу. Поскольку Пётр начал читать на 3 дня раньше и закончили они одновременно, то Пётр читал книгу $x+3$ дня.

Скорость чтения Петра — 10 страниц в день. За всё время он прочитал $10 \cdot (x+3)$ страниц. Скорость чтения Алексея — 16 страниц в день. За своё время он прочитал $16x$ страниц.

Так как они читали одну и ту же книгу, то количество страниц, прочитанных каждым, равно общему количеству страниц в книге. Приравняем количество страниц, прочитанных Петром и Алексеем, чтобы найти $x$:

$10 \cdot (x+3) = 16x$

Раскроем скобки:

$10x + 30 = 16x$

Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону:

$16x - 10x = 30$

$6x = 30$

Найдём $x$:

$x = \frac{30}{6}$

$x = 5$

Таким образом, Алексей читал книгу 5 дней. Чтобы найти, сколько страниц в книге, подставим значение $x=5$ в выражение для количества страниц, прочитанных Алексеем:

Всего страниц = $16 \cdot 5 = 80$ страниц.

Для проверки можно вычислить количество страниц, прочитанных Петром. Он читал $x+3 = 5+3 = 8$ дней. $10 \cdot 8 = 80$ страниц. Результаты совпадают.

Ответ: в книге 80 страниц.

б)

Пусть $t$ — это количество дней, которое работал второй студент. Первый студент начал на 4 дня раньше и закончили они одновременно, значит, он работал $t+4$ дня.

По условию, они разделили рукопись на две равные части. Это значит, что каждый из них набрал одинаковое количество страниц.

Первый студент набирал по 24 страницы в день, за $t+4$ дня он набрал $24 \cdot (t+4)$ страниц. Второй студент набирал по 40 страниц в день, за $t$ дней он набрал $40t$ страниц.

Приравняем объём работы, выполненной каждым студентом, чтобы найти $t$:

$24 \cdot (t+4) = 40t$

Раскроем скобки:

$24t + 96 = 40t$

Перенесём слагаемые с $t$ в одну сторону:

$40t - 24t = 96$

$16t = 96$

Найдём $t$:

$t = \frac{96}{16}$

$t = 6$

Итак, второй студент работал 6 дней. Первый студент работал $t+4 = 6+4 = 10$ дней.

Теперь найдём, сколько страниц они набрали вместе. Сначала вычислим, сколько страниц набрал каждый (количество должно быть одинаковым):

Работа первого студента: $24 \frac{\text{стр}}{\text{день}} \cdot 10 \text{ дней} = 240$ страниц.

Работа второго студента: $40 \frac{\text{стр}}{\text{день}} \cdot 6 \text{ дней} = 240$ страниц.

Общее количество страниц в рукописи: $240 + 240 = 480$ страниц.

Ответ: первый студент работал 10 дней, второй — 6 дней; вместе они набрали 480 страниц.

6.176 a) Щенку 37 дней, а котёнку 7 дней. Через сколько дней щенок станет в 3 раза старше котёнка?

б) Два года назад брат был младше сестры в 3 раза, а сейчас он младше сестры в 2 раза. Сколько сейчас лет брату и сколько сестре?

а) Пусть $x$ — это количество дней, через которое щенок станет в 3 раза старше котёнка.
Через $x$ дней возраст щенка составит $37 + x$ дней.
Через $x$ дней возраст котёнка составит $7 + x$ дней.
Согласно условию задачи, возраст щенка должен быть в 3 раза больше возраста котёнка. Составим и решим уравнение:
$37 + x = 3 \cdot (7 + x)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$37 + x = 21 + 3x$
Перенесём слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:
$3x - x = 37 - 21$
$2x = 16$
$x = 16 / 2$
$x = 8$
Проверим решение:
Возраст щенка через 8 дней: $37 + 8 = 45$ дней.
Возраст котёнка через 8 дней: $7 + 8 = 15$ дней.
Соотношение возрастов: $45 / 15 = 3$. Условие выполняется.
Ответ: через 8 дней.

б) Пусть $б$ — это текущий возраст брата, а $с$ — текущий возраст сестры.
Из условия, что сейчас брат в 2 раза младше сестры, следует, что возраст сестры в 2 раза больше возраста брата. Составим первое уравнение:
$с = 2б$
Два года назад возраст брата был $б - 2$ лет, а возраст сестры был $с - 2$ лет.
По условию, два года назад брат был в 3 раза младше сестры. Составим второе уравнение:
$с - 2 = 3 \cdot (б - 2)$
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными. Подставим выражение для $с$ из первого уравнения во второе:
$2б - 2 = 3 \cdot (б - 2)$
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $б$:
$2б - 2 = 3б - 6$
Перенесём слагаемые с переменной в правую часть, а числа — в левую:
$6 - 2 = 3б - 2б$
$4 = б$
Таким образом, текущий возраст брата — 4 года.
Теперь найдём возраст сестры, используя первое уравнение:
$с = 2 \cdot 4$
$с = 8$
Текущий возраст сестры — 8 лет.
Проверим решение:
1. Сейчас сестре 8 лет, а брату 4 года. Она старше в $8 / 4 = 2$ раза. Условие выполнено.
2. Два года назад сестре было $8 - 2 = 6$ лет, а брату $4 - 2 = 2$ года. Она была старше в $6 / 2 = 3$ раза. Условие выполнено.
Ответ: сейчас брату 4 года, а сестре 8 лет.