Страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5 Представьте в виде многочлена:

а) $(6x^2 - 2x) + (5 + 10x - 5x^2)$;

б) $(6xy + 8y) - (2xy + 8y - 1)$.

а) Чтобы представить выражение $(6x^2 - 2x) + (5 + 10x - 5x^2)$ в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Поскольку перед второй скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых внутри нее при раскрытии не меняются:

$(6x^2 - 2x) + (5 + 10x - 5x^2) = 6x^2 - 2x + 5 + 10x - 5x^2$

Далее сгруппируем и сложим подобные члены:

1. Слагаемые с $x^2$: $6x^2 - 5x^2 = (6-5)x^2 = x^2$.

2. Слагаемые с $x$: $-2x + 10x = (-2+10)x = 8x$.

3. Свободный член (константа): $5$.

Объединяем полученные члены в многочлен:

$x^2 + 8x + 5$

Ответ: $x^2 + 8x + 5$.

б) Чтобы представить выражение $(6xy + 8y) - (2xy + 8y - 1)$ в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Поскольку перед второй скобкой стоит знак «-», при ее раскрытии знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные:

$(6xy + 8y) - (2xy + 8y - 1) = 6xy + 8y - 2xy - 8y + 1$

Далее сгруппируем и сложим подобные члены:

1. Слагаемые с $xy$: $6xy - 2xy = (6-2)xy = 4xy$.

2. Слагаемые с $y$: $8y - 8y = (8-8)y = 0$.

3. Свободный член (константа): $1$.

Объединяем полученные члены в многочлен:

$4xy + 0 + 1 = 4xy + 1$

Ответ: $4xy + 1$.

6 Представьте выражение $2ab - b^2 + a^2b - 6b$ в виде суммы и в виде разности двух двучленов.

В виде суммы

Чтобы представить заданное выражение в виде суммы двух двучленов, необходимо сгруппировать четыре его члена в две пары. Двучлен — это многочлен, состоящий из двух слагаемых (членов).

Исходное выражение: $2ab - b^2 + a^2b - 6b$.

Мы можем сгруппировать члены различными способами. Один из самых простых способов — сгруппировать первые два члена вместе и последние два члена вместе.

$(2ab - b^2) + (a^2b - 6b)$

В этом случае первым двучленом является $(2ab - b^2)$, а вторым — $(a^2b - 6b)$. Если мы раскроем скобки, то получим исходное выражение: $2ab - b^2 + a^2b - 6b$.

Другой возможный способ — сгруппировать члены, имеющие общие множители. Например, сгруппируем члены, содержащие переменную $a$ в квадрате или в первой степени, и члены, не содержащие $a$ (кроме как в составе $b$):

$(2ab + a^2b) + (-b^2 - 6b)$

Оба варианта являются верными решениями.

Ответ: $(2ab - b^2) + (a^2b - 6b)$.

В виде разности

Чтобы представить выражение в виде разности двух двучленов, нужно сгруппировать его члены таким образом, чтобы можно было вынести знак «минус» перед второй группой членов.

Исходное выражение: $2ab - b^2 + a^2b - 6b$.

Сначала перегруппируем члены, поставив сначала слагаемые с положительными знаками, а затем с отрицательными:

$2ab + a^2b - b^2 - 6b$

Теперь объединим первые два члена в один двучлен, а для двух последних вынесем общий знак «минус» за скобки. При вынесении минуса знаки членов внутри скобок меняются на противоположные:

$(2ab + a^2b) - (b^2 + 6b)$

Проверим себя, раскрыв скобки: $(2ab + a^2b) - (b^2 + 6b) = 2ab + a^2b - b^2 - 6b$. Выражение совпадает с исходным.

Таким образом, мы представили выражение как разность двучлена $(2ab + a^2b)$ и двучлена $(b^2 + 6b)$.

Ответ: $(2ab + a^2b) - (b^2 + 6b)$.

7 Представьте в виде многочлена произведение $4b^3(2b^2 - 3b - 2)$.

Чтобы представить данное произведение в виде многочлена, необходимо умножить одночлен $4b^3$ на каждый из членов многочлена, находящегося в скобках, то есть на $2b^2$, $-3b$ и $-2$. Это действие выполняется на основе распределительного свойства умножения относительно сложения и вычитания.

Исходное выражение:

$4b^3(2b^2 - 3b - 2)$

Применим распределительное свойство, умножив $4b^3$ на каждый член в скобках по очереди:

$4b^3(2b^2 - 3b - 2) = (4b^3 \cdot 2b^2) + (4b^3 \cdot (-3b)) + (4b^3 \cdot (-2))$

Теперь вычислим каждое из произведений. Вспомним правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

• Первый член: $4b^3 \cdot 2b^2 = (4 \cdot 2) \cdot (b^3 \cdot b^2) = 8 \cdot b^{3+2} = 8b^5$
• Второй член: $4b^3 \cdot (-3b) = (4 \cdot (-3)) \cdot (b^3 \cdot b^1) = -12 \cdot b^{3+1} = -12b^4$
• Третий член: $4b^3 \cdot (-2) = (4 \cdot (-2)) \cdot b^3 = -8b^3$

Теперь сложим полученные одночлены, чтобы получить итоговый многочлен:

$8b^5 - 12b^4 - 8b^3$

Это и есть искомый многочлен, так как все его члены записаны в стандартном виде и расположены в порядке убывания степеней переменной $b$.

Ответ: $8b^5 - 12b^4 - 8b^3$

8 Упростите выражение:

а) $3a(a - 2) - 2a(a - 3);$

б) $5b(b - c) + c(2b - c).$

а) Для упрощения выражения $3a(a - 2) - 2a(a - 3)$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Раскрыть скобки. Для этого умножим одночлены перед скобками на каждый член многочлена в скобках:
$3a(a - 2) = 3a \cdot a - 3a \cdot 2 = 3a^2 - 6a$
$-2a(a - 3) = -2a \cdot a - 2a \cdot (-3) = -2a^2 + 6a$
2. Сложить полученные выражения:
$(3a^2 - 6a) + (-2a^2 + 6a) = 3a^2 - 6a - 2a^2 + 6a$
3. Привести подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковой переменной в одинаковой степени:
$(3a^2 - 2a^2) + (-6a + 6a) = a^2 + 0 = a^2$
Ответ: $a^2$

б) Для упрощения выражения $5b(b - c) + c(2b - c)$ выполним аналогичные действия:
1. Раскроем скобки:
$5b(b - c) = 5b \cdot b - 5b \cdot c = 5b^2 - 5bc$
$c(2b - c) = c \cdot 2b - c \cdot c = 2bc - c^2$
2. Сложим полученные выражения:
$(5b^2 - 5bc) + (2bc - c^2) = 5b^2 - 5bc + 2bc - c^2$
3. Приведем подобные слагаемые (члены $-5bc$ и $2bc$):
$5b^2 + (-5bc + 2bc) - c^2 = 5b^2 - 3bc - c^2$
Ответ: $5b^2 - 3bc - c^2$

9 Представьте в виде многочлена:

a) $(2x + 5)(4 + 3x)$;

б) $(1 - a)(5a + 6)$;

в) $(2x - y)(3y - 4x)$.

а) Чтобы представить произведение двучленов $(2x + 5)(4 + 3x)$ в виде многочлена, необходимо каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго и сложить полученные произведения. Этот процесс также известен как раскрытие скобок.
Выполним умножение:
$(2x + 5)(4 + 3x) = 2x \cdot 4 + 2x \cdot 3x + 5 \cdot 4 + 5 \cdot 3x$
Вычислим каждое произведение:
$8x + 6x^2 + 20 + 15x$
Теперь приведем подобные слагаемые. В данном выражении подобными являются $8x$ и $15x$.
$8x + 15x = 23x$
Соберем все члены вместе и запишем многочлен в стандартном виде, то есть в порядке убывания степеней переменной:
$6x^2 + 23x + 20$
Ответ: $6x^2 + 23x + 20$.

б) Представим в виде многочлена выражение $(1 - a)(5a + 6)$.
Раскроем скобки, умножая каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(1 - a)(5a + 6) = 1 \cdot 5a + 1 \cdot 6 - a \cdot 5a - a \cdot 6$
Вычислим произведения:
$5a + 6 - 5a^2 - 6a$
Приведем подобные слагаемые. Подобными являются $5a$ и $-6a$.
$5a - 6a = -a$
Запишем получившийся многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной $a$):
$-5a^2 - a + 6$
Ответ: $-5a^2 - a + 6$.

в) Представим в виде многочлена выражение $(2x - y)(3y - 4x)$.
Снова применим правило умножения многочленов (раскрытие скобок):
$(2x - y)(3y - 4x) = 2x \cdot 3y + 2x \cdot (-4x) - y \cdot 3y - y \cdot (-4x)$
Вычислим каждое произведение:
$6xy - 8x^2 - 3y^2 + 4xy$
Приведем подобные слагаемые. В данном случае это $6xy$ и $4xy$.
$6xy + 4xy = 10xy$
Сгруппируем члены, чтобы записать многочлен в упорядоченном виде (например, сначала члены с $x^2$, затем с $xy$, затем с $y^2$):
$-8x^2 + 10xy - 3y^2$
Ответ: $-8x^2 + 10xy - 3y^2$.

10 Упростите выражение:

а) $2a(3a - 5) - (a - 3)(a - 7);$

б) $(c + 3)(5 - c) - 3c(1 - c).$

а) Чтобы упростить выражение $2a(3a - 5) - (a - 3)(a - 7)$, нужно последовательно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Раскроем первую скобку, умножив одночлен $2a$ на многочлен $(3a - 5)$:

$2a(3a - 5) = 2a \cdot 3a + 2a \cdot (-5) = 6a^2 - 10a$

2. Раскроем вторые скобки, перемножив два многочлена $(a - 3)$ и $(a - 7)$ по правилу "каждый член первого на каждый член второго":

$(a - 3)(a - 7) = a \cdot a + a \cdot (-7) - 3 \cdot a - 3 \cdot (-7) = a^2 - 7a - 3a + 21$

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$a^2 - (7a + 3a) + 21 = a^2 - 10a + 21$

3. Теперь подставим полученные выражения в исходное. Важно учесть, что перед вторым выражением стоит знак минус, поэтому при раскрытии скобок знаки всех его членов изменятся на противоположные:

$(6a^2 - 10a) - (a^2 - 10a + 21) = 6a^2 - 10a - a^2 + 10a - 21$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(6a^2 - a^2) + (-10a + 10a) - 21 = 5a^2 + 0 - 21 = 5a^2 - 21$

Ответ: $5a^2 - 21$

б) Упростим выражение $(c + 3)(5 - c) - 3c(1 - c)$, выполнив действия по порядку.

1. Раскроем первые скобки, перемножив многочлены $(c + 3)$ и $(5 - c)$:

$(c + 3)(5 - c) = c \cdot 5 + c \cdot (-c) + 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-c) = 5c - c^2 + 15 - 3c$

Приведем подобные слагаемые:

$-c^2 + (5c - 3c) + 15 = -c^2 + 2c + 15$

2. Раскроем вторую часть выражения, умножив $-3c$ на многочлен $(1 - c)$:

$-3c(1 - c) = -3c \cdot 1 - 3c \cdot (-c) = -3c + 3c^2$

3. Объединим результаты и подставим их в исходное выражение:

$(-c^2 + 2c + 15) + (-3c + 3c^2) = -c^2 + 2c + 15 - 3c + 3c^2$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-c^2 + 3c^2) + (2c - 3c) + 15 = 2c^2 - c + 15$

Ответ: $2c^2 - c + 15$

11 Представьте в виде многочлена:

а) $(3a + 4)^2$;

б) $(2a - 3b)^2$.

а) Для того чтобы представить выражение $(3a + 4)^2$ в виде многочлена, необходимо использовать формулу сокращенного умножения — квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном случае $x = 3a$ и $y = 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$(3a + 4)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot 4 + 4^2$

Теперь выполним вычисления для каждого слагаемого:

$(3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$

$2 \cdot (3a) \cdot 4 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot a = 24a$

$4^2 = 16$

Собрав все части вместе, получаем многочлен:

$9a^2 + 24a + 16$

Ответ: $9a^2 + 24a + 16$.

б) Для того чтобы представить выражение $(2a - 3b)^2$ в виде многочлена, необходимо использовать формулу сокращенного умножения — квадрат разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном случае $x = 2a$ и $y = 3b$.

Подставим эти значения в формулу:

$(2a - 3b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2$

Теперь выполним вычисления для каждого члена выражения:

$(2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$

$2 \cdot (2a) \cdot (3b) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot a \cdot b = 12ab$

$(3b)^2 = 3^2 \cdot b^2 = 9b^2$

Собрав все части вместе, получаем многочлен:

$4a^2 - 12ab + 9b^2$

Ответ: $4a^2 - 12ab + 9b^2$.

12 Упростите выражение:

a) $(a - b)^2 - a(a + 2b);$

б) $4c(c - 2) - (c - 4)^2.$

а) Чтобы упростить выражение $(a - b)^2 - a(a + 2b)$, нужно последовательно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Сначала раскроем квадрат разности $(a - b)^2$, используя формулу сокращенного умножения $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

2. Затем раскроем скобки во втором слагаемом, умножив $-a$ на каждый член в скобках $(a + 2b)$.

$-a(a + 2b) = -a \cdot a - a \cdot 2b = -a^2 - 2ab$

3. Теперь объединим полученные результаты и приведем подобные члены.

$(a^2 - 2ab + b^2) + (-a^2 - 2ab) = a^2 - 2ab + b^2 - a^2 - 2ab$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-2ab - 2ab) + b^2 = 0 - 4ab + b^2 = b^2 - 4ab$

Ответ: $b^2 - 4ab$

б) Чтобы упростить выражение $4c(c - 2) - (c - 4)^2$, также раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Сначала раскроем скобки в первом слагаемом, применив распределительный закон умножения.

$4c(c - 2) = 4c \cdot c - 4c \cdot 2 = 4c^2 - 8c$

2. Затем раскроем квадрат разности $(c - 4)^2$ по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(c - 4)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 4 + 4^2 = c^2 - 8c + 16$

3. Подставим полученные выражения в исходное. Обратим внимание, что перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому при ее раскрытии все знаки внутри изменятся на противоположные.

$(4c^2 - 8c) - (c^2 - 8c + 16) = 4c^2 - 8c - c^2 + 8c - 16$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$(4c^2 - c^2) + (-8c + 8c) - 16 = 3c^2 + 0 - 16 = 3c^2 - 16$

Ответ: $3c^2 - 16$

13 Представьте в виде квадрата двучлена:

а) $4 - 4a + a^2$;

б) $9a^2 - 6ab + b^2$.

а) Чтобы представить выражение $4 - 4a + a^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения — квадратом разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем выражении $4 - 4a + a^2$ определим члены, соответствующие этой формуле:

Первый член $4$ можно представить как квадрат числа $2$, то есть $x^2 = 4 = 2^2$, откуда $x = 2$.

Третий член $a^2$ является квадратом переменной $a$, то есть $y^2 = a^2$, откуда $y = a$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член $-4a$ удвоенному произведению $x$ и $y$ со знаком минус, то есть $-2xy$. Подставим найденные значения $x=2$ и $y=a$:

$-2xy = -2 \cdot 2 \cdot a = -4a$.

Средний член совпадает. Следовательно, данное выражение является полным квадратом разности двучлена $2 - a$.

$4 - 4a + a^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot a + a^2 = (2 - a)^2$.

Ответ: $(2 - a)^2$

б) Чтобы представить выражение $9a^2 - 6ab + b^2$ в виде квадрата двучлена, мы также применим формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Рассмотрим члены данного выражения:

Первый член $9a^2$ является полным квадратом выражения $3a$, так как $(3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$. Значит, можно принять $x = 3a$.

Третий член $b^2$ является квадратом переменной $b$. Значит, $y = b$.

Проверим средний член $-6ab$. Он должен быть равен удвоенному произведению $x$ и $y$ со знаком минус, то есть $-2xy$. Подставим $x=3a$ и $y=b$:

$-2xy = -2 \cdot (3a) \cdot b = -6ab$.

Средний член совпадает. Таким образом, исходное выражение можно свернуть в квадрат разности двучлена $3a - b$.

$9a^2 - 6ab + b^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 = (3a - b)^2$.

Ответ: $(3a - b)^2$

14 Решите уравнение:

а) $10 - 3(5x - 1.5) = 2.5 - 5x;$

б) $2(3x - 4) = 5x - 3(x + 1).$

а) $10 - 3(5x - 1,5) = 2,5 - 5x$

Первым шагом раскроем скобки в левой части уравнения, умножив $-3$ на каждый член в скобках:

$10 - 3 \cdot 5x - 3 \cdot (-1,5) = 2,5 - 5x$

$10 - 15x + 4,5 = 2,5 - 5x$

Теперь приведем подобные слагаемые (числа) в левой части уравнения:

$(10 + 4,5) - 15x = 2,5 - 5x$

$14,5 - 15x = 2,5 - 5x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем $-15x$ вправо, а $2,5$ влево, меняя их знаки на противоположные:

$14,5 - 2,5 = -5x + 15x$

Снова приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$12 = 10x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $10$:

$x = \frac{12}{10}$

$x = 1,2$

Ответ: $1,2$

б) $2(3x - 4) = 5x - 3(x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2 \cdot 3x - 2 \cdot 4 = 5x - 3 \cdot x - 3 \cdot 1$

$6x - 8 = 5x - 3x - 3$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$6x - 8 = (5 - 3)x - 3$

$6x - 8 = 2x - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, не забывая менять знаки при переносе:

$6x - 2x = -3 + 8$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$4x = 5$

Разделим обе части уравнения на $4$, чтобы найти значение $x$:

$x = \frac{5}{4}$

$x = 1,25$

Ответ: $1,25$

15 Из пункта $A$ в пункт $B$, расстояние между которыми 26 км, выехал велосипедист. Одновременно с ним из пункта $B$ в пункт $A$ выехал мотоциклист со скоростью, на 28 км/ч большей скорости велосипедиста. Они встретились через 0,5 ч. Найдите скорость мотоциклиста. На каком расстоянии от пункта $A$ произошла встреча?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $S$ – расстояние между пунктами А и В, равное 26 км; $v_в$ – скорость велосипедиста в км/ч; $v_м$ – скорость мотоциклиста в км/ч; $t$ – время, через которое они встретились, равное 0,5 ч.

Из условия задачи известно, что скорость мотоциклиста на 28 км/ч больше скорости велосипедиста. Это можно записать в виде уравнения:

$v_м = v_в + 28$

Велосипедист и мотоциклист движутся навстречу друг другу. Их общая скорость, или скорость сближения ($v_{сбл}$), равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_в + v_м$

За время $t$ они вместе преодолели всё расстояние $S$ между пунктами. Используя формулу расстояния $S = v_{сбл} \times t$, мы можем найти их скорость сближения:

$26 = (v_в + v_м) \times 0.5$

Отсюда находим сумму скоростей:

$v_в + v_м = \frac{26}{0.5} = 52$ км/ч

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_м = v_в + 28 \\ v_в + v_м = 52 \end{cases}$

Найдите скорость мотоциклиста.

Подставим выражение для $v_м$ из первого уравнения во второе, чтобы найти скорость велосипедиста:

$v_в + (v_в + 28) = 52$

$2v_в + 28 = 52$

$2v_в = 52 - 28$

$2v_в = 24$

$v_в = \frac{24}{2} = 12$ км/ч

Мы нашли скорость велосипедиста. Теперь найдем скорость мотоциклиста, подставив значение $v_в$ в первое уравнение:

$v_м = 12 + 28 = 40$ км/ч

Ответ: скорость мотоциклиста 40 км/ч.

На каком расстоянии от пункта А произошла встреча?

Расстояние от пункта А до места встречи равно пути, который проехал велосипедист, так как он выехал из пункта А. Чтобы найти это расстояние ($S_А$), умножим скорость велосипедиста на время в пути:

$S_А = v_в \times t = 12 \text{ км/ч} \times 0.5 \text{ ч} = 6$ км

Ответ: встреча произошла на расстоянии 6 км от пункта А.

16 Площадь прямоугольника равна площади квадрата. Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата, а другая на 3 см больше стороны квадрата. Найдите площадь квадрата.

Пусть сторона квадрата равна $x$ см. Тогда его площадь $S_{квадрата}$ вычисляется по формуле $S_{квадрата} = x^2$.

Согласно условию задачи, одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата, то есть ее длина равна $a = (x - 2)$ см. Другая сторона прямоугольника на 3 см больше стороны квадрата, и ее длина равна $b = (x + 3)$ см. Так как длина стороны фигуры не может быть отрицательной или равной нулю, должно выполняться условие $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$.

Площадь прямоугольника $S_{прямоугольника}$ равна произведению его сторон: $S_{прямоугольника} = a \cdot b = (x - 2)(x + 3)$.

По условию площади квадрата и прямоугольника равны, поэтому мы можем составить уравнение:
$S_{квадрата} = S_{прямоугольника}$
$x^2 = (x - 2)(x + 3)$

Решим полученное уравнение. Для этого раскроем скобки в правой части:
$x^2 = x^2 + 3x - 2x - 6$

Приведем подобные слагаемые в правой части:
$x^2 = x^2 + x - 6$

Перенесем все члены с $x$ в одну часть уравнения, а числа — в другую:
$x^2 - x^2 - x = -6$
$-x = -6$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $x$:
$x = 6$

Итак, сторона квадрата равна 6 см. Это значение удовлетворяет ранее найденному условию $x > 2$.

Теперь найдем площадь квадрата:
$S_{квадрата} = x^2 = 6^2 = 36$ см$^2$.

Ответ: 36 см$^2$.

1 Упростите выражение $a^2b^3aba^3$.

Для того чтобы упростить выражение $a^2b^3aba^3$, необходимо сгруппировать множители с одинаковыми основаниями и затем применить свойство умножения степеней.

Основное свойство степеней, которое мы будем использовать, гласит: при умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются. Математически это записывается так: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Также следует помнить, что любая переменная без явно указанного показателя степени имеет показатель, равный 1, то есть $a = a^1$ и $b = b^1$.

Сначала перегруппируем множители в исходном выражении, объединив все степени с основанием a и все степени с основанием b:

$a^2b^3aba^3 = (a^2 \cdot a \cdot a^3) \cdot (b^3 \cdot b)$

Теперь применим правило сложения показателей для каждой группы оснований:

Для множителей с основанием a:$a^2 \cdot a^1 \cdot a^3 = a^{2+1+3} = a^6$

Для множителей с основанием b:$b^3 \cdot b^1 = b^{3+1} = b^4$

Наконец, объединим полученные результаты, перемножив их:$a^6 \cdot b^4 = a^6b^4$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид $a^6b^4$.

Ответ: $a^6b^4$

2 Выполните умножение $a^2 \cdot a^n$.

Для выполнения умножения степеней с одинаковыми основаниями используется свойство степеней, согласно которому основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Общая формула этого свойства выглядит так: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.

В данном примере нам нужно умножить $a^2$ на $a^n$. Основание у обеих степеней одинаковое и равно $a$. Показатели степеней — это 2 и $n$.

Применяя указанное выше правило, мы складываем показатели степеней, оставляя основание $a$ без изменений:

$a^2 \cdot a^n = a^{2+n}$

Выражение $2+n$ в показателе степени является окончательным, так как $n$ — это переменная, и дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $a^{2+n}$

Значение какого из выражений равно $2^{11}$?

1) $2^{12} - 2$

2) $2^{12} : 2$

3) $2^{22} : 2$

4) $2^{22} : 2^2$

Чтобы определить, значение какого из выражений равно $2^{11}$, необходимо упростить каждое из предложенных выражений, используя свойства степеней.

Основное свойство, которое нам понадобится, — это правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Также следует помнить, что любое число без показателя степени можно представить как это число в первой степени, то есть $a = a^1$.

1) $2^{12} - 2$

Это операция вычитания, а не деления или умножения степеней. Мы можем вынести общий множитель 2 за скобки: $2^{12} - 2 = 2 \cdot 2^{11} - 2 \cdot 1 = 2(2^{11} - 1)$. Данное выражение не равно $2^{11}$.
Ответ: не равно $2^{11}$.

2) $2^{12} : 2$

Представим делитель 2 как $2^1$. Теперь воспользуемся правилом деления степеней с одинаковым основанием: $2^{12} : 2 = 2^{12} : 2^1 = 2^{12-1} = 2^{11}$. Значение этого выражения равно $2^{11}$.
Ответ: равно $2^{11}$.

3) $2^{22} : 2$

Аналогично второму пункту, представим 2 как $2^1$ и применим правило деления степеней: $2^{22} : 2 = 2^{22} : 2^1 = 2^{22-1} = 2^{21}$. Это выражение не равно $2^{11}$.
Ответ: не равно $2^{11}$.

4) $2^{22} : 2^2$

Применяем то же правило деления степеней: $2^{22} : 2^2 = 2^{22-2} = 2^{20}$. Это выражение не равно $2^{11}$.
Ответ: не равно $2^{11}$.