Страница 191 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Запишите распределительный закон умножения в том виде, как он применяется для вынесения общего множителя за скобки.

Распределительный закон умножения (также известный как дистрибутивность) — это свойство, которое связывает операции умножения и сложения (или вычитания). Когда этот закон используется для вынесения общего множителя за скобки, он позволяет преобразовать сумму или разность произведений в единое произведение.

Суть операции заключается в том, что если в выражении, состоящем из суммы или разности, каждое слагаемое (или уменьшаемое и вычитаемое) имеет одинаковый множитель, то этот общий множитель можно вынести за скобки. В скобках при этом останется сумма или разность остальных множителей.

В общем виде для любых чисел $a$, $b$ и $c$ это правило записывается следующими формулами:

• Для сложения: $ab + ac = a(b + c)$
• Для вычитания: $ab - ac = a(b - c)$

Эти равенства, читаемые справа налево, показывают раскрытие скобок, а читаемые слева направо — вынесение общего множителя за скобки. Именно второй случай и требуется в задаче.

Ответ: $ab + ac = a(b + c)$ и $ab - ac = a(b - c)$.

Покажите на примере выражения $8bc + 10ac$, как вынести общий множитель за скобки (фрагмент 1).

Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении $8bc + 10ac$, необходимо найти общие части для каждого слагаемого ($8bc$ и $10ac$) и вынести их за скобку. Процесс можно разбить на несколько шагов.

Шаг 1: Нахождение общего множителя для коэффициентов.
Коэффициенты в данном выражении — это числа $8$ и $10$. Найдем их наибольший общий делитель (НОД). Для этого можно разложить числа на простые множители или перечислить их делители.
Делители числа 8: 1, 2, 4, 8.
Делители числа 10: 1, 2, 5, 10.
Как мы видим, наибольшим общим делителем для 8 и 10 является число $2$.

Шаг 2: Нахождение общих переменных.
Теперь рассмотрим буквенные части одночленов: $bc$ и $ac$.
Первый одночлен $8bc$ содержит переменные $b$ и $c$.
Второй одночлен $10ac$ содержит переменные $a$ и $c$.
Общей переменной, которая присутствует в обоих одночленах, является $c$.

Шаг 3: Формирование общего множителя и вынесение его за скобки.
Общий множитель всего выражения складывается из общего числового коэффициента и общих переменных. В нашем случае это произведение $2$ и $c$, то есть $2c$.
Теперь вынесем $2c$ за скобки. Для этого каждый член исходного выражения нужно разделить на $2c$, а результат записать в скобках.
Делим первое слагаемое: $\frac{8bc}{2c} = 4b$
Делим второе слагаемое: $\frac{10ac}{2c} = 5a$
Записываем итоговое выражение:
$8bc + 10ac = 2c(4b + 5a)$

Шаг 4: Проверка.
Чтобы убедиться в правильности решения, можно выполнить обратное действие — раскрыть скобки:
$2c(4b + 5a) = (2c \cdot 4b) + (2c \cdot 5a) = 8bc + 10ac$
Результат совпадает с исходным выражением, следовательно, вынесение общего множителя выполнено верно.

Ответ: $2c(4b + 5a)$

Объясните, как сократить дробь $\frac{ax+ay}{bx+by}$ (в качестве образца воспользуйтесь примером 2 из текста, фрагмент 2).

Для того чтобы сократить алгебраическую дробь $\frac{ax+ay}{bx+by}$, необходимо сначала разложить на множители её числитель и знаменатель. Это делается путем нахождения и вынесения за скобки общих множителей.

1. Разложение числителя на множители.
В числителе дроби находится выражение $ax+ay$. Оба члена этого двучлена ($ax$ и $ay$) содержат общий множитель $a$. Вынесем $a$ за скобки:
$ax+ay = a(x+y)$

2. Разложение знаменателя на множители.
В знаменателе дроби находится выражение $bx+by$. Оба члена этого двучлена ($bx$ и $by$) содержат общий множитель $b$. Вынесем $b$ за скобки:
$bx+by = b(x+y)$

3. Сокращение дроби.
Теперь подставим полученные разложения обратно в исходную дробь:
$\frac{ax+ay}{bx+by} = \frac{a(x+y)}{b(x+y)}$
Как видно, и в числителе, и в знаменателе есть общий множитель $(x+y)$. По основному свойству дроби мы можем разделить числитель и знаменатель на этот общий множитель (при условии, что он не равен нулю, то есть $x+y \neq 0$).
$\frac{a \cdot (x+y)}{b \cdot (x+y)} = \frac{a}{b}$
Таким образом, после сокращения дробь упрощается.

Ответ: $\frac{a}{b}$