Страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

18 Найдите значение выражения $6a^2 - 2a - 1$ при $a = -\frac{1}{4}$.

Для того чтобы найти значение выражения $6a^2 - 2a - 1$ при $a = -\frac{1}{4}$, необходимо подставить данное значение переменной $a$ в выражение и выполнить вычисления.

Подставляем $a = -\frac{1}{4}$:

$6 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) - 1$

Вычислим по порядку, соблюдая очередность действий (сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце сложение и вычитание):

1. Сначала возводим в квадрат значение $a$:

$\left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16}$

2. Теперь подставляем полученное значение обратно в выражение и выполняем умножение:

$6 \cdot \frac{1}{16} - 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) - 1 = \frac{6}{16} + \frac{2}{4} - 1$

3. Сократим дроби:

$\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$ (разделив числитель и знаменатель на 2)

$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ (разделив числитель и знаменатель на 2)

4. Выражение принимает вид:

$\frac{3}{8} + \frac{1}{2} - 1$

5. Для выполнения сложения и вычитания приведем все члены к общему знаменателю, который равен 8:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$

$1 = \frac{8}{8}$

6. Выполняем финальное вычисление:

$\frac{3}{8} + \frac{4}{8} - \frac{8}{8} = \frac{3 + 4 - 8}{8} = \frac{7 - 8}{8} = -\frac{1}{8}$

Ответ: $-\frac{1}{8}$

19. Чему равна степень многочлена $0.3x^2 - 2x^4 + 1.2$?

1) 2

2) 3

3) 4

4) 6

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней его членов (одночленов).

Рассмотрим многочлен, данный в задаче: $0,3x^2 - 2x^4 + 1,2$.

Этот многочлен состоит из трех членов:

1. Член $0,3x^2$. Его степень равна показателю степени переменной $x$, то есть 2.

2. Член $-2x^4$. Его степень равна 4.

3. Член $1,2$. Это свободный член (константа), его степень считается равной 0, так как его можно записать в виде $1,2x^0$.

Степени членов многочлена равны 2, 4 и 0. Чтобы найти степень всего многочлена, нужно выбрать наибольшую из этих степеней.

Наибольшее значение из {2, 4, 0} — это 4.

Следовательно, степень многочлена $0,3x^2 - 2x^4 + 1,2$ равна 4.

Ответ: 4

20 Какую степень имеет многочлен, равный произведению многочленов $ (x^2+3)(x^3+2x-1)? $

1) 2
2) 3
3) 5
4) 6

Чтобы найти степень многочлена, который является произведением двух других многочленов, нужно сложить степени этих многочленов.

Рассмотрим произведение многочленов $(x^2 + 3)(x^3 + 2x - 1)$.

Степень первого многочлена $(x^2 + 3)$ равна 2, так как это наивысшая степень переменной $x$ в нем.

Степень второго многочлена $(x^3 + 2x - 1)$ равна 3.

Степень результирующего многочлена будет равна сумме степеней исходных многочленов: $2 + 3 = 5$.

Для проверки можно выполнить умножение. Член с наивысшей степенью в итоговом многочлене получится при умножении членов с наивысшими степенями в исходных многочленах: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$.

Полное умножение выглядит так: $(x^2 + 3)(x^3 + 2x - 1) = x^2 \cdot x^3 + x^2 \cdot 2x - x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x^3 + 3 \cdot 2x - 3 \cdot 1 = x^5 + 2x^3 - x^2 + 3x^3 + 6x - 3 = x^5 + 5x^3 - x^2 + 6x - 3$.

Как мы видим, наивысшая степень переменной $x$ в полученном многочлене равна 5.

Ответ: 5

21 Упростите выражение $2x^2y - xy^2 + x^2y - 3xy^2 + 2xy$.

Чтобы упростить данное выражение, необходимо найти и сложить подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть.

Исходное выражение: $2x^2y - xy^2 + x^2y - 3xy^2 + 2xy$.

Сгруппируем подобные слагаемые. Для наглядности можно переставить их местами:

$(2x^2y + x^2y) + (-xy^2 - 3xy^2) + 2xy$

Теперь выполним сложение в каждой группе:

1. Слагаемые с буквенной частью $x^2y$:
$2x^2y + x^2y = (2+1)x^2y = 3x^2y$

2. Слагаемые с буквенной частью $xy^2$:
$-xy^2 - 3xy^2 = (-1-3)xy^2 = -4xy^2$

3. Слагаемое с буквенной частью $xy$ только одно, поэтому оно остается без изменений: $2xy$.

Теперь объединим полученные результаты в одно выражение:

$3x^2y - 4xy^2 + 2xy$

Ответ: $3x^2y - 4xy^2 + 2xy$

22 Среди выражений, записанных ниже, найдите выражение, равное многочлену $2x - 3y - z$.

1) $-(2x - 3y - z)$

2) $-(2x + 3y + z)$

3) $-(3y - 2x + z)$

4) $-(3y + 2x - z)$

Чтобы найти выражение, равное многочлену $2x - 3y - z$, мы последовательно упростим каждое из предложенных выражений, раскрыв в них скобки, и сравним результат с исходным многочleном. Правило, которое мы будем использовать, гласит: если перед скобками стоит знак «минус», то при их раскрытии знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

1) Рассмотрим выражение $-(2x - 3y - z)$.

Раскрываем скобки: $-(2x - 3y - z) = -2x - (-3y) - (-z) = -2x + 3y + z$.

Полученное выражение $-2x + 3y + z$ не равно исходному $2x - 3y - z$.

Ответ: неверно.

2) Рассмотрим выражение $-(2x + 3y + z)$.

Раскрываем скобки: $-(2x + 3y + z) = -2x - 3y - z$.

Полученное выражение $-2x - 3y - z$ не равно исходному $2x - 3y - z$.

Ответ: неверно.

3) Рассмотрим выражение $-(3y - 2x + z)$.

Раскрываем скобки: $-(3y - 2x + z) = -3y - (-2x) - (+z) = -3y + 2x - z$.

Для удобства сравнения поменяем слагаемые местами (используя переместительный закон сложения): $2x - 3y - z$.

Полученное выражение $2x - 3y - z$ в точности совпадает с исходным многочленом.

Ответ: верно.

4) Рассмотрим выражение $-(3y + 2x - z)$.

Раскрываем скобки: $-(3y + 2x - z) = -3y - 2x - (-z) = -3y - 2x + z$.

Полученное выражение, упорядоченное как $-2x - 3y + z$, не равно исходному $2x - 3y - z$.

Ответ: неверно.

23 Среди приведённых ниже выражений найдите выражение, противоположное многочлену $5a - 8b + 1$.

1) $5a + 8b - 1$

2) $-5a + 8b - 1$

3) $-5a + 8b + 1$

4) $-5a - 8b - 1$

Чтобы найти выражение, противоположное многочлену, необходимо изменить знак каждого его члена на противоположный. Иными словами, нужно умножить исходный многочлен на $-1$.

Исходный многочлен: $5a - 8b + 1$.

Найдём противоположное ему выражение, для чего поставим знак минус перед всем выражением в скобках:

$-(5a - 8b + 1)$

Теперь раскроем скобки. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$-(+5a) - (-8b) - (+1) = -5a + 8b - 1$

Итак, выражение, противоположное данному, имеет вид: $-5a + 8b - 1$.

Сравним полученное выражение с предложенными вариантами ответа:

1. $5a + 8b - 1$
2. $-5a + 8b - 1$
3. $-5a + 8b + 1$
4. $-5a - 8b - 1$

Наш результат совпадает с выражением под номером 2.

Ответ: 2

24 Какой многочлен надо записать вместо многоточия, чтобы равен-ство $(-m + n - q) + \ldots = 0$ было верным?

1) $m - n + q$

2) $m - n - q$

3) $m + n - q$

4) $-m - n + q$

Для того чтобы найти многочлен, который необходимо подставить вместо многоточия, мы можем обозначить его как неизвестную переменную, например $X$. Тогда исходное равенство можно записать в виде уравнения:

$(-m + n - q) + X = 0$

Чтобы найти $X$, нам нужно изолировать его в одной части уравнения. Для этого мы перенесем многочлен $(-m + n - q)$ в правую часть уравнения. При переносе выражения через знак равенства его знак меняется на противоположный:

$X = -(-m + n - q)$

Теперь необходимо раскрыть скобки. Знак «минус» перед скобками означает, что знак каждого члена внутри скобок нужно изменить на противоположный:

$X = -(-m) - (+n) - (-q)$

$X = m - n + q$

Следовательно, искомый многочлен — это $m - n + q$.

Для проверки мы можем подставить этот многочлен в исходное равенство:

$(-m + n - q) + (m - n + q) = 0$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$-m + n - q + m - n + q = (-m + m) + (n - n) + (-q + q) = 0 + 0 + 0 = 0$

Равенство $0=0$ верно, значит, решение найдено правильно. Данный многочлен соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 1) $m - n + q$

25 Найдите сумму многочленов $2x^3 - 2x$ и $-x^2 + 2x - 1$.

Чтобы найти сумму многочленов, необходимо сложить их, а затем сгруппировать и привести подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени).

Даны два многочлена: $2x^3 - 2x$ и $-x^2 + 2x - 1$.

Запишем их сумму:

$(2x^3 - 2x) + (-x^2 + 2x - 1)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри нее не изменятся:

$2x^3 - 2x - x^2 + 2x - 1$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые. В данном выражении подобными являются $-2x$ и $+2x$.

$2x^3 - x^2 + (-2x + 2x) - 1$

Выполним сложение подобных слагаемых:

$-2x + 2x = 0$

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$2x^3 - x^2 + 0 - 1$

Упростим выражение, убрав ноль:

$2x^3 - x^2 - 1$

Ответ: $2x^3 - x^2 - 1$

26 В выражении $p - q$ подставьте $p = 12ab - 15ac$, $q = 10ab - 15ac + 2bc$ и упростите получившееся выражение.

Чтобы решить задачу, необходимо подставить данные выражения для $p$ и $q$ в выражение $p - q$ и затем упростить его.

Исходное выражение: $p - q$.

Дано: $p = 12ab - 15ac$ и $q = 10ab - 15ac + 2bc$.

Подставляем $p$ и $q$ в выражение $p - q$:

$p - q = (12ab - 15ac) - (10ab - 15ac + 2bc)$

Теперь раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри этой скобки меняются на противоположные:

$12ab - 15ac - 10ab + 15ac - 2bc$

Сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью) и выполним действия:

$(12ab - 10ab) + (-15ac + 15ac) - 2bc$

Вычисляем:

$12ab - 10ab = 2ab$
$-15ac + 15ac = 0$
$-2bc$

Собираем все вместе:

$2ab + 0 - 2bc = 2ab - 2bc$

Ответ: $2ab - 2bc$

27 Упростите выражение $5a^2 - 5a(a - 2)$.

Для упрощения выражения $5a^2 - 5a(a - 2)$ необходимо выполнить несколько алгебраических преобразований.

1. Раскрытие скобок

Первым шагом является раскрытие скобок. Для этого нужно умножить множитель перед скобками, $-5a$, на каждый член внутри скобок, то есть на $a$ и на $-2$. Это делается на основе распределительного закона умножения.

$-5a \cdot a = -5a^2$

$-5a \cdot (-2) = 10a$

Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$5a^2 - 5a(a - 2) = 5a^2 - 5a^2 + 10a$

2. Приведение подобных слагаемых

Следующий шаг — это приведение подобных слагаемых. Подобные слагаемые — это члены выражения, имеющие одинаковую буквенную часть. В нашем случае это $5a^2$ и $-5a^2$.

Сложим их коэффициенты:

$5a^2 - 5a^2 = (5 - 5)a^2 = 0 \cdot a^2 = 0$

После вычитания этих членов друг из друга они взаимно уничтожаются. В выражении остается только член $10a$.

$0 + 10a = 10a$

Таким образом, упрощенное выражение равно $10a$.

Ответ: $10a$

28 Собственная скорость катера $v$ км/ч, скорость течения реки $a$ км/ч. Катер плыл 3 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое из следующих утверждений верно?

1) за всё время он проплыл такое же расстояние, как плот по течению за 6 ч

2) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 3 ч в стоячей воде

3) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 6 ч в стоячей воде

4) по течению он проплыл такое же расстояние, как против течения

Для решения задачи введем обозначения:

• $v$ — собственная скорость катера (в км/ч).
• $a$ — скорость течения реки (в км/ч).

Скорость катера при движении по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по\;теч.} = v + a$.

Скорость катера при движении против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против\;теч.} = v - a$.

Катер плыл 3 часа по течению и 3 часа против течения. Общее время в пути составляет $3 + 3 = 6$ часов.

Найдем общее расстояние, которое проплыл катер. Оно складывается из расстояния, пройденного по течению, и расстояния, пройденного против течения.

Расстояние по течению: $S_{по\;теч.} = (v + a) \cdot 3$ км.

Расстояние против течения: $S_{против\;теч.} = (v - a) \cdot 3$ км.

Общее расстояние $S_{общ.} = S_{по\;теч.} + S_{против\;теч.} = 3(v + a) + 3(v - a)$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S_{общ.} = 3v + 3a + 3v - 3a = 6v$ км.

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений.

1) за всё время он проплыл такое же расстояние, как плот по течению за 6 ч
Плот не имеет собственной скорости, поэтому он движется со скоростью течения реки, то есть $a$ км/ч. За 6 часов плот проплывет расстояние $S_{плот} = 6 \cdot a = 6a$ км. Сравниваем общее расстояние, пройденное катером ($6v$), с расстоянием, пройденным плотом ($6a$). Равенство $6v = 6a$ будет верным, только если $v = a$. Но если собственная скорость катера равна скорости течения, его скорость против течения будет $v - a = 0$, и он не сможет двигаться против течения. Следовательно, $v > a$, и утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверно.

2) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 3 ч в стоячей воде
В стоячей воде (где скорость течения равна нулю) катер движется со своей собственной скоростью $v$. За 3 часа он проплывет расстояние $S_{стоячая, 3ч} = v \cdot 3 = 3v$ км. Сравниваем общее расстояние $6v$ с расстоянием $3v$. Равенство $6v = 3v$ верно только при $v = 0$, что лишено смысла в контексте задачи. Утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверно.

3) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 6 ч в стоячей воде
За 6 часов в стоячей воде катер проплывет расстояние $S_{стоячая, 6ч} = v \cdot 6 = 6v$ км. Сравниваем общее расстояние, которое проплыл катер ($S_{общ.} = 6v$), с этим расстоянием. Равенство $6v = 6v$ является тождеством и верно для любого значения $v$.
Ответ: утверждение верно.

4) по течению он проплыл такое же расстояние, как против течения
Сравниваем расстояние, пройденное по течению $S_{по\;теч.} = 3(v + a)$, с расстоянием, пройденным против течения $S_{против\;теч.} = 3(v - a)$. Равенство $3(v + a) = 3(v - a)$ равносильно $v + a = v - a$, что, в свою очередь, верно только при $a = -a$, то есть при $a = 0$. Это означало бы отсутствие течения, что противоречит условию задачи, где скорость течения $a$ км/ч (подразумевается, что $a > 0$). Утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверно.

29 Выполните умножение $(2a + 3)(4a - 6)$.

Для того чтобы выполнить умножение двух двучленов $(2a + 3)(4a - 6)$, необходимо каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго и затем сложить полученные произведения. Это делается по следующей схеме (правило раскрытия скобок):

$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

Применим это правило к нашему выражению:

1. Умножим первый член первого двучлена ($2a$) на каждый член второго двучлена ($4a$ и $-6$):

$2a \cdot 4a = 8a^2$

$2a \cdot (-6) = -12a$

2. Умножим второй член первого двучлена ($3$) на каждый член второго двучлена ($4a$ и $-6$):

$3 \cdot 4a = 12a$

$3 \cdot (-6) = -18$

3. Теперь сложим все полученные результаты:

$(2a + 3)(4a - 6) = 8a^2 - 12a + 12a - 18$

4. Приведем подобные слагаемые. В данном выражении подобными слагаемыми являются $-12a$ и $12a$. Их сумма равна нулю:

$-12a + 12a = 0$

5. Подставим это значение обратно в выражение и получим окончательный результат:

$8a^2 + 0 - 18 = 8a^2 - 18$

Ответ: $8a^2 - 18$