Номер 28, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

28 Собственная скорость катера $v$ км/ч, скорость течения реки $a$ км/ч. Катер плыл 3 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое из следующих утверждений верно?

1) за всё время он проплыл такое же расстояние, как плот по течению за 6 ч

2) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 3 ч в стоячей воде

3) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 6 ч в стоячей воде

4) по течению он проплыл такое же расстояние, как против течения

Для решения задачи введем обозначения:

• $v$ — собственная скорость катера (в км/ч).
• $a$ — скорость течения реки (в км/ч).

Скорость катера при движении по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по\;теч.} = v + a$.

Скорость катера при движении против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против\;теч.} = v - a$.

Катер плыл 3 часа по течению и 3 часа против течения. Общее время в пути составляет $3 + 3 = 6$ часов.

Найдем общее расстояние, которое проплыл катер. Оно складывается из расстояния, пройденного по течению, и расстояния, пройденного против течения.

Расстояние по течению: $S_{по\;теч.} = (v + a) \cdot 3$ км.

Расстояние против течения: $S_{против\;теч.} = (v - a) \cdot 3$ км.

Общее расстояние $S_{общ.} = S_{по\;теч.} + S_{против\;теч.} = 3(v + a) + 3(v - a)$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S_{общ.} = 3v + 3a + 3v - 3a = 6v$ км.

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений.

1) за всё время он проплыл такое же расстояние, как плот по течению за 6 ч
Плот не имеет собственной скорости, поэтому он движется со скоростью течения реки, то есть $a$ км/ч. За 6 часов плот проплывет расстояние $S_{плот} = 6 \cdot a = 6a$ км. Сравниваем общее расстояние, пройденное катером ($6v$), с расстоянием, пройденным плотом ($6a$). Равенство $6v = 6a$ будет верным, только если $v = a$. Но если собственная скорость катера равна скорости течения, его скорость против течения будет $v - a = 0$, и он не сможет двигаться против течения. Следовательно, $v > a$, и утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверно.

2) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 3 ч в стоячей воде
В стоячей воде (где скорость течения равна нулю) катер движется со своей собственной скоростью $v$. За 3 часа он проплывет расстояние $S_{стоячая, 3ч} = v \cdot 3 = 3v$ км. Сравниваем общее расстояние $6v$ с расстоянием $3v$. Равенство $6v = 3v$ верно только при $v = 0$, что лишено смысла в контексте задачи. Утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверно.

3) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 6 ч в стоячей воде
За 6 часов в стоячей воде катер проплывет расстояние $S_{стоячая, 6ч} = v \cdot 6 = 6v$ км. Сравниваем общее расстояние, которое проплыл катер ($S_{общ.} = 6v$), с этим расстоянием. Равенство $6v = 6v$ является тождеством и верно для любого значения $v$.
Ответ: утверждение верно.

4) по течению он проплыл такое же расстояние, как против течения
Сравниваем расстояние, пройденное по течению $S_{по\;теч.} = 3(v + a)$, с расстоянием, пройденным против течения $S_{против\;теч.} = 3(v - a)$. Равенство $3(v + a) = 3(v - a)$ равносильно $v + a = v - a$, что, в свою очередь, верно только при $a = -a$, то есть при $a = 0$. Это означало бы отсутствие течения, что противоречит условию задачи, где скорость течения $a$ км/ч (подразумевается, что $a > 0$). Утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверно.