Номер 30, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

30 Какое из выражений противоположно произведению $(a-b)(a-c)$?

1) $(b-a)(c-a)$

2) $-(a-b)(c-a)$

3) $(b-a)(a-c)$

4) $-(b-a)(a-c)$

Противоположным для некоторого выражения $X$ является выражение $-X$. Нам нужно найти выражение, которое тождественно равно $-(a-b)(a-c)$. Для этого будем преобразовывать каждый из предложенных вариантов, используя основное свойство: $x-y = -(y-x)$.

1) $(b-a)(c-a)$

В этом выражении преобразуем обе скобки:
$(b-a) = -(a-b)$
$(c-a) = -(a-c)$
Тогда произведение примет вид:
$(b-a)(c-a) = (-(a-b)) \cdot (-(a-c)) = (-1) \cdot (a-b) \cdot (-1) \cdot (a-c) = (-1)^2 \cdot (a-b)(a-c) = (a-b)(a-c)$.
Это выражение равно исходному, а не противоположно ему.

2) $-(a-b)(c-a)$

Преобразуем вторую скобку: $(c-a) = -(a-c)$.
Тогда выражение примет вид:
$-(a-b)(c-a) = -(a-b) \cdot (-(a-c)) = (-1) \cdot (a-b) \cdot (-1) \cdot (a-c) = (a-b)(a-c)$.
Это выражение также равно исходному.

3) $(b-a)(a-c)$

Преобразуем первую скобку: $(b-a) = -(a-b)$.
Тогда выражение примет вид:
$(b-a)(a-c) = (-(a-b)) \cdot (a-c) = -(a-b)(a-c)$.
Это выражение является противоположным исходному произведению.

4) $-(b-a)(a-c)$

Преобразуем первую скобку: $(b-a) = -(a-b)$.
Тогда выражение примет вид:
$-(b-a)(a-c) = -(-(a-b)) \cdot (a-c) = (-1) \cdot (-1) \cdot (a-b)(a-c) = (a-b)(a-c)$.
Это выражение равно исходному.

Таким образом, единственное выражение, которое является противоположным произведению $(a-b)(a-c)$, это $(b-a)(a-c)$.
Ответ: 3