Номер 36, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

36 Из палаточного лагеря к станции вышел турист со скоростью 6 км/ч. Через 15 мин вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч, обогнал туриста и приехал на станцию на 5 мин раньше его. Чему равно расстояние от лагеря до станции?

Какое из следующих уравнений соответствует условию задачи, если буквой $x$ в нём обозначено время движения туриста в часах?

1) $12x = 6\left(x + \frac{1}{3}\right)$

2) $6x = 12\left(x - \frac{1}{3}\right)$

3) $12x = 6\left(x - \frac{1}{6}\right)$

4) $6x = 12\left(x + \frac{1}{6}\right)$

Чему равно расстояние от лагеря до станции?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
– $S$ – искомое расстояние от лагеря до станции (в км);
– $v_т = 6$ км/ч – скорость туриста;
– $v_в = 12$ км/ч – скорость велосипедиста;
– $t_т$ – время движения туриста (в часах);
– $t_в$ – время движения велосипедиста (в часах).

Расстояние, которое прошел турист, вычисляется по формуле $S = v_т \cdot t_т$, что дает $S = 6t_т$.

Аналогично, расстояние, которое проехал велосипедист, равно $S = v_в \cdot t_в$, то есть $S = 12t_в$.

Так как турист и велосипедист преодолели одно и то же расстояние, мы можем приравнять правые части этих выражений: $6t_т = 12t_в$.

Теперь установим связь между временем их движения. Велосипедист выехал на 15 минут позже туриста, а приехал на 5 минут раньше. Следовательно, общее время, которое велосипедист провел в пути, было меньше времени туриста на сумму этих интервалов: $15 \text{ мин} + 5 \text{ мин} = 20 \text{ мин}$.

Для согласованности единиц измерения переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ часа} = \frac{1}{3} \text{ часа}$.

Таким образом, время движения велосипедиста $t_в$ на $\frac{1}{3}$ часа меньше времени движения туриста $t_т$: $t_в = t_т - \frac{1}{3}$.

Подставим это соотношение в уравнение равенства путей: $6t_т = 12(t_т - \frac{1}{3})$.

Решим полученное уравнение относительно $t_т$:

$6t_т = 12t_т - 12 \cdot \frac{1}{3}$

$6t_т = 12t_т - 4$

$12t_т - 6t_т = 4$

$6t_т = 4$

$t_т = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ часа.

Итак, время движения туриста составляет $\frac{2}{3}$ часа (что равно 40 минутам).

Теперь мы можем найти искомое расстояние, подставив значение $t_т$ в формулу для пути туриста:

$S = 6 \cdot t_т = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$ км.

Ответ: 4 км.

Какое из следующих уравнений соответствует условию задачи, если буквой x в нём обозначено время движения туриста в часах?

Пусть $x$ – время движения туриста в часах. Согласно условию, скорость туриста $v_т = 6$ км/ч. Тогда пройденное им расстояние $S$ равно $S = 6x$.

Велосипедист двигался со скоростью $v_в = 12$ км/ч. Его время в пути $t_в$ было на 20 минут ($\frac{1}{3}$ часа) меньше времени туриста, так как он выехал на 15 минут позже и приехал на 5 минут раньше ($15+5=20$). Значит, время велосипедиста $t_в = x - \frac{1}{3}$ часа. Расстояние, которое он проехал, равно $S = 12 \cdot (x - \frac{1}{3})$.

Поскольку они проехали одинаковое расстояние, мы можем приравнять выражения для $S$:

$6x = 12(x - \frac{1}{3})$

Среди предложенных вариантов это уравнение соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2) $6x = 12(x - \frac{1}{3})$