Страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

30 Какое из выражений противоположно произведению $(a-b)(a-c)$?

1) $(b-a)(c-a)$

2) $-(a-b)(c-a)$

3) $(b-a)(a-c)$

4) $-(b-a)(a-c)$

Противоположным для некоторого выражения $X$ является выражение $-X$. Нам нужно найти выражение, которое тождественно равно $-(a-b)(a-c)$. Для этого будем преобразовывать каждый из предложенных вариантов, используя основное свойство: $x-y = -(y-x)$.

1) $(b-a)(c-a)$

В этом выражении преобразуем обе скобки:
$(b-a) = -(a-b)$
$(c-a) = -(a-c)$
Тогда произведение примет вид:
$(b-a)(c-a) = (-(a-b)) \cdot (-(a-c)) = (-1) \cdot (a-b) \cdot (-1) \cdot (a-c) = (-1)^2 \cdot (a-b)(a-c) = (a-b)(a-c)$.
Это выражение равно исходному, а не противоположно ему.

2) $-(a-b)(c-a)$

Преобразуем вторую скобку: $(c-a) = -(a-c)$.
Тогда выражение примет вид:
$-(a-b)(c-a) = -(a-b) \cdot (-(a-c)) = (-1) \cdot (a-b) \cdot (-1) \cdot (a-c) = (a-b)(a-c)$.
Это выражение также равно исходному.

3) $(b-a)(a-c)$

Преобразуем первую скобку: $(b-a) = -(a-b)$.
Тогда выражение примет вид:
$(b-a)(a-c) = (-(a-b)) \cdot (a-c) = -(a-b)(a-c)$.
Это выражение является противоположным исходному произведению.

4) $-(b-a)(a-c)$

Преобразуем первую скобку: $(b-a) = -(a-b)$.
Тогда выражение примет вид:
$-(b-a)(a-c) = -(-(a-b)) \cdot (a-c) = (-1) \cdot (-1) \cdot (a-b)(a-c) = (a-b)(a-c)$.
Это выражение равно исходному.

Таким образом, единственное выражение, которое является противоположным произведению $(a-b)(a-c)$, это $(b-a)(a-c)$.
Ответ: 3

31 Раскройте скобки в выражении $(2x - 5y)^2$.

1) $4x^2 - 25y^2$

2) $2x^2 - 10xy + 5y^2$

3) $4x^2 - 10xy + 25y^2$

4) $4x^2 - 20xy + 25y^2$

Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $(2x - 5y)^2$, нужно применить формулу сокращенного умножения, известную как "квадрат разности": $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $a = 2x$, а $b = 5y$.

Подставим эти значения в формулу:

$(2x - 5y)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (5y) + (5y)^2$

Теперь последовательно вычислим каждый член этого выражения:

1. Возведем в квадрат первый член: $(2x)^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2$.

2. Найдем удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 2x \cdot 5y = 20xy$.

3. Возведем в квадрат второй член: $(5y)^2 = 5^2 \cdot y^2 = 25y^2$.

Соединим полученные результаты в одно выражение в соответствии с формулой:

$4x^2 - 20xy + 25y^2$

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: $4x^2 - 20xy + 25y^2$

32 Упростите выражение $3(m - 2)^2 + 12m$.

Чтобы упростить выражение $3(m - 2)^2 + 12m$, выполним следующие действия по порядку.

1. Раскроем скобку $(m - 2)^2$, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = m$ и $b = 2$, поэтому получаем:

$(m - 2)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = m^2 - 4m + 4$.

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:

$3(m - 2)^2 + 12m = 3(m^2 - 4m + 4) + 12m$.

3. Раскроем скобки, умножив множитель 3 на каждый член многочлена в скобках:

$3 \cdot m^2 - 3 \cdot 4m + 3 \cdot 4 + 12m = 3m^2 - 12m + 12 + 12m$.

4. Приведем подобные слагаемые. В выражении есть два подобных слагаемых: $-12m$ и $+12m$. Их сумма равна нулю.

$3m^2 + (-12m + 12m) + 12 = 3m^2 + 0 + 12 = 3m^2 + 12$.

Таким образом, после упрощения выражение принимает вид $3m^2 + 12$.

Ответ: $3m^2 + 12$.

33 Даны выражения:

А) $(a-5)^2$ Б) $(5-a)^2$ В) $-(a-5)^2$ Г) $-(5-a)^2$

Какие из них равны произведению $(a-5)(5-a)$?

1) А и Б 2) А и В 3) Б и Г 4) В и Г

Для того чтобы определить, какие из предложенных выражений равны произведению $(a - 5)(5 - a)$, необходимо сначала упростить это произведение.

Заметим, что второй множитель $(5 - a)$ можно преобразовать, вынеся за скобки $-1$: $5 - a = -1 \cdot (a - 5) = -(a - 5)$.

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в исходное произведение:

$(a - 5)(5 - a) = (a - 5) \cdot (-(a - 5)) = -(a - 5)(a - 5) = -(a - 5)^2$.

Итак, мы ищем выражения, которые тождественно равны $-(a - 5)^2$. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

А) $(a - 5)^2$

Это выражение не равно $-(a - 5)^2$, за исключением частного случая, когда $a=5$. В общем виде тождество неверно.

Б) $(5 - a)^2$

Используем свойство квадрата, согласно которому $(x)^2 = (-x)^2$. Преобразуем выражение: $(5 - a)^2 = (-(a - 5))^2 = (a - 5)^2$. Это выражение также не равно $-(a - 5)^2$.

В) $-(a - 5)^2$

Это выражение в точности совпадает с полученным нами результатом упрощения исходного произведения. Следовательно, оно является верным.

Г) $-(5 - a)^2$

Как мы уже выяснили в пункте Б, $(5 - a)^2 = (a - 5)^2$. Следовательно, мы можем выполнить замену в данном выражении: $-(5 - a)^2 = -(a - 5)^2$. Это выражение также совпадает с нашим результатом и является верным.

Таким образом, произведению $(a - 5)(5 - a)$ равны выражения В и Г. В предложенных вариантах ответа это соответствует номеру 4.

Ответ: 4) В и Г

34 Упростите выражение $(1 + xy)^2 - (1 - xy)^2$.

1) $0$

2) $2xy + 2x^2y^2$

3) $2x^2y^2$

4) $4xy$

Для упрощения данного выражения можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1: Применение формулы разности квадратов

Исходное выражение $(1 + xy)^2 - (1 - xy)^2$ представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = 1 + xy$ и $b = 1 - xy$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Подставим наши значения $a$ и $b$ в формулу:

$((1 + xy) - (1 - xy)) \cdot ((1 + xy) + (1 - xy))$

Упростим выражение в каждой из скобок:

Первая скобка: $1 + xy - 1 + xy = 2xy$

Вторая скобка: $1 + xy + 1 - xy = 2$

Теперь перемножим полученные результаты:

$2xy \cdot 2 = 4xy$

Способ 2: Раскрытие скобок по формулам квадрата суммы и разности

Раскроем каждую скобку по отдельности, используя формулы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$(1 + xy)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot xy + (xy)^2 = 1 + 2xy + x^2y^2$

$(1 - xy)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot xy + (xy)^2 = 1 - 2xy + x^2y^2$

Теперь вычтем второе полученное выражение из первого:

$(1 + 2xy + x^2y^2) - (1 - 2xy + x^2y^2) = 1 + 2xy + x^2y^2 - 1 + 2xy - x^2y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(1-1) + (2xy+2xy) + (x^2y^2 - x^2y^2) = 0 + 4xy + 0 = 4xy$

Оба способа приводят к одинаковому результату, который соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) $4xy$

35 Решите уравнение $2(x - 1) - 7 = 5x - 5.$

Для решения уравнения $2(x - 1) - 7 = 5x - 5$ необходимо выполнить следующие действия:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 2 на каждый член внутри скобок (распределительное свойство):

$2 \cdot x - 2 \cdot 1 - 7 = 5x - 5$

$2x - 2 - 7 = 5x - 5$

2. Упростим левую часть, сложив постоянные члены:

$2x - 9 = 5x - 5$

3. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены (числа) — в другой. Для этого перенесем $2x$ из левой части в правую (сменив знак на минус) и $-5$ из правой части в левую (сменив знак на плюс):

$-9 + 5 = 5x - 2x$

4. Выполним вычитание в обеих частях уравнения:

$-4 = 3x$

5. Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:

$x = \frac{-4}{3}$

Таким образом, корень уравнения равен $-\frac{4}{3}$.

Ответ: $-\frac{4}{3}$

36 Из палаточного лагеря к станции вышел турист со скоростью 6 км/ч. Через 15 мин вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч, обогнал туриста и приехал на станцию на 5 мин раньше его. Чему равно расстояние от лагеря до станции?

Какое из следующих уравнений соответствует условию задачи, если буквой $x$ в нём обозначено время движения туриста в часах?

1) $12x = 6\left(x + \frac{1}{3}\right)$

2) $6x = 12\left(x - \frac{1}{3}\right)$

3) $12x = 6\left(x - \frac{1}{6}\right)$

4) $6x = 12\left(x + \frac{1}{6}\right)$

Чему равно расстояние от лагеря до станции?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
– $S$ – искомое расстояние от лагеря до станции (в км);
– $v_т = 6$ км/ч – скорость туриста;
– $v_в = 12$ км/ч – скорость велосипедиста;
– $t_т$ – время движения туриста (в часах);
– $t_в$ – время движения велосипедиста (в часах).

Расстояние, которое прошел турист, вычисляется по формуле $S = v_т \cdot t_т$, что дает $S = 6t_т$.

Аналогично, расстояние, которое проехал велосипедист, равно $S = v_в \cdot t_в$, то есть $S = 12t_в$.

Так как турист и велосипедист преодолели одно и то же расстояние, мы можем приравнять правые части этих выражений: $6t_т = 12t_в$.

Теперь установим связь между временем их движения. Велосипедист выехал на 15 минут позже туриста, а приехал на 5 минут раньше. Следовательно, общее время, которое велосипедист провел в пути, было меньше времени туриста на сумму этих интервалов: $15 \text{ мин} + 5 \text{ мин} = 20 \text{ мин}$.

Для согласованности единиц измерения переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ часа} = \frac{1}{3} \text{ часа}$.

Таким образом, время движения велосипедиста $t_в$ на $\frac{1}{3}$ часа меньше времени движения туриста $t_т$: $t_в = t_т - \frac{1}{3}$.

Подставим это соотношение в уравнение равенства путей: $6t_т = 12(t_т - \frac{1}{3})$.

Решим полученное уравнение относительно $t_т$:

$6t_т = 12t_т - 12 \cdot \frac{1}{3}$

$6t_т = 12t_т - 4$

$12t_т - 6t_т = 4$

$6t_т = 4$

$t_т = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ часа.

Итак, время движения туриста составляет $\frac{2}{3}$ часа (что равно 40 минутам).

Теперь мы можем найти искомое расстояние, подставив значение $t_т$ в формулу для пути туриста:

$S = 6 \cdot t_т = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$ км.

Ответ: 4 км.

Какое из следующих уравнений соответствует условию задачи, если буквой x в нём обозначено время движения туриста в часах?

Пусть $x$ – время движения туриста в часах. Согласно условию, скорость туриста $v_т = 6$ км/ч. Тогда пройденное им расстояние $S$ равно $S = 6x$.

Велосипедист двигался со скоростью $v_в = 12$ км/ч. Его время в пути $t_в$ было на 20 минут ($\frac{1}{3}$ часа) меньше времени туриста, так как он выехал на 15 минут позже и приехал на 5 минут раньше ($15+5=20$). Значит, время велосипедиста $t_в = x - \frac{1}{3}$ часа. Расстояние, которое он проехал, равно $S = 12 \cdot (x - \frac{1}{3})$.

Поскольку они проехали одинаковое расстояние, мы можем приравнять выражения для $S$:

$6x = 12(x - \frac{1}{3})$

Среди предложенных вариантов это уравнение соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2) $6x = 12(x - \frac{1}{3})$

37 Найдите ответ на вопрос задачи, сформулированной в задании 3Б.

1) ${2 \over 3}$ км

2) 4 км

3) ${1 \over 3}$ км

4) 2 км

Для ответа на вопрос задачи №37 необходимо знать условие задачи №36. Поскольку условие задачи №36 отсутствует, дать единственно верное решение невозможно. Однако, можно предположить, какой могла быть эта задача, чтобы один из предложенных вариантов ответа оказался верным.

Проанализировав варианты ответов, можно сделать вывод, что скорее всего это была задача на движение.

Давайте предположим, что условие задачи №36 было таким:

«Из двух сёл, расстояние между которыми 6 км, одновременно навстречу друг другу вышли пешеход и велосипедист. Скорость пешехода 4 км/ч, а скорость велосипедиста 8 км/ч. На каком расстоянии от села, из которого вышел пешеход, они встретятся?»

Решение для гипотетической задачи:

1. Сначала определим скорость сближения пешехода и велосипедиста. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости суммируются:

$v_{сбл} = v_{пеш} + v_{вел} = 4 \text{ км/ч} + 8 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$

2. Теперь найдем время, через которое они встретятся. Для этого разделим общее расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{6 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = \frac{1}{2} \text{ часа}$ (или 30 минут).

3. Чтобы найти расстояние от села, из которого вышел пешеход, до места встречи, умножим скорость пешехода на время, которое он был в пути до встречи:

$S_{пеш} = v_{пеш} \times t = 4 \text{ км/ч} \times \frac{1}{2} \text{ ч} = 2 \text{ км}$

Полученный результат (2 км) совпадает с вариантом ответа №4.

Ответ: 4) 2 км (при условии, что наша гипотеза об условии задачи №36 верна).