Страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.1 Вынесите общий множитель за скобки и вычислите значение выражения:

а) $5 \cdot 47 + 5 \cdot 13;$

б) $127 \cdot 9 - 27 \cdot 9;$

в) $75^2 + 25 \cdot 75;$

г) $1\frac{3}{5} \cdot 7 + 2\frac{2}{5} \cdot 7;$

д) $0,8 \cdot 4,5 - 0,8 \cdot 2,5;$

е) $0,3 \cdot \frac{5}{6} + 0,7 \cdot \frac{5}{6}.$

а) $5 \cdot 47 + 5 \cdot 13$

В данном выражении общим множителем является число 5. Вынесем его за скобки, используя распределительный закон умножения. Затем выполним вычисления:

$5 \cdot 47 + 5 \cdot 13 = 5 \cdot (47 + 13) = 5 \cdot 60 = 300$

Ответ: 300

б) $127 \cdot 9 - 27 \cdot 9$

Общим множителем для уменьшаемого и вычитаемого является число 9. Вынесем его за скобки:

$127 \cdot 9 - 27 \cdot 9 = (127 - 27) \cdot 9 = 100 \cdot 9 = 900$

Ответ: 900

в) $75^2 + 25 \cdot 75$

Представим $75^2$ как $75 \cdot 75$. Теперь видно, что общий множитель — это 75. Вынесем его за скобки:

$75^2 + 25 \cdot 75 = 75 \cdot 75 + 25 \cdot 75 = 75 \cdot (75 + 25) = 75 \cdot 100 = 7500$

Ответ: 7500

г) $1\frac{3}{5} \cdot 7 + 2\frac{2}{5} \cdot 7$

Общим множителем является число 7. Выносим его за скобки и выполняем сложение смешанных чисел:

$1\frac{3}{5} \cdot 7 + 2\frac{2}{5} \cdot 7 = (1\frac{3}{5} + 2\frac{2}{5}) \cdot 7 = ((1+2) + (\frac{3}{5} + \frac{2}{5})) \cdot 7 = (3 + \frac{5}{5}) \cdot 7 = (3+1) \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28$

Ответ: 28

д) $0,8 \cdot 4,5 - 0,8 \cdot 2,5$

Общим множителем является десятичная дробь 0,8. Вынесем ее за скобки:

$0,8 \cdot 4,5 - 0,8 \cdot 2,5 = 0,8 \cdot (4,5 - 2,5) = 0,8 \cdot 2 = 1,6$

Ответ: 1,6

е) $0,3 \cdot \frac{5}{6} + 0,7 \cdot \frac{5}{6}$

Общим множителем является обыкновенная дробь $\frac{5}{6}$. Вынесем ее за скобки:

$0,3 \cdot \frac{5}{6} + 0,7 \cdot \frac{5}{6} = (0,3 + 0,7) \cdot \frac{5}{6} = 1 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

Вынесите общий множитель за скобки (7.2—7.3).

7.2

а) $2a + 2c;$

б) $3x - 9y;$

в) $8 + 8a;$

г) $16z - 20y;$

д) $ab - bc;$

е) $4a + ab;$

ж) $cd + d;$

з) $x - 2xy.$

а) В выражении $2a + 2c$ оба члена ($2a$ и $2c$) имеют общий числовой множитель 2. Чтобы вынести его за скобки, нужно каждый член выражения разделить на этот общий множитель, а результат записать в скобках. Сам множитель 2 ставится перед скобками.

$2a : 2 = a$

$2c : 2 = c$

Следовательно, выражение примет вид: $2(a + c)$.

Ответ: $2(a + c)$

б) В выражении $3x - 9y$ необходимо найти общий множитель для членов $3x$ и $9y$. Коэффициенты 3 и 9 имеют наибольший общий делитель (НОД) равный 3. Общих переменных у членов нет. Выносим 3 за скобки.

$3x : 3 = x$

$-9y : 3 = -3y$

Таким образом, получаем: $3(x - 3y)$.

Ответ: $3(x - 3y)$

в) В выражении $8 + 8a$ оба члена ($8$ и $8a$) имеют общий множитель 8. Вынесем его за скобки. Важно помнить, что при делении члена на самого себя получается 1.

$8 : 8 = 1$

$8a : 8 = a$

Получаем: $8(1 + a)$.

Ответ: $8(1 + a)$

г) В выражении $16z - 20y$ найдём наибольший общий делитель для коэффициентов 16 и 20. НОД(16, 20) = 4. Общих переменных нет. Выносим 4 за скобки.

$16z : 4 = 4z$

$-20y : 4 = -5y$

В результате получаем: $4(4z - 5y)$.

Ответ: $4(4z - 5y)$

д) В выражении $ab - bc$ оба члена ($ab$ и $bc$) содержат общий переменный множитель $b$. Вынесем его за скобки.

$ab : b = a$

$-bc : b = -c$

Следовательно, $ab - bc = b(a - c)$.

Ответ: $b(a - c)$

е) В выражении $4a + ab$ оба члена ($4a$ и $ab$) содержат общий переменный множитель $a$. Выносим $a$ за скобки.

$4a : a = 4$

$ab : a = b$

Получаем выражение: $a(4 + b)$.

Ответ: $a(4 + b)$

ж) В выражении $cd + d$ оба члена ($cd$ и $d$) содержат общий множитель $d$. Второй член $d$ можно представить как $1 \cdot d$. Вынесем $d$ за скобки.

$cd : d = c$

$d : d = 1$

Таким образом, $cd + d = d(c + 1)$.

Ответ: $d(c + 1)$

з) В выражении $x - 2xy$ оба члена ($x$ и $2xy$) имеют общий множитель $x$. Первый член $x$ можно представить как $1 \cdot x$. Вынесем $x$ за скобки.

$x : x = 1$

$-2xy : x = -2y$

В результате получаем: $x(1 - 2y)$.

Ответ: $x(1 - 2y)$

7.3 а) $abc - abd$;

Б) $4cx - acx$;

В) $xyz + yzd$;

Г) $ad + bd + cd$;

Д) $4ab - 2ac - 6ad$;

Е) $abx - acx - adx$.

а) $abc - abd$

Чтобы разложить выражение на множители, найдем общий множитель для каждого члена. В данном случае оба члена, $abc$ и $-abd$, содержат множители $a$ и $b$. Вынесем общий множитель $ab$ за скобки.

$abc - abd = ab \cdot c - ab \cdot d = ab(c - d)$

Ответ: $ab(c - d)$

б) $4cx - acx$

В выражении $4cx - acx$ общими множителями для обоих членов являются переменные $c$ и $x$. Вынесем общий множитель $cx$ за скобки.

$4cx - acx = cx \cdot 4 - cx \cdot a = cx(4 - a)$

Ответ: $cx(4 - a)$

в) $xyz + yzd$

В выражении $xyz + yzd$ оба члена имеют общие множители $y$ и $z$. Вынесем их за скобки, чтобы разложить выражение на множители.

$xyz + yzd = yz \cdot x + yz \cdot d = yz(x + d)$

Ответ: $yz(x + d)$

г) $ad + bd + cd$

В данном выражении, состоящем из трех членов, общим множителем для всех является переменная $d$. Вынесем $d$ за скобки.

$ad + bd + cd = d \cdot a + d \cdot b + d \cdot c = d(a + b + c)$

Ответ: $d(a + b + c)$

д) $4ab - 2ac - 6ad$

Рассмотрим все три члена выражения: $4ab$, $-2ac$ и $-6ad$. Общий буквенный множитель - это $a$. Для числовых коэффициентов $4$, $-2$ и $-6$ наибольший общий делитель равен $2$. Таким образом, общий множитель всего выражения - это $2a$.

$4ab - 2ac - 6ad = 2a \cdot 2b - 2a \cdot c - 2a \cdot 3d = 2a(2b - c - 3d)$

Ответ: $2a(2b - c - 3d)$

е) $abx - acx - adx$

В выражении $abx - acx - adx$ все три члена содержат общие множители $a$ и $x$. Вынесем общий множитель $ax$ за скобки.

$abx - acx - adx = ax \cdot b - ax \cdot c - ax \cdot d = ax(b - c - d)$

Ответ: $ax(b - c - d)$

7.4 Найдите значение выражения $ax - ay + az$:

а) при $a = 58, x = 96, y = 12, z = 16$;

б) при $a = 3,7, x = 2,8, y = 4,8, z = 2$.

Для того чтобы найти значение выражения $ax - ay + az$, сначала упростим его, вынеся общий множитель $a$ за скобки. Это позволит сделать вычисления проще.

$ax - ay + az = a(x - y + z)$

Теперь будем подставлять заданные значения в это упрощенное выражение.

а) при $a = 58$, $x = 96$, $y = 12$, $z = 16$

Подставляем значения $x$, $y$ и $z$ в выражение в скобках:

$x - y + z = 96 - 12 + 16 = 84 + 16 = 100$

Теперь умножаем полученный результат на $a$:

$a(x - y + z) = 58 \cdot 100 = 5800$

Ответ: 5800

б) при $a = 3,7$, $x = 2,8$, $y = 4,8$, $z = 2$

Подставляем значения $x$, $y$ и $z$ в выражение в скобках:

$x - y + z = 2,8 - 4,8 + 2 = -2 + 2 = 0$

Теперь умножаем полученный результат на $a$:

$a(x - y + z) = 3,7 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

Вынесите общий множитель за скобки (7.5–7.6).

7.5

a) $x - xy;$

б) $cd + d;$

в) $6ab + 2a;$

г) $2x - 2xz;$

д) $xyz + yz;$

е) $ac - 5acd.$

Образец. $a + 3ab = a \cdot 1 + 3ab = a(1 + 3b).$

а) В выражении $x - xy$ оба члена ($x$ и $xy$) имеют общий множитель $x$. Чтобы вынести его за скобки, представим каждый член в виде произведения с этим множителем. Первый член $x$ можно записать как $x \cdot 1$, а второй член $-xy$ как $-x \cdot y$. Тогда выражение примет вид: $x \cdot 1 - x \cdot y$. Используя распределительный закон умножения, выносим $x$ за скобки и получаем $x(1 - y)$.
Ответ: $x(1 - y)$

б) В выражении $cd + d$ общим множителем для обоих членов ($cd$ и $d$) является $d$. Представим член $d$ как $d \cdot 1$. Тогда выражение можно переписать в виде $c \cdot d + 1 \cdot d$. Выносим общий множитель $d$ за скобки: $d(c + 1)$.
Ответ: $d(c + 1)$

в) В выражении $6ab + 2a$ нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов и общие переменные. НОД для 6 и 2 равен 2. Общая переменная для $ab$ и $a$ - это $a$. Таким образом, общий множитель равен $2a$. Разделим каждый член на $2a$: $6ab \div 2a = 3b$ и $2a \div 2a = 1$. Теперь запишем исходное выражение, вынеся общий множитель за скобки: $2a(3b + 1)$.
Ответ: $2a(3b + 1)$

г) В выражении $2x - 2xz$ общий множитель для обоих членов ($2x$ и $-2xz$) — это $2x$. Представим $2x$ как $2x \cdot 1$. Тогда выражение можно записать как $2x \cdot 1 - 2x \cdot z$. Вынося $2x$ за скобки, получаем $2x(1 - z)$.
Ответ: $2x(1 - z)$

д) В выражении $xyz + yz$ оба члена ($xyz$ и $yz$) содержат произведение переменных $yz$. Это и есть общий множитель. Разделим каждый член на $yz$: $xyz \div yz = x$ и $yz \div yz = 1$. Запишем выражение с вынесенным за скобки общим множителем: $yz(x + 1)$.
Ответ: $yz(x + 1)$

е) В выражении $ac - 5acd$ общим множителем для обоих членов является произведение переменных $ac$. Представим первый член как $ac \cdot 1$. Тогда выражение можно записать в виде $ac \cdot 1 - ac \cdot 5d$. Выносим $ac$ за скобки и получаем: $ac(1 - 5d)$.
Ответ: $ac(1 - 5d)$

7.6 а) $x^2 + x^6;$

б) $5z^4 + 15z^8;$

в) $6y^4 - 9y^2;$

г) $x^2 - 2xy;$

д) $ab + a^2;$

е) $y^3 - 4y^2;$

ж) $ab^2 - a^2b;$

з) $x^2y^2 - 2xy;$

и) $p^2x + px^2;$

к) $2ac - 4bc;$

л) $3x^2 + 3x^3y;$

м) $6a^2b + 3ab^2.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^2 + x^6$, необходимо вынести за скобки общий множитель. В данном случае это переменная $x$ в наименьшей степени, то есть $x^2$. Разделим каждый член многочлена на $x^2$:
$x^2 + x^6 = x^2 \cdot 1 + x^2 \cdot x^4 = x^2(1 + x^4)$.
Ответ: $x^2(1 + x^4)$.

б) В выражении $5z^4 + 15z^8$ находим наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 5 и 15, он равен 5. Общий множитель для переменных — это $z$ в наименьшей степени, то есть $z^4$. Таким образом, общий множитель для всего выражения — $5z^4$. Выносим его за скобки:
$5z^4 + 15z^8 = 5z^4 \cdot 1 + 5z^4 \cdot 3z^4 = 5z^4(1 + 3z^4)$.
Ответ: $5z^4(1 + 3z^4)$.

в) В выражении $6y^4 - 9y^2$ НОД коэффициентов 6 и 9 равен 3. Общий множитель для переменных — $y$ в наименьшей степени, то есть $y^2$. Общий множитель для всего выражения — $3y^2$. Выносим его за скобки:
$6y^4 - 9y^2 = 3y^2 \cdot 2y^2 - 3y^2 \cdot 3 = 3y^2(2y^2 - 3)$.
Ответ: $3y^2(2y^2 - 3)$.

г) В выражении $x^2 - 2xy$ общим множителем является переменная $x$, так как она присутствует в обоих членах в наименьшей степени 1. Выносим $x$ за скобки:
$x^2 - 2xy = x \cdot x - x \cdot 2y = x(x - 2y)$.
Ответ: $x(x - 2y)$.

д) В выражении $ab + a^2$ общим множителем является переменная $a$ в наименьшей степени 1. Выносим $a$ за скобки:
$ab + a^2 = a \cdot b + a \cdot a = a(b + a)$.
Ответ: $a(b + a)$.

е) В выражении $y^3 - 4y^2$ общим множителем является переменная $y$ в наименьшей степени, то есть $y^2$. Выносим $y^2$ за скобки:
$y^3 - 4y^2 = y^2 \cdot y - y^2 \cdot 4 = y^2(y - 4)$.
Ответ: $y^2(y - 4)$.

ж) В выражении $ab^2 - a^2b$ оба члена содержат переменные $a$ и $b$. Для переменной $a$ наименьшая степень равна 1, для $b$ также 1. Следовательно, общий множитель — $ab$. Выносим его за скобки:
$ab^2 - a^2b = ab \cdot b - ab \cdot a = ab(b - a)$.
Ответ: $ab(b - a)$.

з) В выражении $x^2y^2 - 2xy$ общим множителем для переменных является произведение $xy$, так как $x$ и $y$ входят в каждый член в наименьшей степени 1. Выносим $xy$ за скобки:
$x^2y^2 - 2xy = xy \cdot xy - xy \cdot 2 = xy(xy - 2)$.
Ответ: $xy(xy - 2)$.

и) В выражении $p^2x + px^2$ общим множителем является произведение переменных $p$ и $x$ в их наименьших степенях, то есть $px$. Выносим $px$ за скобки:
$p^2x + px^2 = px \cdot p + px \cdot x = px(p + x)$.
Ответ: $px(p + x)$.

к) В выражении $2ac - 4bc$ НОД коэффициентов 2 и 4 равен 2. Общая переменная для обоих членов — $c$. Таким образом, общий множитель — $2c$. Выносим его за скобки:
$2ac - 4bc = 2c \cdot a - 2c \cdot 2b = 2c(a - 2b)$.
Ответ: $2c(a - 2b)$.

л) В выражении $3x^2 + 3x^3y$ общий множитель для коэффициентов равен 3. Общий множитель для переменных — $x$ в наименьшей степени, то есть $x^2$. Итоговый общий множитель — $3x^2$. Выносим его за скобки:
$3x^2 + 3x^3y = 3x^2 \cdot 1 + 3x^2 \cdot xy = 3x^2(1 + xy)$.
Ответ: $3x^2(1 + xy)$.

м) В выражении $6a^2b + 3ab^2$ НОД коэффициентов 6 и 3 равен 3. Общий множитель для переменных — произведение $a$ и $b$ в их наименьших степенях, то есть $ab$. Общий множитель всего выражения — $3ab$. Выносим его за скобки:
$6a^2b + 3ab^2 = 3ab \cdot 2a + 3ab \cdot b = 3ab(2a + b)$.
Ответ: $3ab(2a + b)$.

7.7 Найдите значение выражения:

а) $x^2 + 2x$ при $x = 98$; при $x = -202$;

б) $10a^2 - a^3$ при $a = 11$; при $a = 9$.

а) Сначала упростим выражение $x^2 + 2x$, вынеся общий множитель $x$ за скобки. Получим $x(x + 2)$. Теперь подставим значения $x$.
При $x = 98$:
$98 \cdot (98 + 2) = 98 \cdot 100 = 9800$.
Ответ: 9800.

При $x = -202$:
$-202 \cdot (-202 + 2) = -202 \cdot (-200) = 40400$.
Ответ: 40400.

б) Сначала упростим выражение $10a^2 - a^3$, вынеся общий множитель $a^2$ за скобки. Получим $a^2(10 - a)$. Теперь подставим значения $a$.
При $a = 11$:
$11^2 \cdot (10 - 11) = 121 \cdot (-1) = -121$.
Ответ: -121.

При $a = 9$:
$9^2 \cdot (10 - 9) = 81 \cdot 1 = 81$.
Ответ: 81.

7.8 Представьте выражение в виде произведения двумя способами по следующему образцу:

$ab - ac = a(b - c)$, $ab - ac = -a(-b + c) = -a(c - b)$:

a) $xy - xz$;

б) $mn - nk$;

в) $3a - 3b$;

г) $5xy - 5xz$;

д) $2dc - 10d$;

е) $6ab - 3a$.

а) В выражении $xy - xz$ общим множителем является $x$. Представим выражение в виде произведения двумя способами.

Первый способ: вынесем за скобки общий множитель $x$.

$xy - xz = x(y - z)$

Второй способ: вынесем за скобки множитель $-x$. Для этого необходимо поменять знаки у слагаемых в скобках на противоположные.

$xy - xz = -x(-y + z) = -x(z - y)$

Ответ: $x(y - z)$ или $-x(z - y)$.

б) В выражении $mn - nk$ общим множителем является $n$. Представим выражение в виде произведения двумя способами.

Первый способ: вынесем за скобки общий множитель $n$.

$mn - nk = n(m - k)$

Второй способ: вынесем за скобки множитель $-n$.

$mn - nk = -n(-m + k) = -n(k - m)$

Ответ: $n(m - k)$ или $-n(k - m)$.

в) В выражении $3a - 3b$ общим множителем является число $3$. Представим выражение в виде произведения двумя способами.

Первый способ: вынесем за скобки общий множитель $3$.

$3a - 3b = 3(a - b)$

Второй способ: вынесем за скобки множитель $-3$.

$3a - 3b = -3(-a + b) = -3(b - a)$

Ответ: $3(a - b)$ или $-3(b - a)$.

г) В выражении $5xy - 5xz$ общим множителем является $5x$. Представим выражение в виде произведения двумя способами.

Первый способ: вынесем за скобки общий множитель $5x$.

$5xy - 5xz = 5x(y - z)$

Второй способ: вынесем за скобки множитель $-5x$.

$5xy - 5xz = -5x(-y + z) = -5x(z - y)$

Ответ: $5x(y - z)$ или $-5x(z - y)$.

д) В выражении $2dc - 10d$ найдем наибольший общий делитель (НОД). Для коэффициентов $2$ и $10$ НОД равен $2$. Общий буквенный множитель — $d$. Таким образом, общий множитель всего выражения — $2d$.

Первый способ: вынесем за скобки общий множитель $2d$.

$2dc - 10d = 2d(c - 5)$

Второй способ: вынесем за скобки множитель $-2d$.

$2dc - 10d = -2d(-c + 5) = -2d(5 - c)$

Ответ: $2d(c - 5)$ или $-2d(5 - c)$.

е) В выражении $6ab - 3a$ найдем наибольший общий делитель (НОД). Для коэффициентов $6$ и $3$ НОД равен $3$. Общий буквенный множитель — $a$. Таким образом, общий множитель всего выражения — $3a$.

Первый способ: вынесем за скобки общий множитель $3a$.

$6ab - 3a = 3a(2b - 1)$

Второй способ: вынесем за скобки множитель $-3a$.

$6ab - 3a = -3a(-2b + 1) = -3a(1 - 2b)$

Ответ: $3a(2b - 1)$ или $-3a(1 - 2b)$.

7.9 Вынесите за скобки множитель $-3a$:

а) $-3a^2 + 3ab;$

б) $-3a - 3a^2c;$

в) $-3ax + 6ay;$

г) $3a - 3ab;$

д) $-9ax - 3a^4y;$

е) $3a^5 - 3a.$

Подсказка. Каждый член двучлена представьте в виде произведения, в котором есть множитель $-3a$.

Чтобы вынести за скобки общий множитель $-3a$, необходимо каждый член многочлена представить в виде произведения, в котором есть множитель $-3a$, а затем вынести этот общий множитель за скобки.

В выражении $-3a^2 + 3ab$ представим каждый член как произведение с множителем $-3a$:
Первый член: $-3a^2 = -3a \cdot a$.
Второй член: $3ab = -3a \cdot (-b)$.
Теперь можно вынести общий множитель $-3a$ за скобки:
$-3a^2 + 3ab = -3a \cdot a + (-3a) \cdot (-b) = -3a(a - b)$.
Ответ: $-3a(a - b)$.

В выражении $-3a - 3a^2c$ представим каждый член как произведение с множителем $-3a$:
Первый член: $-3a = -3a \cdot 1$.
Второй член: $-3a^2c = -3a \cdot (ac)$.
Выносим $-3a$ за скобки:
$-3a - 3a^2c = -3a \cdot 1 + (-3a) \cdot (ac) = -3a(1 + ac)$.
Ответ: $-3a(1 + ac)$.

В выражении $-3ax + 6ay$ представим каждый член как произведение с множителем $-3a$:
Первый член: $-3ax = -3a \cdot x$.
Второй член: $6ay = -3a \cdot (-2y)$, так как $-3 \cdot (-2) = 6$.
Выносим $-3a$ за скобки:
$-3ax + 6ay = -3a \cdot x + (-3a) \cdot (-2y) = -3a(x - 2y)$.
Ответ: $-3a(x - 2y)$.

В выражении $3a - 3ab$ представим каждый член как произведение с множителем $-3a$. При вынесении отрицательного множителя знаки в скобках меняются на противоположные.
Первый член: $3a = -3a \cdot (-1)$.
Второй член: $-3ab = -3a \cdot b$.
Выносим $-3a$ за скобки:
$3a - 3ab = -3a \cdot (-1) + (-3a) \cdot b = -3a(-1 + b) = -3a(b - 1)$.
Ответ: $-3a(b - 1)$.

В выражении $-9ax - 3a^4y$ представим каждый член как произведение с множителем $-3a$:
Первый член: $-9ax = -3a \cdot (3x)$.
Второй член: $-3a^4y = -3a \cdot (a^3y)$, так как $a \cdot a^3 = a^4$.
Выносим $-3a$ за скобки:
$-9ax - 3a^4y = -3a \cdot (3x) + (-3a) \cdot (a^3y) = -3a(3x + a^3y)$.
Ответ: $-3a(3x + a^3y)$.

В выражении $3a^5 - 3a$ представим каждый член как произведение с множителем $-3a$.
Первый член: $3a^5 = -3a \cdot (-a^4)$.
Второй член: $-3a = -3a \cdot 1$.
Выносим $-3a$ за скобки:
$3a^5 - 3a = -3a \cdot (-a^4) + (-3a) \cdot 1 = -3a(-a^4 + 1) = -3a(1 - a^4)$.
Ответ: $-3a(1 - a^4)$.