Страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.37 Какие из выражений можно разложить на множители, применив формулу разности квадратов:

а) $a^2 - 9;$

б) $b^2 + 1;$

в) $4 - y^2;$

г) $49 - p^2;$

д) $25 + x^2;$

е) $1 - c^2;$

ж) $6a^2 - b^2;$

з) $16x - y^2;$

и) $x^2y^2 - 4?$

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Мы должны проверить, можно ли каждое выражение представить в виде разности двух квадратов.

а) $a^2 - 9$

Это выражение является разностью. Первый член $a^2$ — это квадрат переменной $a$. Второй член $9$ — это квадрат числа $3$ ($9=3^2$). Следовательно, мы можем применить формулу разности квадратов, где $A=a$ и $B=3$.

$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)$

Ответ: Можно разложить: $(a - 3)(a + 3)$.

б) $b^2 + 1$

Это выражение является суммой, а не разностью. Формула разности квадратов к нему неприменима. Сумма квадратов не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: Нельзя разложить по формуле разности квадратов.

в) $4 - y^2$

Это выражение является разностью. Первый член $4$ — это квадрат числа $2$ ($4=2^2$). Второй член $y^2$ — это квадрат переменной $y$. Применяем формулу, где $A=2$ и $B=y$.

$4 - y^2 = 2^2 - y^2 = (2 - y)(2 + y)$

Ответ: Можно разложить: $(2 - y)(2 + y)$.

г) $49 - p^2$

Это выражение является разностью. Первый член $49$ — это квадрат числа $7$ ($49=7^2$). Второй член $p^2$ — это квадрат переменной $p$. Применяем формулу, где $A=7$ и $B=p$.

$49 - p^2 = 7^2 - p^2 = (7 - p)(7 + p)$

Ответ: Можно разложить: $(7 - p)(7 + p)$.

д) $25 + x^2$

Это выражение является суммой квадратов ($5^2 + x^2$). Формула разности квадратов здесь неприменима.

Ответ: Нельзя разложить по формуле разности квадратов.

е) $1 - c^2$

Это выражение является разностью. Первый член $1$ — это квадрат числа $1$ ($1=1^2$). Второй член $c^2$ — это квадрат переменной $c$. Применяем формулу, где $A=1$ и $B=c$.

$1 - c^2 = 1^2 - c^2 = (1 - c)(1 + c)$

Ответ: Можно разложить: $(1 - c)(1 + c)$.

ж) $6a^2 - b^2$

Хотя это и разность, и второй член $b^2$ является квадратом, первый член $6a^2$ не является полным квадратом выражения с рациональным коэффициентом, так как $6$ не является квадратом рационального числа ($\sqrt{6}$ — иррациональное число). В стандартном курсе алгебры такие выражения не раскладывают на множители по этой формуле.

Ответ: Нельзя разложить по формуле разности квадратов (с рациональными коэффициентами).

з) $16x - y^2$

Это выражение является разностью, но первый член $16x$ не является полным квадратом, так как переменная $x$ находится в первой степени, а не во второй.

Ответ: Нельзя разложить по формуле разности квадратов.

и) $x^2y^2 - 4$

Это выражение является разностью. Первый член $x^2y^2$ — это квадрат выражения $xy$ ($x^2y^2=(xy)^2$). Второй член $4$ — это квадрат числа $2$ ($4=2^2$). Применяем формулу, где $A=xy$ и $B=2$.

$x^2y^2 - 4 = (xy)^2 - 2^2 = (xy - 2)(xy + 2)$

Ответ: Можно разложить: $(xy - 2)(xy + 2)$.

Разложите на множители (7.38–7.41).

7.38 a) $x^2 - y^2$;

б) $y^2 - x^2$;

в) $a^2 - 9$;

г) $16 - b^2$;

д) $x^2 - 1$;

е) $1 - a^2$;

ж) $a^2 - 0,01$;

з) $\frac{4}{9} - x^2$.

Для решения всех пунктов этого задания используется формула сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Выражение $x^2 - y^2$ — это классический пример разности квадратов. Применим формулу, где $a = x$ и $b = y$.

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Ответ: $(x - y)(x + y)$.

б) Выражение $y^2 - x^2$ также является разностью квадратов. Применим ту же формулу, но в данном случае $a = y$ и $b = x$.

$y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$.

Ответ: $(y - x)(y + x)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $a^2 - 9$, необходимо представить 9 как квадрат числа. Мы знаем, что $9 = 3^2$.

Теперь выражение имеет вид $a^2 - 3^2$. Применяем формулу разности квадратов, где $a = a$ и $b = 3$.

$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)$.

Ответ: $(a - 3)(a + 3)$.

г) Для разложения выражения $16 - b^2$ представим 16 как квадрат числа. Мы знаем, что $16 = 4^2$.

Выражение принимает вид $4^2 - b^2$. Используем формулу разности квадратов, где $a = 4$ и $b = b$.

$16 - b^2 = 4^2 - b^2 = (4 - b)(4 + b)$.

Ответ: $(4 - b)(4 + b)$.

д) Чтобы разложить на множители выражение $x^2 - 1$, представим 1 как квадрат числа. Мы знаем, что $1 = 1^2$.

Выражение становится $x^2 - 1^2$. Применяем формулу разности квадратов, где $a = x$ и $b = 1$.

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)$.

е) Для разложения выражения $1 - a^2$ представим 1 как квадрат числа: $1 = 1^2$.

Выражение принимает вид $1^2 - a^2$. Используем формулу разности квадратов, где $a = 1$ и $b = a$.

$1 - a^2 = 1^2 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$.

Ответ: $(1 - a)(1 + a)$.

ж) Чтобы разложить на множители выражение $a^2 - 0,01$, представим 0,01 как квадрат числа. Мы знаем, что $0,01 = (0,1)^2$.

Выражение становится $a^2 - (0,1)^2$. Применяем формулу разности квадратов, где $a = a$ и $b = 0,1$.

$a^2 - 0,01 = a^2 - (0,1)^2 = (a - 0,1)(a + 0,1)$.

Ответ: $(a - 0,1)(a + 0,1)$.

з) Для разложения выражения $\frac{4}{9} - x^2$ представим дробь $\frac{4}{9}$ как квадрат. Мы знаем, что $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.

Выражение принимает вид $(\frac{2}{3})^2 - x^2$. Используем формулу разности квадратов, где $a = \frac{2}{3}$ и $b = x$.

$\frac{4}{9} - x^2 = (\frac{2}{3})^2 - x^2 = (\frac{2}{3} - x)(\frac{2}{3} + x)$.

Ответ: $(\frac{2}{3} - x)(\frac{2}{3} + x)$.

7.39 а) $9x^2 - 4$;

б) $4a^2 - 25$;

В) $16 - 49y^2$;

Г) $9a^2 - 4b^2$;

Д) $16m^2 - 9n^2$;

е) $25x^2 - y^2$;

Ж) $4x^2 - 1$;

З) $1 - 36a^2$.

Для решения всех представленных задач используется формула сокращенного умножения, а именно формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Суть метода заключается в том, чтобы представить исходное выражение как разность двух квадратов и затем применить формулу.

а) Выражение $9x^2 - 4$ является разностью квадратов. Для его разложения на множители применим указанную формулу.

Представим каждый член в виде квадрата: $9x^2 = (3x)^2$ и $4 = 2^2$.

Следовательно, выражение можно переписать как $(3x)^2 - 2^2$.

Подставив в формулу $A=3x$ и $B=2$, получим: $(3x - 2)(3x + 2)$.

Ответ: $(3x - 2)(3x + 2)$.

б) Выражение $4a^2 - 25$ также является разностью квадратов.

Представим каждый член в виде квадрата: $4a^2 = (2a)^2$ и $25 = 5^2$.

Таким образом, $4a^2 - 25 = (2a)^2 - 5^2$.

Подставив в формулу $A=2a$ и $B=5$, получим: $(2a - 5)(2a + 5)$.

Ответ: $(2a - 5)(2a + 5)$.

в) Выражение $16 - 49y^2$ является разностью квадратов.

Представим каждый член в виде квадрата: $16 = 4^2$ и $49y^2 = (7y)^2$.

Таким образом, $16 - 49y^2 = 4^2 - (7y)^2$.

Подставив в формулу $A=4$ и $B=7y$, получим: $(4 - 7y)(4 + 7y)$.

Ответ: $(4 - 7y)(4 + 7y)$.

г) Выражение $9a^2 - 4b^2$ является разностью квадратов.

Представим каждый член в виде квадрата: $9a^2 = (3a)^2$ и $4b^2 = (2b)^2$.

Таким образом, $9a^2 - 4b^2 = (3a)^2 - (2b)^2$.

Подставив в формулу $A=3a$ и $B=2b$, получим: $(3a - 2b)(3a + 2b)$.

Ответ: $(3a - 2b)(3a + 2b)$.

д) Выражение $16m^2 - 9n^2$ является разностью квадратов.

Представим каждый член в виде квадрата: $16m^2 = (4m)^2$ и $9n^2 = (3n)^2$.

Таким образом, $16m^2 - 9n^2 = (4m)^2 - (3n)^2$.

Подставив в формулу $A=4m$ и $B=3n$, получим: $(4m - 3n)(4m + 3n)$.

Ответ: $(4m - 3n)(4m + 3n)$.

е) Выражение $25x^2 - y^2$ является разностью квадратов.

Представим каждый член в виде квадрата: $25x^2 = (5x)^2$ и $y^2 = y^2$.

Таким образом, $25x^2 - y^2 = (5x)^2 - y^2$.

Подставив в формулу $A=5x$ и $B=y$, получим: $(5x - y)(5x + y)$.

Ответ: $(5x - y)(5x + y)$.

ж) Выражение $4x^2 - 1$ является разностью квадратов.

Представим каждый член в виде квадрата: $4x^2 = (2x)^2$ и $1 = 1^2$.

Таким образом, $4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2$.

Подставив в формулу $A=2x$ и $B=1$, получим: $(2x - 1)(2x + 1)$.

Ответ: $(2x - 1)(2x + 1)$.

з) Выражение $1 - 36a^2$ является разностью квадратов.

Представим каждый член в виде квадрата: $1 = 1^2$ и $36a^2 = (6a)^2$.

Таким образом, $1 - 36a^2 = 1^2 - (6a)^2$.

Подставив в формулу $A=1$ и $B=6a$, получим: $(1 - 6a)(1 + 6a)$.

Ответ: $(1 - 6a)(1 + 6a)$.

7.40 а) $0,25a^2 - 1;$

в) $0,09x^2 - y^2;$

д) $1,44a^2 - 1,21;$

б) $0,16 - 4b^2;$

г) $100y^2 - 0,01x^2;$

е) $\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2.$

Для решения всех заданий используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

а) Дано выражение $0,25a^2 - 1$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$0,25a^2 = (0,5a)^2$

$1 = 1^2$

Таким образом, выражение принимает вид $(0,5a)^2 - 1^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $A = 0,5a$ и $B = 1$:

$0,25a^2 - 1 = (0,5a - 1)(0,5a + 1)$.

Ответ: $(0,5a - 1)(0,5a + 1)$.

б) Дано выражение $0,16 - 4b^2$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$0,16 = (0,4)^2$

$4b^2 = (2b)^2$

Таким образом, выражение принимает вид $(0,4)^2 - (2b)^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $A = 0,4$ и $B = 2b$:

$0,16 - 4b^2 = (0,4 - 2b)(0,4 + 2b)$.

Ответ: $(0,4 - 2b)(0,4 + 2b)$.

в) Дано выражение $0,09x^2 - y^2$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$0,09x^2 = (0,3x)^2$

$y^2 = (y)^2$

Таким образом, выражение принимает вид $(0,3x)^2 - y^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $A = 0,3x$ и $B = y$:

$0,09x^2 - y^2 = (0,3x - y)(0,3x + y)$.

Ответ: $(0,3x - y)(0,3x + y)$.

г) Дано выражение $100y^2 - 0,01x^2$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$100y^2 = (10y)^2$

$0,01x^2 = (0,1x)^2$

Таким образом, выражение принимает вид $(10y)^2 - (0,1x)^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $A = 10y$ и $B = 0,1x$:

$100y^2 - 0,01x^2 = (10y - 0,1x)(10y + 0,1x)$.

Ответ: $(10y - 0,1x)(10y + 0,1x)$.

д) Дано выражение $1,44a^2 - 1,21$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$1,44a^2 = (1,2a)^2$ (так как $1,2^2 = 1,44$)

$1,21 = (1,1)^2$ (так как $1,1^2 = 1,21$)

Таким образом, выражение принимает вид $(1,2a)^2 - (1,1)^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $A = 1,2a$ и $B = 1,1$:

$1,44a^2 - 1,21 = (1,2a - 1,1)(1,2a + 1,1)$.

Ответ: $(1,2a - 1,1)(1,2a + 1,1)$.

е) Дано выражение $\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$\frac{1}{4}a^2 = (\frac{1}{2}a)^2$

$\frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{3}b)^2$

Таким образом, выражение принимает вид $(\frac{1}{2}a)^2 - (\frac{1}{3}b)^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $A = \frac{1}{2}a$ и $B = \frac{1}{3}b$:

$\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b)$.

7.41 а) $x^2 y^2 - z^2$;

б) $a^2 b^2 - 16$;

В) $9 - m^2 n^2$;

Г) $b^2 c^2 - 1$;

Д) $y^4 - x^2$;

е) $y^6 - 9$;

Ж) $x^{10} - 25$;

З) $9 - b^4$.

а) Для того чтобы разложить на множители выражение $x^2y^2 - z^2$, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В данном случае $a = xy$ и $b = z$.
Представим выражение в виде разности квадратов: $x^2y^2 - z^2 = (xy)^2 - z^2$.
Применим формулу: $(xy)^2 - z^2 = (xy - z)(xy + z)$.
Ответ: $(xy - z)(xy + z)$.

б) Для разложения выражения $a^2b^2 - 16$ применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $a^2b^2 = (ab)^2$ и $16 = 4^2$.
Получаем: $(ab)^2 - 4^2$.
Применяем формулу: $(ab)^2 - 4^2 = (ab - 4)(ab + 4)$.
Ответ: $(ab - 4)(ab + 4)$.

в) Выражение $9 - m^2n^2$ также является разностью квадратов.
Представим $9$ как $3^2$ и $m^2n^2$ как $(mn)^2$.
Получаем выражение $3^2 - (mn)^2$.
Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3$ и $b = mn$, получаем:
$3^2 - (mn)^2 = (3 - mn)(3 + mn)$.
Ответ: $(3 - mn)(3 + mn)$.

г) Разложим на множители выражение $b^2c^2 - 1$, используя формулу разности квадратов.
Представим $b^2c^2$ как $(bc)^2$ и $1$ как $1^2$.
Выражение принимает вид $(bc)^2 - 1^2$.
Применяя формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ с $a = bc$ и $b = 1$, имеем:
$(bc)^2 - 1^2 = (bc - 1)(bc + 1)$.
Ответ: $(bc - 1)(bc + 1)$.

д) Для разложения выражения $y^4 - x^2$ используем формулу разности квадратов.
Представим $y^4$ как $(y^2)^2$. Выражение $x^2$ уже является квадратом.
Получаем: $(y^2)^2 - x^2$.
Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = y^2$ и $b = x$.
$(y^2)^2 - x^2 = (y^2 - x)(y^2 + x)$.
Ответ: $(y^2 - x)(y^2 + x)$.

е) Разложим на множители выражение $y^6 - 9$.
Это разность квадратов, где $y^6 = (y^3)^2$ и $9 = 3^2$.
Выражение можно записать как $(y^3)^2 - 3^2$.
Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ с $a = y^3$ и $b = 3$.
$(y^3)^2 - 3^2 = (y^3 - 3)(y^3 + 3)$.
Ответ: $(y^3 - 3)(y^3 + 3)$.

ж) Для разложения выражения $x^{10} - 25$ применим формулу разности квадратов.
Представим $x^{10}$ как $(x^5)^2$ и $25$ как $5^2$.
Получаем выражение $(x^5)^2 - 5^2$.
Используя формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^5$ и $b = 5$, получаем:
$(x^5)^2 - 5^2 = (x^5 - 5)(x^5 + 5)$.
Ответ: $(x^5 - 5)(x^5 + 5)$.

з) Разложим на множители выражение $9 - b^4$.
Это разность квадратов, где $9 = 3^2$ и $b^4 = (b^2)^2$.
Выражение можно записать как $3^2 - (b^2)^2$.
Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ с $a = 3$ и $b = b^2$.
$3^2 - (b^2)^2 = (3 - b^2)(3 + b^2)$.
Ответ: $(3 - b^2)(3 + b^2)$.

7.42 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

a) $37^2 - 13^2$;

б) $72^2 - 28^2$;

в) $42.4^2 - 42.3^2$;

г) $6.8^2 - 3.2^2$.

Для решения всех пунктов используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Вычислим $37^2 - 13^2$.
Применим формулу разности квадратов, где $a = 37$ и $b = 13$:
$37^2 - 13^2 = (37 - 13)(37 + 13) = 24 \cdot 50 = 1200$.
Ответ: 1200.

б) Вычислим $72^2 - 28^2$.
Применим формулу, где $a = 72$ и $b = 28$:
$72^2 - 28^2 = (72 - 28)(72 + 28) = 44 \cdot 100 = 4400$.
Ответ: 4400.

в) Вычислим $42,4^2 - 42,3^2$.
Применим формулу, где $a = 42,4$ и $b = 42,3$:
$42,4^2 - 42,3^2 = (42,4 - 42,3)(42,4 + 42,3) = 0,1 \cdot 84,7 = 8,47$.
Ответ: 8,47.

г) Вычислим $6,8^2 - 3,2^2$.
Применим формулу, где $a = 6,8$ и $b = 3,2$:
$6,8^2 - 3,2^2 = (6,8 - 3,2)(6,8 + 3,2) = 3,6 \cdot 10 = 36$.
Ответ: 36.

7.43 ДОКАЗЫВАЕМ

а) Делится ли значение выражения $35^2 - 11^2$ на 2; на 3; на 4; на 5; на 6; на 12; на 22; на 23; на 24?

б) Укажите 10 делителей числа, равного $97^2 - 43^2$.

а)

Для того чтобы проверить делимость, сначала упростим выражение, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$35^2 - 11^2 = (35 - 11)(35 + 11) = 24 \times 46 = 1104$.

Теперь проверим, делится ли число $1104$ на указанные числа.

на 2: Да, делится. Число $1104$ является четным.

на 3: Да, делится. Сумма цифр числа $1+1+0+4=6$ делится на 3.

на 4: Да, делится. Число, образованное последними двумя цифрами ($04$), делится на 4.

на 5: Нет, не делится. Число не оканчивается на 0 или 5.

на 6: Да, делится. Число делится одновременно на 2 и на 3.

на 12: Да, делится. Число делится одновременно на 3 и на 4 ($1104 = 12 \times 92$).

на 22: Нет, не делится. Число должно делиться на 2 и 11. $1104$ делится на 2, но не делится на 11 ($1104 \div 11 \approx 100.36$).

на 23: Да, делится. Из разложения $1104 = 24 \times 46 = 24 \times 2 \times 23$ видно, что 23 является одним из множителей.

на 24: Да, делится. Из разложения $1104 = 24 \times 46$ видно, что 24 является одним из множителей.

Ответ: значение выражения делится на 2, 3, 4, 6, 12, 23, 24; не делится на 5, 22.

б)

Найдем значение числа, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$97^2 - 43^2 = (97 - 43)(97 + 43) = 54 \times 140 = 7560$.

Чтобы найти делители числа $7560$, можно разложить его на множители. Делителями будут являться как множители $54$ и $140$, так и их собственные делители и различные их произведения.

Например, разложим число на простые множители:

$54 = 2 \times 3^3$

$140 = 14 \times 10 = (2 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 5 \times 7$

$7560 = 54 \times 140 = (2 \times 3^3) \times (2^2 \times 5 \times 7) = 2^3 \times 3^3 \times 5 \times 7$.

Делителями числа являются простые множители (2, 3, 5, 7), их степени и произведения. Приведем 10 таких делителей:

1 (любое целое число делится на 1)
2 (простой множитель)
3 (простой множитель)
4 (делитель, $4=2^2$)
5 (простой множитель)
6 (делитель, $6=2 \times 3$)
7 (простой множитель)
8 (делитель, $8=2^3$)
9 (делитель, $9=3^2$)
10 (делитель, $10=2 \times 5$)

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (возможны и другие варианты, например, 54, 140, 7560).

7.44 Сократите дробь:

а) $\frac{a+b}{a^2-b^2}$;

Б) $\frac{x-y}{x^2-y^2}$;

В) $\frac{a^2-1}{ab-b}$;

Г) $\frac{ab-3a}{b^2-9}$;

Д) $\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}$;

е) $\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2}$.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{a+b}{a^2-b^2} $, разложим знаменатель на множители.
Знаменатель $ a^2-b^2 $ представляет собой разность квадратов, которая раскладывается по формуле $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $.
Таким образом, $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $.
Теперь дробь выглядит так: $ \frac{a+b}{(a-b)(a+b)} $.
Сокращаем общий множитель $ (a+b) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{\cancel{a+b}}{(a-b)\cancel{(a+b)}} = \frac{1}{a-b} $.
Ответ: $ \frac{1}{a-b} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{x-y}{x^2-y^2} $, разложим знаменатель на множители.
Используем формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $ для знаменателя $ x^2-y^2 $.
Получаем: $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $.
Подставим в дробь: $ \frac{x-y}{(x-y)(x+y)} $.
Сокращаем общий множитель $ (x-y) $:
$ \frac{\cancel{x-y}}{\cancel{(x-y)}(x+y)} = \frac{1}{x+y} $.
Ответ: $ \frac{1}{x+y} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^2-1}{ab-b} $, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $ a^2-1 $ — это разность квадратов: $ a^2-1^2=(a-1)(a+1) $.
В знаменателе $ ab-b $ вынесем общий множитель $ b $ за скобки: $ ab-b=b(a-1) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{(a-1)(a+1)}{b(a-1)} $.
Сокращаем общий множитель $ (a-1) $:
$ \frac{\cancel{(a-1)}(a+1)}{b\cancel{(a-1)}} = \frac{a+1}{b} $.
Ответ: $ \frac{a+1}{b} $

г) Чтобы сократить дробь $ \frac{ab-3a}{b^2-9} $, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе $ ab-3a $ вынесем общий множитель $ a $ за скобки: $ ab-3a=a(b-3) $.
Знаменатель $ b^2-9 $ — это разность квадратов: $ b^2-3^2=(b-3)(b+3) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{a(b-3)}{(b-3)(b+3)} $.
Сокращаем общий множитель $ (b-3) $:
$ \frac{a\cancel{(b-3)}}{\cancel{(b-3)}(b+3)} = \frac{a}{b+3} $.
Ответ: $ \frac{a}{b+3} $

д) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2} $, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $ x^2-y^2 $ — разность квадратов: $ (x-y)(x+y) $.
Знаменатель $ x^2+2xy+y^2 $ — это квадрат суммы, который раскладывается по формуле $ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $: $ x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 $.
Дробь принимает вид: $ \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2} $ или $ \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)(x+y)} $.
Сокращаем общий множитель $ (x+y) $:
$ \frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{(x+y)\cancel{(x+y)}} = \frac{x-y}{x+y} $.
Ответ: $ \frac{x-y}{x+y} $

е) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2} $, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $ a^2-2ab+b^2 $ — это квадрат разности, который раскладывается по формуле $ x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 $: $ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $.
Знаменатель $ a^2-b^2 $ — это разность квадратов: $ (a-b)(a+b) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} $ или $ \frac{(a-b)(a-b)}{(a-b)(a+b)} $.
Сокращаем общий множитель $ (a-b) $:
$ \frac{(a-b)\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{a-b}{a+b} $.
Ответ: $ \frac{a-b}{a+b} $

Выполните умножение (7.45–7.47).

7.45 а) $(y - 3)(y + 3);$

б) $(1 - x)(1 + x);$

в) $(m - n)(m + n);$

г) $(x + y)(x - y);$

д) $(x - 2)(2 + x);$

е) $(c + a)(a - c).$

Для выполнения умножения воспользуемся формулой сокращённого умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В данном примере $a = y$, а $b = 3$.

Подставляем значения в формулу:

$(y - 3)(y + 3) = y^2 - 3^2 = y^2 - 9$.

Ответ: $y^2 - 9$.

Здесь также применяется формула разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В этом случае $a = 1$, а $b = x$.

Выполняем подстановку в формулу:

$(1 - x)(1 + x) = 1^2 - x^2 = 1 - x^2$.

Ответ: $1 - x^2$.

Используем ту же самую формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = m$, $b = n$.

Применяем формулу:

$(m - n)(m + n) = m^2 - n^2$.

Ответ: $m^2 - n^2$.

Порядок множителей не имеет значения, поэтому произведение $(x + y)(x - y)$ также является разностью квадратов. Используем формулу $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

В данном выражении $a = x$, $b = y$.

Выполняем умножение:

$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.

Ответ: $x^2 - y^2$.

Для удобства применения формулы поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(2 + x)$ это то же самое, что и $(x + 2)$.

Выражение принимает вид: $(x - 2)(x + 2)$.

Теперь это стандартный вид формулы разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = x$ и $b = 2$.

$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Ответ: $x^2 - 4$.

Это более сложный случай, требующий внимательности. Преобразуем скобки, чтобы они соответствовали формуле разности квадратов.

Первую скобку $(c + a)$ можно записать как $(a + c)$.

Вторая скобка — это $(a - c)$.

Получаем произведение вида $(a + c)(a - c)$, что соответствует формуле $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. В нашем случае переменная $a$ из формулы соответствует $a$ из примера, а переменная $b$ из формулы соответствует $c$ из примера.

$(a + c)(a - c) = a^2 - c^2$.

Ответ: $a^2 - c^2$.

7.46 а) $(1 + 3m)(1 - 3m)$;

б) $(2x - 1)(2x + 1)$;

в) $(2x - y)(2x + y);$

г) $(a - 3b)(3b + a);$

д) $(4x + 3y)(3y - 4x);$

е) $(5b - 10c)(5b + 10c).$

а) Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В этом примере $a=1$ и $b=3m$.
$(1 + 3m)(1 - 3m) = 1^2 - (3m)^2 = 1 - 9m^2$.
Ответ: $1 - 9m^2$.

б) Здесь также применяется формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a=2x$ и $b=1$.
$(2x - 1)(2x + 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$.
Ответ: $4x^2 - 1$.

в) Это выражение также упрощается с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Здесь $a=2x$ и $b=y$.
$(2x - y)(2x + y) = (2x)^2 - y^2 = 4x^2 - y^2$.
Ответ: $4x^2 - y^2$.

г) Чтобы применить формулу разности квадратов, изменим порядок слагаемых во второй скобке: $(3b+a)$ можно записать как $(a+3b)$. Выражение примет вид $(a-3b)(a+3b)$.
Теперь используем формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где в качестве $a$ выступает $a$, а в качестве $b$ выступает $3b$.
$(a - 3b)(a + 3b) = a^2 - (3b)^2 = a^2 - 9b^2$.
Ответ: $a^2 - 9b^2$.

д) Преобразуем множители, чтобы они соответствовали формуле $(A+B)(A-B)$. Первый множитель $(4x+3y)$ можно записать как $(3y+4x)$. Второй множитель — $(3y-4x)$.
Получаем выражение: $(3y + 4x)(3y - 4x)$.
Применяем формулу разности квадратов, где $a=3y$ и $b=4x$.
$(3y + 4x)(3y - 4x) = (3y)^2 - (4x)^2 = 9y^2 - 16x^2$.
Ответ: $9y^2 - 16x^2$.

е) Данное выражение является произведением разности и суммы, поэтому применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
В этом случае $a=5b$ и $b=10c$.
$(5b - 10c)(5b + 10c) = (5b)^2 - (10c)^2 = 25b^2 - 100c^2$.
Ответ: $25b^2 - 100c^2$.

7.47 a) $(x^2 + 2)(x^2 - 2);$

б) $(y - a^2)(y + a^2);$

в) $(a^2 - 4)(a^2 + 4);$

г) $(x^3 + 5)(x^3 - 5);$

д) $(ab - c)(ab + c);$

е) $(1 - xy)(xy + 1).$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В выражении $(x^2 + 2)(x^2 - 2)$ в роли $a$ выступает $x^2$, а в роли $b$ выступает $2$.
Применяя формулу, получаем:
$(x^2 + 2)(x^2 - 2) = (x^2)^2 - 2^2 = x^{2 \cdot 2} - 4 = x^4 - 4$.
Ответ: $x^4 - 4$

б) Здесь также применяется формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В выражении $(y - a^2)(y + a^2)$ имеем $a = y$ и $b = a^2$.
Подставим значения в формулу:
$(y - a^2)(y + a^2) = y^2 - (a^2)^2 = y^2 - a^{2 \cdot 2} = y^2 - a^4$.
Ответ: $y^2 - a^4$

в) Выражение $(a^2 - 4)(a^2 + 4)$ преобразуется по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = a^2$ и $b = 4$.
Выполним преобразование:
$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^{2 \cdot 2} - 16 = a^4 - 16$.
Ответ: $a^4 - 16$

г) Для выражения $(x^3 + 5)(x^3 - 5)$ снова используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Здесь $a = x^3$ и $b = 5$.
Применяем формулу:
$(x^3 + 5)(x^3 - 5) = (x^3)^2 - 5^2 = x^{3 \cdot 2} - 25 = x^6 - 25$.
Ответ: $x^6 - 25$

д) Выражение $(ab - c)(ab + c)$ также является разностью квадратов. Используем формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = ab$ и $b = c$.
Подставляем в формулу:
$(ab - c)(ab + c) = (ab)^2 - c^2 = a^2b^2 - c^2$.
Ответ: $a^2b^2 - c^2$

е) Рассмотрим выражение $(1 - xy)(xy + 1)$. Для удобства применения формулы, поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(1 - xy)(1 + xy)$.
Теперь это соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 1$ и $b = xy$.
Применяем формулу:
$(1 - xy)(1 + xy) = 1^2 - (xy)^2 = 1 - x^2y^2$.
Ответ: $1 - x^2y^2$