Номер 7.44, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.3. Формула разности квадратов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.44, страница 199.

Условие.

7.44 Сократите дробь:

а) $\frac{a+b}{a^2-b^2}$;

Б) $\frac{x-y}{x^2-y^2}$;

В) $\frac{a^2-1}{ab-b}$;

Г) $\frac{ab-3a}{b^2-9}$;

Д) $\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}$;

е) $\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{a+b}{a^2-b^2} $, разложим знаменатель на множители.
Знаменатель $ a^2-b^2 $ представляет собой разность квадратов, которая раскладывается по формуле $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $.
Таким образом, $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $.
Теперь дробь выглядит так: $ \frac{a+b}{(a-b)(a+b)} $.
Сокращаем общий множитель $ (a+b) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{\cancel{a+b}}{(a-b)\cancel{(a+b)}} = \frac{1}{a-b} $.
Ответ: $ \frac{1}{a-b} $

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{x-y}{x^2-y^2} $, разложим знаменатель на множители.
Используем формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $ для знаменателя $ x^2-y^2 $.
Получаем: $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $.
Подставим в дробь: $ \frac{x-y}{(x-y)(x+y)} $.
Сокращаем общий множитель $ (x-y) $:
$ \frac{\cancel{x-y}}{\cancel{(x-y)}(x+y)} = \frac{1}{x+y} $.
Ответ: $ \frac{1}{x+y} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^2-1}{ab-b} $, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $ a^2-1 $ — это разность квадратов: $ a^2-1^2=(a-1)(a+1) $.
В знаменателе $ ab-b $ вынесем общий множитель $ b $ за скобки: $ ab-b=b(a-1) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{(a-1)(a+1)}{b(a-1)} $.
Сокращаем общий множитель $ (a-1) $:
$ \frac{\cancel{(a-1)}(a+1)}{b\cancel{(a-1)}} = \frac{a+1}{b} $.
Ответ: $ \frac{a+1}{b} $

г) Чтобы сократить дробь $ \frac{ab-3a}{b^2-9} $, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе $ ab-3a $ вынесем общий множитель $ a $ за скобки: $ ab-3a=a(b-3) $.
Знаменатель $ b^2-9 $ — это разность квадратов: $ b^2-3^2=(b-3)(b+3) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{a(b-3)}{(b-3)(b+3)} $.
Сокращаем общий множитель $ (b-3) $:
$ \frac{a\cancel{(b-3)}}{\cancel{(b-3)}(b+3)} = \frac{a}{b+3} $.
Ответ: $ \frac{a}{b+3} $

д) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2} $, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $ x^2-y^2 $ — разность квадратов: $ (x-y)(x+y) $.
Знаменатель $ x^2+2xy+y^2 $ — это квадрат суммы, который раскладывается по формуле $ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $: $ x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 $.
Дробь принимает вид: $ \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2} $ или $ \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)(x+y)} $.
Сокращаем общий множитель $ (x+y) $:
$ \frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{(x+y)\cancel{(x+y)}} = \frac{x-y}{x+y} $.
Ответ: $ \frac{x-y}{x+y} $

е) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2} $, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $ a^2-2ab+b^2 $ — это квадрат разности, который раскладывается по формуле $ x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 $: $ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $.
Знаменатель $ a^2-b^2 $ — это разность квадратов: $ (a-b)(a+b) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} $ или $ \frac{(a-b)(a-b)}{(a-b)(a+b)} $.
Сокращаем общий множитель $ (a-b) $:
$ \frac{(a-b)\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{a-b}{a+b} $.
Ответ: $ \frac{a-b}{a+b} $