Номер 7.43, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.43 ДОКАЗЫВАЕМ

а) Делится ли значение выражения $35^2 - 11^2$ на 2; на 3; на 4; на 5; на 6; на 12; на 22; на 23; на 24?

б) Укажите 10 делителей числа, равного $97^2 - 43^2$.

а)

Для того чтобы проверить делимость, сначала упростим выражение, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$35^2 - 11^2 = (35 - 11)(35 + 11) = 24 \times 46 = 1104$.

Теперь проверим, делится ли число $1104$ на указанные числа.

на 2: Да, делится. Число $1104$ является четным.

на 3: Да, делится. Сумма цифр числа $1+1+0+4=6$ делится на 3.

на 4: Да, делится. Число, образованное последними двумя цифрами ($04$), делится на 4.

на 5: Нет, не делится. Число не оканчивается на 0 или 5.

на 6: Да, делится. Число делится одновременно на 2 и на 3.

на 12: Да, делится. Число делится одновременно на 3 и на 4 ($1104 = 12 \times 92$).

на 22: Нет, не делится. Число должно делиться на 2 и 11. $1104$ делится на 2, но не делится на 11 ($1104 \div 11 \approx 100.36$).

на 23: Да, делится. Из разложения $1104 = 24 \times 46 = 24 \times 2 \times 23$ видно, что 23 является одним из множителей.

на 24: Да, делится. Из разложения $1104 = 24 \times 46$ видно, что 24 является одним из множителей.

Ответ: значение выражения делится на 2, 3, 4, 6, 12, 23, 24; не делится на 5, 22.

б)

Найдем значение числа, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$97^2 - 43^2 = (97 - 43)(97 + 43) = 54 \times 140 = 7560$.

Чтобы найти делители числа $7560$, можно разложить его на множители. Делителями будут являться как множители $54$ и $140$, так и их собственные делители и различные их произведения.

Например, разложим число на простые множители:

$54 = 2 \times 3^3$

$140 = 14 \times 10 = (2 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 5 \times 7$

$7560 = 54 \times 140 = (2 \times 3^3) \times (2^2 \times 5 \times 7) = 2^3 \times 3^3 \times 5 \times 7$.

Делителями числа являются простые множители (2, 3, 5, 7), их степени и произведения. Приведем 10 таких делителей:

1 (любое целое число делится на 1)
2 (простой множитель)
3 (простой множитель)
4 (делитель, $4=2^2$)
5 (простой множитель)
6 (делитель, $6=2 \times 3$)
7 (простой множитель)
8 (делитель, $8=2^3$)
9 (делитель, $9=3^2$)
10 (делитель, $10=2 \times 5$)

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (возможны и другие варианты, например, 54, 140, 7560).