Номер 7.48, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.48 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите, используя формулу

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2:$

а): $19 \cdot 21;$

б): $99 \cdot 101;$

в): $28 \cdot 32;$

г): $4\frac{1}{2} \cdot 5\frac{1}{2}.$

Образец.

$49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 50^2 - 1 = 2500 - 1 = 2499.$

а) Чтобы вычислить произведение $19 \cdot 21$, представим множители в виде $(a-b)$ и $(a+b)$. Для этого найдем их среднее арифметическое, которое будет значением $a$: $a = (19+21)/2 = 20$. Теперь найдем $b$: $b = 20 - 19 = 1$. Таким образом, $19 = 20 - 1$ и $21 = 20 + 1$.

Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$19 \cdot 21 = (20-1)(20+1) = 20^2 - 1^2 = 400 - 1 = 399$.

Ответ: 399

б) Для вычисления $99 \cdot 101$ найдем среднее арифметическое множителей: $a = (99+101)/2 = 100$. Отклонение от среднего равно $b = 100 - 99 = 1$. Значит, $99 = 100 - 1$ и $101 = 100 + 1$.

Используем формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$99 \cdot 101 = (100-1)(100+1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999$.

Ответ: 9999

в) Для произведения $28 \cdot 32$ найдем среднее арифметическое: $a = (28+32)/2 = 30$. Отклонение от среднего равно $b = 30 - 28 = 2$. Таким образом, $28 = 30 - 2$ и $32 = 30 + 2$.

Подставляем в формулу разности квадратов:

$28 \cdot 32 = (30-2)(30+2) = 30^2 - 2^2 = 900 - 4 = 896$.

Ответ: 896

г) Для произведения $4\frac{1}{2} \cdot 5\frac{1}{2}$ найдем среднее арифметическое: $a = (4\frac{1}{2} + 5\frac{1}{2})/2 = 10/2 = 5$. Отклонение от среднего равно $b = 5 - 4\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Таким образом, $4\frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2}$ и $5\frac{1}{2} = 5 + \frac{1}{2}$.

Применяем формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$4\frac{1}{2} \cdot 5\frac{1}{2} = (5 - \frac{1}{2})(5 + \frac{1}{2}) = 5^2 - (\frac{1}{2})^2 = 25 - \frac{1}{4} = 24\frac{3}{4}$.

Ответ: $24\frac{3}{4}$