Номер 7.50, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.50 a) $(a - 1)(a + 1) + a(a - 2);$

б) $(2x - y)(y + 2x) + x(4 - 3x);$

в) $5c(c + 1) - (b - 3c)(b + 3c);$

г) $(y - 2)(y + 2) + (3 - y)(3 + y);$

д) $(a + b)(a - b) - (a - b)^2;$

е) $(2a + 1)^2 + (1 - 2a)(1 + 2a).$

а) Для упрощения выражения воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ и распределительным свойством умножения.
$(a - 1)(a + 1) + a(a - 2) = (a^2 - 1^2) + (a \cdot a - a \cdot 2) = (a^2 - 1) + (a^2 - 2a) = a^2 - 1 + a^2 - 2a$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + a^2 - 2a - 1 = 2a^2 - 2a - 1$.
Ответ: $2a^2 - 2a - 1$.

б) В первом произведении поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(2x - y)(y + 2x) = (2x - y)(2x + y)$. Теперь это формула разности квадратов. Второе слагаемое упростим, раскрыв скобки.
$(2x - y)(2x + y) + x(4 - 3x) = ((2x)^2 - y^2) + (x \cdot 4 - x \cdot 3x) = (4x^2 - y^2) + (4x - 3x^2) = 4x^2 - y^2 + 4x - 3x^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$4x^2 - 3x^2 - y^2 + 4x = x^2 - y^2 + 4x$.
Ответ: $x^2 - y^2 + 4x$.

в) Раскроем скобки в первом слагаемом. Второе слагаемое представляет собой разность квадратов.
$5c(c + 1) - (b - 3c)(b + 3c) = (5c \cdot c + 5c \cdot 1) - (b^2 - (3c)^2) = (5c^2 + 5c) - (b^2 - 9c^2)$.
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$5c^2 + 5c - b^2 + 9c^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$5c^2 + 9c^2 - b^2 + 5c = 14c^2 - b^2 + 5c$.
Ответ: $14c^2 - b^2 + 5c$.

г) Оба слагаемых являются произведениями вида "разность на сумму", поэтому к обоим применим формулу разности квадратов.
$(y - 2)(y + 2) + (3 - y)(3 + y) = (y^2 - 2^2) + (3^2 - y^2) = (y^2 - 4) + (9 - y^2)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^2 - 4 + 9 - y^2 = y^2 - y^2 - 4 + 9 = 5$.
Ответ: $5$.

д) Первое слагаемое — это разность квадратов, а второе — квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$(a + b)(a - b) - (a - b)^2 = (a^2 - b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$.
Раскроем скобки, меняя знаки:
$a^2 - b^2 - a^2 + 2ab - b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 - a^2 - b^2 - b^2 + 2ab = 2ab - 2b^2$.
Ответ: $2ab - 2b^2$.

е) Первое слагаемое — это квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, а второе — разность квадратов.
$(2a + 1)^2 + (1 - 2a)(1 + 2a) = ((2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2) + (1^2 - (2a)^2) = (4a^2 + 4a + 1) + (1 - 4a^2)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4a^2 + 4a + 1 + 1 - 4a^2 = 4a^2 - 4a^2 + 4a + 1 + 1 = 4a + 2$.
Ответ: $4a + 2$.