Номер 7.56, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.56 Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том, что произведение крайних из них равно квадрату среднего, уменьшенному на единицу. Докажите это утверждение. (Обозначьте среднее число буквой $n$.)

Убедимся в утверждении на примере

Возьмем любые три последовательных натуральных числа, например, 8, 9 и 10.

В этой последовательности крайними числами являются 8 и 10, а средним числом — 9.

Найдем произведение крайних чисел: $8 \times 10 = 80$.

Теперь найдем квадрат среднего числа и уменьшим его на единицу: $9^2 - 1 = 81 - 1 = 80$.

Результаты совпали: $80 = 80$. Следовательно, для чисел 8, 9 и 10 утверждение верно.

Докажем это утверждение

Согласно условию задачи, обозначим среднее из трех последовательных натуральных чисел буквой $n$.

Поскольку числа являются последовательными, то число, которое стоит перед $n$ (предыдущее), равно $(n - 1)$, а число, которое стоит после $n$ (следующее), равно $(n + 1)$.

Таким образом, мы рассматриваем тройку последовательных чисел: $(n - 1)$, $n$, $(n + 1)$.

В этой тройке крайними числами являются $(n - 1)$ и $(n + 1)$. Найдем их произведение:

$(n - 1)(n + 1)$

Это выражение является формулой сокращенного умножения, известной как "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применив эту формулу, получим:

$(n - 1)(n + 1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$.

Теперь рассмотрим вторую часть утверждения: "квадрат среднего, уменьшенный на единицу". Среднее число у нас обозначено как $n$. Его квадрат равен $n^2$. Уменьшив квадрат на единицу, мы получим выражение $n^2 - 1$.

Сравнивая результаты, мы видим, что произведение крайних чисел и квадрат среднего, уменьшенный на единицу, приводят к одному и тому же выражению:

$(n - 1)(n + 1) = n^2 - 1$

Это тождество доказывает, что исходное утверждение справедливо для любой тройки последовательных натуральных чисел.

Ответ: Утверждение доказано. Если обозначить среднее из трех последовательных натуральных чисел как $n$, то сами числа можно представить в виде $(n-1), n, (n+1)$. Произведение крайних чисел $(n-1)(n+1)$ по формуле разности квадратов равно $n^2 - 1$. Квадрат среднего числа, уменьшенный на единицу, также равен $n^2 - 1$. Поскольку $n^2 - 1 = n^2 - 1$, утверждение является верным для любых натуральных $n > 1$.