Номер 7.61, страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.61, страница 202.

Условие.

7.61 Выполните умножение по правилу умножения многочленов:

a) $(x + 1)(x^2 - x + 1)$;

б) $(a - c)(a^2 + ac + c^2)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы выполнить умножение многочлена $(x + 1)$ на многочлен $(x^2 - x + 1)$, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена, а затем сложить полученные произведения.

$(x + 1)(x^2 - x + 1) = x \cdot (x^2 - x + 1) + 1 \cdot (x^2 - x + 1)$

Раскроем скобки, выполнив умножение:

$x \cdot x^2 + x \cdot (-x) + x \cdot 1 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot (-x) + 1 \cdot 1 = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-x^2$ и $x^2$, а также $x$ и $-x$ являются противоположными и в сумме дают ноль:

$x^3 + (-x^2 + x^2) + (x - x) + 1 = x^3 + 0 + 0 + 1 = x^3 + 1$

Данное выражение также является формулой сокращенного умножения, известной как "сумма кубов": $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$. В нашем случае $a=x$ и $b=1$.

Ответ: $x^3 + 1$.

б) Умножим многочлен $(a - c)$ на многочлен $(a^2 + ac + c^2)$ по тому же правилу.

$(a - c)(a^2 + ac + c^2) = a \cdot (a^2 + ac + c^2) - c \cdot (a^2 + ac + c^2)$

Раскроем скобки:

$a \cdot a^2 + a \cdot ac + a \cdot c^2 - c \cdot a^2 - c \cdot ac - c \cdot c^2 = a^3 + a^2c + ac^2 - a^2c - ac^2 - c^3$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $a^2c$ и $-a^2c$, а также $ac^2$ и $-ac^2$ взаимно уничтожаются:

$a^3 + (a^2c - a^2c) + (ac^2 - ac^2) - c^3 = a^3 + 0 + 0 - c^3 = a^3 - c^3$

Это выражение является формулой сокращенного умножения "разность кубов": $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. В нашем случае переменные совпадают с формулой.

Ответ: $a^3 - c^3$.