Номер 7.60, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.3. Формула разности квадратов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.60, страница 201.

Условие.

7.60 a) $ (a + b - c)(a + b + c) $;

Б) $ (x + y - z)(x - y + z) $;

В) $ (a^2 + 2a - 1)(a^2 - 2a + 1) $;

Г) $ (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $(a + b - c)(a + b + c)$

Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов: $(X - Y)(X + Y) = X^2 - Y^2$. Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы привести выражение к этому виду.

Представим выражение в виде: $((a + b) - c)((a + b) + c)$.

Здесь $X = (a + b)$, а $Y = c$. Применяем формулу разности квадратов:

$(a + b)^2 - c^2$

Теперь раскроем скобки $(a + b)^2$ по формуле квадрата суммы $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Подставим результат в наше выражение:

$a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

б) $(x + y - z)(x - y + z)$

Этот пример также можно решить с помощью формулы разности квадратов. Для этого нужно правильно сгруппировать слагаемые. Обратим внимание на знаки перед $y$ и $z$.

Перепишем выражение, вынеся минус за скобки во втором множителе: $(x - y + z) = (x - (y - z))$.

Теперь исходное выражение имеет вид: $(x + (y - z))(x - (y - z))$.

Это соответствует формуле разности квадратов $(X + Y)(X - Y) = X^2 - Y^2$, где $X = x$, а $Y = (y - z)$.

Применяем формулу:

$x^2 - (y - z)^2$

Раскроем скобки $(y - z)^2$ по формуле квадрата разности $(X-Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$:

$(y - z)^2 = y^2 - 2yz + z^2$

Подставим результат в наше выражение и раскроем скобки (помним, что минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри):

$x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) = x^2 - y^2 + 2yz - z^2$

Ответ: $x^2 - y^2 + 2yz - z^2$

в) $(a^2 + 2a - 1)(a^2 - 2a + 1)$

Для решения этого примера также воспользуемся формулой разности квадратов $(X + Y)(X - Y) = X^2 - Y^2$. Для этого необходимо правильно сгруппировать слагаемые.

Перепишем множители, выделив общие части. Заметим, что второй множитель можно представить как $a^2 - 2a + 1 = a^2 - (2a - 1)$. Первый множитель, в свою очередь, равен $a^2 + 2a - 1 = a^2 + (2a - 1)$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде:

$(a^2 + (2a - 1))(a^2 - (2a - 1))$

Это соответствует формуле разности квадратов, где $X = a^2$, а $Y = (2a - 1)$.

Применяем формулу:

$(a^2)^2 - (2a - 1)^2$

Раскроем скобки. $(a^2)^2 = a^4$. Для $(2a - 1)^2$ используем формулу квадрата разности $(X-Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$:

$(2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2(2a)(1) + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$

Подставим результат в наше выражение:

$a^4 - (4a^2 - 4a + 1)$

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные:

$a^4 - 4a^2 + 4a - 1$

Ответ: $a^4 - 4a^2 + 4a - 1$

г) $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

Данное выражение упрощается с помощью формулы разности квадратов $(X - Y)(X + Y) = X^2 - Y^2$. Сгруппируем слагаемые.

Переставим слагаемые в скобках, чтобы сделать структуру более очевидной:

$((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x)$

Теперь видно, что это формула разности квадратов, где $X = (x^2 + 2)$, а $Y = 2x$.

Применяем формулу:

$(x^2 + 2)^2 - (2x)^2$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$:

$(x^2 + 2)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(2) + 2^2 = x^4 + 4x^2 + 4$

Возведем в квадрат второй член:

$(2x)^2 = 4x^2$

Подставим полученные выражения обратно:

$(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 + 4x^2 - 4x^2 + 4 = x^4 + 4$

Ответ: $x^4 + 4$