Номер 7.58, страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.58 а) $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$;

б) $(a-1)(a+1)(a^2+1)$;

В) $(1-a)(1+a)(1+a^2)(1+a^4)$;

Г) $(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$.

а) $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$

Для решения этой задачи мы последовательно применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Сначала сгруппируем и умножим первые два множителя:

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$

Снова применяем формулу разности квадратов, где в роли $a$ выступает $x^2$, а в роли $b$ - $y^2$:

$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$

Ответ: $x^4 - y^4$

б) $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)$

Здесь также используется формула разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Умножим первые два множителя:

$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

Подставим результат в исходное выражение:

$(a^2 - 1)(a^2 + 1)$

Снова применим формулу разности квадратов, где $a$ заменено на $a^2$, а $b$ на $1$:

$(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$

Ответ: $a^4 - 1$

в) $(1 - a)(1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$

В этом примере мы будем применять формулу разности квадратов несколько раз подряд, последовательно умножая множители.

Шаг 1: Умножаем первые два множителя.

$(1 - a)(1 + a) = 1^2 - a^2 = 1 - a^2$

Выражение принимает вид: $(1 - a^2)(1 + a^2)(1 + a^4)$.

Шаг 2: Умножаем результат первого шага на следующий множитель.

$(1 - a^2)(1 + a^2) = 1^2 - (a^2)^2 = 1 - a^4$

Выражение принимает вид: $(1 - a^4)(1 + a^4)$.

Шаг 3: Умножаем оставшиеся множители.

$(1 - a^4)(1 + a^4) = 1^2 - (a^4)^2 = 1 - a^8$

Ответ: $1 - a^8$

г) $(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)$

Это выражение решается аналогично предыдущему, путем последовательного применения формулы разности квадратов.

Шаг 1: Умножаем первые два множителя.

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Теперь выражение выглядит так: $(x^4 - 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)$.

Шаг 2: Умножаем результат с предыдущего шага на следующий множитель.

$(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$

Теперь выражение выглядит так: $(x^8 - 1)(x^8 + 1)$.

Шаг 3: Умножаем оставшиеся множители.

$(x^8 - 1)(x^8 + 1) = (x^8)^2 - 1^2 = x^{16} - 1$

Ответ: $x^{16} - 1$