Страница 201 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.56 Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том, что произведение крайних из них равно квадрату среднего, уменьшенному на единицу. Докажите это утверждение. (Обозначьте среднее число буквой $n$.)

Убедимся в утверждении на примере

Возьмем любые три последовательных натуральных числа, например, 8, 9 и 10.

В этой последовательности крайними числами являются 8 и 10, а средним числом — 9.

Найдем произведение крайних чисел: $8 \times 10 = 80$.

Теперь найдем квадрат среднего числа и уменьшим его на единицу: $9^2 - 1 = 81 - 1 = 80$.

Результаты совпали: $80 = 80$. Следовательно, для чисел 8, 9 и 10 утверждение верно.

Докажем это утверждение

Согласно условию задачи, обозначим среднее из трех последовательных натуральных чисел буквой $n$.

Поскольку числа являются последовательными, то число, которое стоит перед $n$ (предыдущее), равно $(n - 1)$, а число, которое стоит после $n$ (следующее), равно $(n + 1)$.

Таким образом, мы рассматриваем тройку последовательных чисел: $(n - 1)$, $n$, $(n + 1)$.

В этой тройке крайними числами являются $(n - 1)$ и $(n + 1)$. Найдем их произведение:

$(n - 1)(n + 1)$

Это выражение является формулой сокращенного умножения, известной как "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применив эту формулу, получим:

$(n - 1)(n + 1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$.

Теперь рассмотрим вторую часть утверждения: "квадрат среднего, уменьшенный на единицу". Среднее число у нас обозначено как $n$. Его квадрат равен $n^2$. Уменьшив квадрат на единицу, мы получим выражение $n^2 - 1$.

Сравнивая результаты, мы видим, что произведение крайних чисел и квадрат среднего, уменьшенный на единицу, приводят к одному и тому же выражению:

$(n - 1)(n + 1) = n^2 - 1$

Это тождество доказывает, что исходное утверждение справедливо для любой тройки последовательных натуральных чисел.

Ответ: Утверждение доказано. Если обозначить среднее из трех последовательных натуральных чисел как $n$, то сами числа можно представить в виде $(n-1), n, (n+1)$. Произведение крайних чисел $(n-1)(n+1)$ по формуле разности квадратов равно $n^2 - 1$. Квадрат среднего числа, уменьшенный на единицу, также равен $n^2 - 1$. Поскольку $n^2 - 1 = n^2 - 1$, утверждение является верным для любых натуральных $n > 1$.

Представьте в виде многочлена (7.57–7.58).

7.57 а) $(a + 3)(a - 3) + (a + 2)(a - 2) - a(2a + 1) + 4;$

б) $(x + 1)(x - 1) + (x + 5)(x - 5) - 2x(x + 3) + 6;$

в) $(1 - 2x)(1 + 2x) - (2 - x)(2 + x) + 5(x^2 - 1) - 3.$

а) $(a + 3)(a - 3) + (a + 2)(a - 2) - a(2a + 1) + 4$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ и распределительным свойством умножения.

1. Применим формулу разности квадратов к первым двум произведениям:

$(a + 3)(a - 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$

$(a + 2)(a - 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

2. Раскроем скобки в третьем слагаемом:

$-a(2a + 1) = -a \cdot 2a - a \cdot 1 = -2a^2 - a$

3. Теперь подставим полученные выражения в исходное и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - 9) + (a^2 - 4) - 2a^2 - a + 4 = a^2 - 9 + a^2 - 4 - 2a^2 - a + 4$

Сгруппируем подобные члены:

$(a^2 + a^2 - 2a^2) - a + (-9 - 4 + 4) = (2a^2 - 2a^2) - a - 9 = 0 - a - 9 = -a - 9$

Ответ: $-a - 9$

б) $(x + 1)(x - 1) + (x + 5)(x - 5) - 2x(x + 3) + 6$

Используем те же алгебраические правила, что и в предыдущем пункте.

1. Применим формулу разности квадратов:

$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$

2. Раскроем скобки в третьем слагаемом:

$-2x(x + 3) = -2x \cdot x - 2x \cdot 3 = -2x^2 - 6x$

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(x^2 - 1) + (x^2 - 25) - 2x^2 - 6x + 6 = x^2 - 1 + x^2 - 25 - 2x^2 - 6x + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2 - 2x^2) - 6x + (-1 - 25 + 6) = (2x^2 - 2x^2) - 6x - 20 = 0 - 6x - 20 = -6x - 20$

Ответ: $-6x - 20$

в) $(1 - 2x)(1 + 2x) - (2 - x)(2 + x) + 5(x^2 - 1) - 3$

Аналогично предыдущим пунктам, упростим выражение шаг за шагом.

1. Применим формулу разности квадратов:

$(1 - 2x)(1 + 2x) = 1^2 - (2x)^2 = 1 - 4x^2$

$-(2 - x)(2 + x) = -(2^2 - x^2) = -(4 - x^2) = x^2 - 4$

2. Раскроем скобки в третьем слагаемом:

$5(x^2 - 1) = 5x^2 - 5$

3. Соберем все вместе и приведем подобные слагаемые:

$(1 - 4x^2) + (x^2 - 4) + (5x^2 - 5) - 3 = 1 - 4x^2 + x^2 - 4 + 5x^2 - 5 - 3$

Сгруппируем подобные члены:

$(-4x^2 + x^2 + 5x^2) + (1 - 4 - 5 - 3) = (-3x^2 + 5x^2) + (-3 - 5 - 3) = 2x^2 - 11$

Ответ: $2x^2 - 11$

7.58 а) $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$;

б) $(a-1)(a+1)(a^2+1)$;

В) $(1-a)(1+a)(1+a^2)(1+a^4)$;

Г) $(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$.

а) $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$

Для решения этой задачи мы последовательно применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Сначала сгруппируем и умножим первые два множителя:

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$

Снова применяем формулу разности квадратов, где в роли $a$ выступает $x^2$, а в роли $b$ - $y^2$:

$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$

Ответ: $x^4 - y^4$

б) $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)$

Здесь также используется формула разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Умножим первые два множителя:

$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

Подставим результат в исходное выражение:

$(a^2 - 1)(a^2 + 1)$

Снова применим формулу разности квадратов, где $a$ заменено на $a^2$, а $b$ на $1$:

$(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$

Ответ: $a^4 - 1$

в) $(1 - a)(1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$

В этом примере мы будем применять формулу разности квадратов несколько раз подряд, последовательно умножая множители.

Шаг 1: Умножаем первые два множителя.

$(1 - a)(1 + a) = 1^2 - a^2 = 1 - a^2$

Выражение принимает вид: $(1 - a^2)(1 + a^2)(1 + a^4)$.

Шаг 2: Умножаем результат первого шага на следующий множитель.

$(1 - a^2)(1 + a^2) = 1^2 - (a^2)^2 = 1 - a^4$

Выражение принимает вид: $(1 - a^4)(1 + a^4)$.

Шаг 3: Умножаем оставшиеся множители.

$(1 - a^4)(1 + a^4) = 1^2 - (a^4)^2 = 1 - a^8$

Ответ: $1 - a^8$

г) $(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)$

Это выражение решается аналогично предыдущему, путем последовательного применения формулы разности квадратов.

Шаг 1: Умножаем первые два множителя.

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Теперь выражение выглядит так: $(x^4 - 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)$.

Шаг 2: Умножаем результат с предыдущего шага на следующий множитель.

$(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$

Теперь выражение выглядит так: $(x^8 - 1)(x^8 + 1)$.

Шаг 3: Умножаем оставшиеся множители.

$(x^8 - 1)(x^8 + 1) = (x^8)^2 - 1^2 = x^{16} - 1$

Ответ: $x^{16} - 1$

Используйте формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для преобразования произведения в многочлен (7.59–7.60).

7.59

а) $(ax + ay)(x - y);$

б) $(x + y)(x^2 - xy);$

в) $(b - c)(2ac + 2ab);$

г) $(2 + x)(6y - 3xy).

а) Чтобы преобразовать произведение $(ax + ay)(x - y)$, сначала вынесем общий множитель $a$ из первого двучлена:
$(ax + ay)(x - y) = a(x + y)(x - y)$.
Теперь произведение $(x + y)(x - y)$ соответствует формуле разности квадратов $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$, где $A=x$ и $B=y$. Применим эту формулу:
$a(x^2 - y^2)$.
Наконец, раскроем скобки, умножив $a$ на каждый член многочлена:
$a \cdot x^2 - a \cdot y^2 = ax^2 - ay^2$.
Ответ: $ax^2 - ay^2$.

б) В выражении $(x + y)(x^2 - xy)$ вынесем общий множитель $x$ из второго двучлена:
$(x + y)(x^2 - xy) = (x + y)x(x - y)$.
Переставим множители для наглядности:
$x(x + y)(x - y)$.
Применим формулу разности квадратов к выражению $(x+y)(x-y)$:
$x(x^2 - y^2)$.
Раскроем скобки, умножив $x$ на многочлен:
$x \cdot x^2 - x \cdot y^2 = x^3 - xy^2$.
Ответ: $x^3 - xy^2$.

в) В произведении $(b - c)(2ac + 2ab)$ вынесем общий множитель $2a$ из второго двучлена:
$(b - c)(2ac + 2ab) = (b - c)2a(c + b)$.
Переставим множители и слагаемые $(c+b = b+c)$:
$2a(b - c)(b + c)$.
Выражение $(b - c)(b + c)$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$2a(b^2 - c^2)$.
Раскроем скобки:
$2a \cdot b^2 - 2a \cdot c^2 = 2ab^2 - 2ac^2$.
Ответ: $2ab^2 - 2ac^2$.

г) В выражении $(2 + x)(6y - 3xy)$ вынесем общий множитель $3y$ из второго двучлена:
$(2 + x)(6y - 3xy) = (2 + x)3y(2 - x)$.
Переставим множители:
$3y(2 + x)(2 - x)$.
Применим формулу разности квадратов к $(2+x)(2-x)$, где $A=2$ и $B=x$:
$3y(2^2 - x^2) = 3y(4 - x^2)$.
Раскроем скобки:
$3y \cdot 4 - 3y \cdot x^2 = 12y - 3x^2y$.
Ответ: $12y - 3x^2y$.

7.60 a) $ (a + b - c)(a + b + c) $;

Б) $ (x + y - z)(x - y + z) $;

В) $ (a^2 + 2a - 1)(a^2 - 2a + 1) $;

Г) $ (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) $.

а) $(a + b - c)(a + b + c)$

Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов: $(X - Y)(X + Y) = X^2 - Y^2$. Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы привести выражение к этому виду.

Представим выражение в виде: $((a + b) - c)((a + b) + c)$.

Здесь $X = (a + b)$, а $Y = c$. Применяем формулу разности квадратов:

$(a + b)^2 - c^2$

Теперь раскроем скобки $(a + b)^2$ по формуле квадрата суммы $(X+Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2$:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Подставим результат в наше выражение:

$a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

б) $(x + y - z)(x - y + z)$

Этот пример также можно решить с помощью формулы разности квадратов. Для этого нужно правильно сгруппировать слагаемые. Обратим внимание на знаки перед $y$ и $z$.

Перепишем выражение, вынеся минус за скобки во втором множителе: $(x - y + z) = (x - (y - z))$.

Теперь исходное выражение имеет вид: $(x + (y - z))(x - (y - z))$.

Это соответствует формуле разности квадратов $(X + Y)(X - Y) = X^2 - Y^2$, где $X = x$, а $Y = (y - z)$.

Применяем формулу:

$x^2 - (y - z)^2$

Раскроем скобки $(y - z)^2$ по формуле квадрата разности $(X-Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$:

$(y - z)^2 = y^2 - 2yz + z^2$

Подставим результат в наше выражение и раскроем скобки (помним, что минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри):

$x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) = x^2 - y^2 + 2yz - z^2$

Ответ: $x^2 - y^2 + 2yz - z^2$

в) $(a^2 + 2a - 1)(a^2 - 2a + 1)$

Для решения этого примера также воспользуемся формулой разности квадратов $(X + Y)(X - Y) = X^2 - Y^2$. Для этого необходимо правильно сгруппировать слагаемые.

Перепишем множители, выделив общие части. Заметим, что второй множитель можно представить как $a^2 - 2a + 1 = a^2 - (2a - 1)$. Первый множитель, в свою очередь, равен $a^2 + 2a - 1 = a^2 + (2a - 1)$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде:

$(a^2 + (2a - 1))(a^2 - (2a - 1))$

Это соответствует формуле разности квадратов, где $X = a^2$, а $Y = (2a - 1)$.

Применяем формулу:

$(a^2)^2 - (2a - 1)^2$

Раскроем скобки. $(a^2)^2 = a^4$. Для $(2a - 1)^2$ используем формулу квадрата разности $(X-Y)^2 = X^2 - 2XY + Y^2$:

$(2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2(2a)(1) + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$

Подставим результат в наше выражение:

$a^4 - (4a^2 - 4a + 1)$

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные:

$a^4 - 4a^2 + 4a - 1$

Ответ: $a^4 - 4a^2 + 4a - 1$

г) $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$

Данное выражение упрощается с помощью формулы разности квадратов $(X - Y)(X + Y) = X^2 - Y^2$. Сгруппируем слагаемые.

Переставим слагаемые в скобках, чтобы сделать структуру более очевидной:

$((x^2 + 2) - 2x)((x^2 + 2) + 2x)$

Теперь видно, что это формула разности квадратов, где $X = (x^2 + 2)$, а $Y = 2x$.

Применяем формулу:

$(x^2 + 2)^2 - (2x)^2$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$:

$(x^2 + 2)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(2) + 2^2 = x^4 + 4x^2 + 4$

Возведем в квадрат второй член:

$(2x)^2 = 4x^2$

Подставим полученные выражения обратно:

$(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 + 4x^2 - 4x^2 + 4 = x^4 + 4$

Ответ: $x^4 + 4$