Страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.66 РАССУЖДАЕМ Составьте выражения, которые можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов или разности кубов, и выполните эти преобразования.

Задача состоит в том, чтобы составить выражения, которые можно разложить на множители по формулам суммы или разности кубов, и затем выполнить это разложение. Вспомним эти формулы:

• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Составим и решим несколько примеров различной сложности.

Пример 1: Сумма кубов с простыми одночленами

Составим выражение, где каждый член является кубом одночлена. Например, $x^3$ и $125$.

Выражение: $x^3 + 125$.

Чтобы применить формулу суммы кубов, представим $125$ как куб числа: $125 = 5^3$.

Теперь выражение выглядит как $x^3 + 5^3$. Здесь $a = x$, а $b = 5$.

Применяем формулу $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + 5^3 = (x + 5)(x^2 - x \cdot 5 + 5^2) = (x + 5)(x^2 - 5x + 25)$.

Ответ: $(x + 5)(x^2 - 5x + 25)$

Пример 2: Разность кубов с коэффициентами и степенями

Составим более сложное выражение, включающее числовые коэффициенты и переменные в степенях, кратных трём.

Выражение: $64m^6 - 27n^9$.

Представим каждый член этого выражения в виде куба:

Первый член: $64m^6 = 4^3 \cdot (m^2)^3 = (4m^2)^3$.

Второй член: $27n^9 = 3^3 \cdot (n^3)^3 = (3n^3)^3$.

Теперь выражение имеет вид $(4m^2)^3 - (3n^3)^3$. Это разность кубов, где $a = 4m^2$ и $b = 3n^3$.

Применяем формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$(4m^2 - 3n^3)((4m^2)^2 + (4m^2)(3n^3) + (3n^3)^2)$.

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$(4m^2 - 3n^3)(16m^4 + 12m^2n^3 + 9n^6)$.

Ответ: $(4m^2 - 3n^3)(16m^4 + 12m^2n^3 + 9n^6)$

Пример 3: Сумма кубов с дробным коэффициентом

Составим выражение, в котором один из членов содержит дробный коэффициент, являющийся кубом рационального числа.

Выражение: $y^3 + \frac{1}{8}z^3$.

Представим второй член в виде куба: $\frac{1}{8}z^3 = (\frac{1}{2})^3 \cdot z^3 = (\frac{1}{2}z)^3$.

Выражение принимает вид $y^3 + (\frac{1}{2}z)^3$. Это сумма кубов, где $a = y$ и $b = \frac{1}{2}z$.

Применяем формулу $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$(y + \frac{1}{2}z)(y^2 - y \cdot (\frac{1}{2}z) + (\frac{1}{2}z)^2)$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(y + \frac{1}{2}z)(y^2 - \frac{1}{2}yz + \frac{1}{4}z^2)$.

Ответ: $(y + \frac{1}{2}z)(y^2 - \frac{1}{2}yz + \frac{1}{4}z^2)$

Пример 4: Разность кубов, где один из членов является двучленом

Составим выражение, где основанием одного из кубов является двучлен.

Выражение: $(a+b)^3 - 8$.

Представим $8$ как $2^3$. Выражение примет вид $(a+b)^3 - 2^3$.

Это разность кубов, где в качестве $a$ выступает выражение $(a+b)$, а в качестве $b$ — число $2$.

Применяем формулу $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = (a+b)$ и $B = 2$:

$((a+b) - 2)((a+b)^2 + (a+b) \cdot 2 + 2^2)$.

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки:

$(a+b-2)((a^2+2ab+b^2) + (2a+2b) + 4)$.

$(a+b-2)(a^2+2ab+b^2+2a+2b+4)$.

Ответ: $(a+b-2)(a^2+b^2+2ab+2a+2b+4)$

7.67 Упростите выражение:

а) $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a + b)(a^2 - ab + b^2)$;

б) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$;

в) $y(y - 1)(y + 1) - (y - 3)(y^2 + 3y + 9)$;

г) $x(x + 3)^2 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) - 2(x - 2)(3x + 2).

а) Для упрощения выражения $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и суммой кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применяя эти формулы к каждому слагаемому, получаем:
Первое слагаемое: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
Второе слагаемое: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.
Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение и сложим их:
$(a^3 - b^3) + (a^3 + b^3) = a^3 - b^3 + a^3 + b^3 = 2a^3$.
Ответ: $2a^3$.

б) Рассмотрим выражение $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.
Это выражение также состоит из двух частей, которые соответствуют формулам суммы и разности кубов.
Первая часть, $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$, является формулой суммы кубов, где $a=x$ и $b=2$:
$(x + 2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.
Вторая часть, $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$, является формулой разности кубов, где $a=x$ и $b=2$:
$(x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.
Теперь выполним вычитание:
$(x^3 + 8) - (x^3 - 8) = x^3 + 8 - x^3 + 8 = 16$.
Ответ: $16$.

в) Упростим выражение $y(y - 1)(y + 1) - (y - 3)(y^2 + 3y + 9)$.
Рассмотрим каждую часть отдельно.
Первая часть: $y(y - 1)(y + 1)$. Произведение $(y - 1)(y + 1)$ является разностью квадратов: $y^2 - 1^2 = y^2 - 1$.
Тогда $y(y^2 - 1) = y \cdot y^2 - y \cdot 1 = y^3 - y$.
Вторая часть: $(y - 3)(y^2 + 3y + 9)$. Это формула разности кубов, где $a=y$ и $b=3$:
$(y - 3)(y^2 + y \cdot 3 + 3^2) = y^3 - 3^3 = y^3 - 27$.
Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(y^3 - y) - (y^3 - 27) = y^3 - y - y^3 + 27 = 27 - y$.
Ответ: $27 - y$.

г) Упростим выражение $x(x + 3)^2 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) - 2(x - 2)(3x + 2)$.
Упростим выражение по частям.
1. Упростим $x(x + 3)^2$. Сначала раскроем квадрат суммы: $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
Затем умножим на $x$: $x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$.
2. Упростим $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$. Это формула суммы кубов: $x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.
3. Упростим $2(x - 2)(3x + 2)$. Сначала перемножим скобки: $(x - 2)(3x + 2) = 3x^2 + 2x - 6x - 4 = 3x^2 - 4x - 4$.
Затем умножим на 2: $2(3x^2 - 4x - 4) = 6x^2 - 8x - 8$.
Теперь объединим все части:
$(x^3 + 6x^2 + 9x) - (x^3 + 8) - (6x^2 - 8x - 8)$.
Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:
$x^3 + 6x^2 + 9x - x^3 - 8 - 6x^2 + 8x + 8$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + (6x^2 - 6x^2) + (9x + 8x) + (-8 + 8) = 0 + 0 + 17x + 0 = 17x$.
Ответ: $17x$.

Разложите на множители (7.68–7.69).

7.68 a) $x^3 y^3 - 1$;

б) $8a^3 b^3 + c^3$;

в) $1 - m^3 n^3 p^3$;

г) $x^3 y^3 + 8a^3 z^3$.

а) Для разложения на множители выражения $x^3y^3 - 1$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В данном случае $x^3y^3 = (xy)^3$ и $1 = 1^3$. Таким образом, $a = xy$ и $b = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$x^3y^3 - 1 = (xy)^3 - 1^3 = (xy - 1)((xy)^2 + xy \cdot 1 + 1^2) = (xy - 1)(x^2y^2 + xy + 1)$.
Ответ: $(xy - 1)(x^2y^2 + xy + 1)$.

б) Для разложения выражения $8a^3b^3 + c^3$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов: $8a^3b^3 = (2ab)^3$. Таким образом, $a = 2ab$ и $b = c$.
Подставим эти значения в формулу:
$8a^3b^3 + c^3 = (2ab)^3 + c^3 = (2ab + c)((2ab)^2 - 2ab \cdot c + c^2) = (2ab + c)(4a^2b^2 - 2abc + c^2)$.
Ответ: $(2ab + c)(4a^2b^2 - 2abc + c^2)$.

в) Для разложения выражения $1 - m^3n^3p^3$ снова используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов: $1 = 1^3$ и $m^3n^3p^3 = (mnp)^3$. Таким образом, $a = 1$ и $b = mnp$.
Подставим эти значения в формулу:
$1 - m^3n^3p^3 = 1^3 - (mnp)^3 = (1 - mnp)(1^2 + 1 \cdot mnp + (mnp)^2) = (1 - mnp)(1 + mnp + m^2n^2p^2)$.
Ответ: $(1 - mnp)(1 + mnp + m^2n^2p^2)$.

г) Для разложения выражения $x^3y^3 + 8a^3z^3$ снова используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов: $x^3y^3 = (xy)^3$ и $8a^3z^3 = (2az)^3$. Таким образом, $a = xy$ и $b = 2az$.
Подставим эти значения в формулу:
$x^3y^3 + 8a^3z^3 = (xy)^3 + (2az)^3 = (xy + 2az)((xy)^2 - xy \cdot 2az + (2az)^2) = (xy + 2az)(x^2y^2 - 2axyz + 4a^2z^2)$.
Ответ: $(xy + 2az)(x^2y^2 - 2axyz + 4a^2z^2)$.

7.69 a) $(x+y)^3 - (x-y)^3;$

Б) $(a-b)^3 + (a+b)^3;$

В) $(n+3)^3 - (n-3)^3;$

Г) $(m-1)^3 + (m+1)^3.$

а) $(x+y)^3 - (x-y)^3$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Применим эти формулы, чтобы раскрыть скобки в исходном выражении:
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$
$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Теперь подставим раскрытые выражения обратно в исходное:
$(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3)$

Раскроем скобки, учитывая знак минуса перед второй скобкой (все знаки внутри меняются на противоположные):
$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3$

Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + (3x^2y + 3x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2) + (y^3 + y^3) = 0 + 6x^2y + 0 + 2y^3 = 6x^2y + 2y^3$

Ответ: $6x^2y + 2y^3$

б) $(a-b)^3 + (a+b)^3$

Снова используем формулы куба суммы и куба разности.
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Подставим раскрытые выражения в исходное:
$(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) + (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)$

Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, скобки можно просто убрать:
$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 + a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Приведем подобные слагаемые:
$(a^3 + a^3) + (-3a^2b + 3a^2b) + (3ab^2 + 3ab^2) + (-b^3 + b^3) = 2a^3 + 0 + 6ab^2 + 0 = 2a^3 + 6ab^2$

Ответ: $2a^3 + 6ab^2$

в) $(n+3)^3 - (n-3)^3$

Это частный случай задания а), где $x=n$, а $y=3$. Решим его, раскрыв скобки по формулам куба суммы и разности.
$(n+3)^3 = n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 3 + 3 \cdot n \cdot 3^2 + 3^3 = n^3 + 9n^2 + 27n + 27$
$(n-3)^3 = n^3 - 3 \cdot n^2 \cdot 3 + 3 \cdot n \cdot 3^2 - 3^3 = n^3 - 9n^2 + 27n - 27$

Вычтем второе выражение из первого:
$(n^3 + 9n^2 + 27n + 27) - (n^3 - 9n^2 + 27n - 27)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$n^3 + 9n^2 + 27n + 27 - n^3 + 9n^2 - 27n + 27 = (n^3 - n^3) + (9n^2 + 9n^2) + (27n - 27n) + (27 + 27) = 18n^2 + 54$

Ответ: $18n^2 + 54$

г) $(m-1)^3 + (m+1)^3$

Это частный случай задания б), где $a=m$, а $b=1$. Решим его аналогично.
$(m-1)^3 = m^3 - 3 \cdot m^2 \cdot 1 + 3 \cdot m \cdot 1^2 - 1^3 = m^3 - 3m^2 + 3m - 1$
$(m+1)^3 = m^3 + 3 \cdot m^2 \cdot 1 + 3 \cdot m \cdot 1^2 + 1^3 = m^3 + 3m^2 + 3m + 1$

Сложим полученные выражения:
$(m^3 - 3m^2 + 3m - 1) + (m^3 + 3m^2 + 3m + 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$m^3 - 3m^2 + 3m - 1 + m^3 + 3m^2 + 3m + 1 = (m^3 + m^3) + (-3m^2 + 3m^2) + (3m + 3m) + (-1 + 1) = 2m^3 + 6m$

Ответ: $2m^3 + 6m$

7.70 Сократите дробь:

а) $\frac{a-b}{a^3-b^3}$;

б) $\frac{p^3+q^3}{2p+2q}$;

в) $\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}$;

г) $\frac{a^2+2ab+b^2}{a^3+b^3}$;

д) $\frac{m^3+n^3}{2(m^2-mn+n^2)}$;

е) $\frac{a^2-az}{a^3-z^3}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a-b}{a^3-b^3}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель $a^3-b^3$ является разностью кубов, которая раскладывается по формуле: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Подставим это выражение в знаменатель дроби: $\frac{a-b}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$. Теперь мы можем сократить общий множитель $(a-b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ne b$). В результате получаем: $\frac{1}{a^2+ab+b^2}$.
Ответ: $\frac{1}{a^2+ab+b^2}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{p^3+q^3}{2p+2q}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $p^3+q^3$ — это сумма кубов, которая раскладывается по формуле: $p^3+q^3 = (p+q)(p^2-pq+q^2)$. В знаменателе $2p+2q$ вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(p+q)$. Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{(p+q)(p^2-pq+q^2)}{2(p+q)}$. Сократим общий множитель $(p+q)$ (при условии, что $p \ne -q$). Получаем: $\frac{p^2-pq+q^2}{2}$.
Ответ: $\frac{p^2-pq+q^2}{2}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $x^3-y^3$ — это разность кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Знаменатель $x^2-y^2$ — это разность квадратов: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$. Подставим разложения в дробь: $\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)}$. Сократим общий множитель $(x-y)$ (при условии, что $x \ne y$). В итоге получаем: $\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$.
Ответ: $\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2+2ab+b^2}{a^3+b^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $a^2+2ab+b^2$ является полным квадратом суммы: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$. Знаменатель $a^3+b^3$ является суммой кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Подставим разложения в дробь: $\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}$. Сократим общий множитель $(a+b)$ (при условии, что $a \ne -b$). В результате получаем: $\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}$.
Ответ: $\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}$

д) Чтобы сократить дробь $\frac{m^3+n^3}{2(m^2-mn+n^2)}$, разложим числитель на множители. Числитель $m^3+n^3$ — это сумма кубов, которая раскладывается по формуле: $m^3+n^3 = (m+n)(m^2-mn+n^2)$. Подставим это выражение в числитель дроби: $\frac{(m+n)(m^2-mn+n^2)}{2(m^2-mn+n^2)}$. Теперь мы можем сократить общий множитель $(m^2-mn+n^2)$ в числителе и знаменателе (это выражение равно нулю только при $m=n=0$). В результате получаем: $\frac{m+n}{2}$.
Ответ: $\frac{m+n}{2}$

е) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2-az}{a^3-z^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе $a^2-az$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(a-z)$. Знаменатель $a^3-z^3$ — это разность кубов: $a^3-z^3 = (a-z)(a^2+az+z^2)$. Подставим разложения в дробь: $\frac{a(a-z)}{(a-z)(a^2+az+z^2)}$. Сократим общий множитель $(a-z)$ (при условии, что $a \ne z$). В итоге получаем: $\frac{a}{a^2+az+z^2}$.
Ответ: $\frac{a}{a^2+az+z^2}$

7.71 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $\frac{a^3 + b^3}{a+b} + ab = a^2 + b^2$;

б) $\frac{a^3 - b^3}{a-b} + ab = (a+b)^2$.

а) Для доказательства тождества $\frac{a^3 + b^3}{a+b} + ab = a^2 + b^2$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:
$\frac{(a+b)(a^2 - ab + b^2)}{a+b} + ab$.
При условии, что $a+b \neq 0$, сократим дробь на $(a+b)$:
$(a^2 - ab + b^2) + ab$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^2 - ab + ab + b^2 = a^2 + b^2$.
Левая часть тождества оказалась равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $\frac{a^3 - b^3}{a-b} + ab = (a+b)^2$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Подставим это выражение в левую часть равенства:
$\frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{a-b} + ab$.
При условии, что $a-b \neq 0$, сократим дробь на $(a-b)$:
$(a^2 + ab + b^2) + ab$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Левая часть тождества оказалась равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

7.72 Выполните умножение:

а) $(m + 1)((m^2 - m + 1) + 3);$

б) $(x + 1)(x^2 - x + 7);$

в) $(a + b)(a^2 - 3ab + b^2);$

г) $(p - q)(p^2 + 3pq + q^2).$

Подсказка. Преобразуйте второй многочлен так, чтобы можно было применить формулу разности или суммы кубов. Например, так:

$(c - 1)(c^2 + c + 3) = (c - 1)((c^2 + c + 1) + 2) = (c^3 - 1) + 2(c - 1) = c^3 - 1 + 2c - 2 = c^3 + 2c - 3.$

а) $(m + 1)((m^2 - m + 1) + 3)$

Воспользуемся подсказкой и преобразуем выражение так, чтобы применить формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a=m$ и $b=1$. Часть выражения $(m+1)(m^2-m+1)$ является формулой суммы кубов $m^3 + 1^3$.

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:

$(m + 1)((m^2 - m + 1) + 3) = (m + 1)(m^2 - m + 1) + (m + 1) \cdot 3$

Применяем формулу суммы кубов для первого слагаемого и раскрываем скобки во втором:

$(m^3 + 1^3) + 3m + 3 = m^3 + 1 + 3m + 3$

Приводим подобные члены:

$m^3 + 3m + 4$

Ответ: $m^3 + 3m + 4$

б) $(x + 1)(x^2 - x + 7)$

Представим второй многочлен $x^2 - x + 7$ в виде суммы, выделив выражение для формулы суммы кубов $(x^2 - x + 1)$.

$x^2 - x + 7 = (x^2 - x + 1) + 6$

Подставим это в исходное выражение:

$(x + 1)((x^2 - x + 1) + 6)$

Раскроем скобки:

$(x + 1)(x^2 - x + 1) + (x + 1) \cdot 6$

Первое слагаемое является формулой суммы кубов $x^3 + 1^3$. Второе слагаемое равно $6x + 6$.

$(x^3 + 1) + 6x + 6 = x^3 + 1 + 6x + 6$

Приводим подобные члены:

$x^3 + 6x + 7$

Ответ: $x^3 + 6x + 7$

в) $(a + b)(a^2 - 3ab + b^2)$

Применим тот же метод. Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Преобразуем второй многочлен $a^2 - 3ab + b^2$, выделив в нем выражение $a^2 - ab + b^2$.

$a^2 - 3ab + b^2 = (a^2 - ab + b^2) - 2ab$

Подставим в исходное выражение:

$(a + b)((a^2 - ab + b^2) - 2ab)$

Раскроем скобки:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) - (a + b)(2ab)$

Применяем формулу суммы кубов к первому члену и раскрываем скобки во втором:

$(a^3 + b^3) - (2a^2b + 2ab^2) = a^3 + b^3 - 2a^2b - 2ab^2$

Перегруппируем члены для стандартного вида:

$a^3 - 2a^2b - 2ab^2 + b^3$

Ответ: $a^3 - 2a^2b - 2ab^2 + b^3$

г) $(p - q)(p^2 + 3pq + q^2)$

Здесь мы будем использовать формулу разности кубов: $p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$.

Преобразуем второй многочлен $p^2 + 3pq + q^2$, выделив в нем выражение $p^2 + pq + q^2$.

$p^2 + 3pq + q^2 = (p^2 + pq + q^2) + 2pq$

Подставим в исходное выражение:

$(p - q)((p^2 + pq + q^2) + 2pq)$

Раскроем скобки:

$(p - q)(p^2 + pq + q^2) + (p - q)(2pq)$

Применяем формулу разности кубов к первому члену и раскрываем скобки во втором:

$(p^3 - q^3) + (2p^2q - 2pq^2) = p^3 - q^3 + 2p^2q - 2pq^2$

Перегруппируем члены:

$p^3 + 2p^2q - 2pq^2 - q^3$

Ответ: $p^3 + 2p^2q - 2pq^2 - q^3$

7.73 Представьте выражение в виде многочлена:

а) $(a - b)(a + b)(a^4 + a^2b^2 + b^4);$

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1);$

в) $(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2);$

г) $(a + b)^2(a^2 - ab + b^2)^2.$

а) Для упрощения выражения $(a - b)(a + b)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения.

Сначала применим формулу разности квадратов к первым двум множителям: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Теперь выражение принимает вид: $(a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$.

Это выражение соответствует формуле разности кубов: $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$, где $x = a^2$ и $y = b^2$.

Подставим наши значения в формулу: $(a^2)^3 - (b^2)^3 = a^6 - b^6$.

Ответ: $a^6 - b^6$

б) Рассмотрим выражение $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)$ и будем последовательно применять формулы.

Умножим первые два множителя по формуле разности квадратов: $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.

Выражение станет: $(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)$.

Снова применим формулу разности квадратов: $(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.

Теперь у нас есть: $(x^4 - 1)(x^8 + x^4 + 1)$.

Это формула разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$, где $a = x^4$ и $b = 1$.

Применяя формулу, получаем: $(x^4)^3 - 1^3 = x^{12} - 1$.

Ответ: $x^{12} - 1$

в) В выражении $(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$ сгруппируем множители для применения формул суммы и разности кубов.

Сгруппируем первый и третий множители: $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$. Это формула разности кубов, которая равна $x^3 - y^3$.

Сгруппируем второй и четвертый множители: $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Это формула суммы кубов, которая равна $x^3 + y^3$.

Теперь исходное выражение равно произведению полученных результатов: $(x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$.

Это формула разности квадратов, где в качестве переменных выступают $x^3$ и $y^3$.

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = x^6 - y^6$.

Ответ: $x^6 - y^6$

г) Рассмотрим выражение $(a + b)^2(a^2 - ab + b^2)^2$.

Воспользуемся свойством степени $(xy)^n = x^n y^n$ и запишем выражение в виде: $[(a + b)(a^2 - ab + b^2)]^2$.

Выражение в квадратных скобках, $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$, является формулой суммы кубов, которая равна $a^3 + b^3$.

Таким образом, исходное выражение упрощается до $(a^3 + b^3)^2$.

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a^3)^2 + 2(a^3)(b^3) + (b^3)^2 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6$.

Ответ: $a^6 + 2a^3b^3 + b^6$