Номер 7.69, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.69 a) $(x+y)^3 - (x-y)^3;$

Б) $(a-b)^3 + (a+b)^3;$

В) $(n+3)^3 - (n-3)^3;$

Г) $(m-1)^3 + (m+1)^3.$

а) $(x+y)^3 - (x-y)^3$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Применим эти формулы, чтобы раскрыть скобки в исходном выражении:
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$
$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Теперь подставим раскрытые выражения обратно в исходное:
$(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3)$

Раскроем скобки, учитывая знак минуса перед второй скобкой (все знаки внутри меняются на противоположные):
$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3$

Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + (3x^2y + 3x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2) + (y^3 + y^3) = 0 + 6x^2y + 0 + 2y^3 = 6x^2y + 2y^3$

Ответ: $6x^2y + 2y^3$

б) $(a-b)^3 + (a+b)^3$

Снова используем формулы куба суммы и куба разности.
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Подставим раскрытые выражения в исходное:
$(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) + (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)$

Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, скобки можно просто убрать:
$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 + a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Приведем подобные слагаемые:
$(a^3 + a^3) + (-3a^2b + 3a^2b) + (3ab^2 + 3ab^2) + (-b^3 + b^3) = 2a^3 + 0 + 6ab^2 + 0 = 2a^3 + 6ab^2$

Ответ: $2a^3 + 6ab^2$

в) $(n+3)^3 - (n-3)^3$

Это частный случай задания а), где $x=n$, а $y=3$. Решим его, раскрыв скобки по формулам куба суммы и разности.
$(n+3)^3 = n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 3 + 3 \cdot n \cdot 3^2 + 3^3 = n^3 + 9n^2 + 27n + 27$
$(n-3)^3 = n^3 - 3 \cdot n^2 \cdot 3 + 3 \cdot n \cdot 3^2 - 3^3 = n^3 - 9n^2 + 27n - 27$

Вычтем второе выражение из первого:
$(n^3 + 9n^2 + 27n + 27) - (n^3 - 9n^2 + 27n - 27)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$n^3 + 9n^2 + 27n + 27 - n^3 + 9n^2 - 27n + 27 = (n^3 - n^3) + (9n^2 + 9n^2) + (27n - 27n) + (27 + 27) = 18n^2 + 54$

Ответ: $18n^2 + 54$

г) $(m-1)^3 + (m+1)^3$

Это частный случай задания б), где $a=m$, а $b=1$. Решим его аналогично.
$(m-1)^3 = m^3 - 3 \cdot m^2 \cdot 1 + 3 \cdot m \cdot 1^2 - 1^3 = m^3 - 3m^2 + 3m - 1$
$(m+1)^3 = m^3 + 3 \cdot m^2 \cdot 1 + 3 \cdot m \cdot 1^2 + 1^3 = m^3 + 3m^2 + 3m + 1$

Сложим полученные выражения:
$(m^3 - 3m^2 + 3m - 1) + (m^3 + 3m^2 + 3m + 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$m^3 - 3m^2 + 3m - 1 + m^3 + 3m^2 + 3m + 1 = (m^3 + m^3) + (-3m^2 + 3m^2) + (3m + 3m) + (-1 + 1) = 2m^3 + 6m$

Ответ: $2m^3 + 6m$