Номер 7.67, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.67 Упростите выражение:

а) $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a + b)(a^2 - ab + b^2)$;

б) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$;

в) $y(y - 1)(y + 1) - (y - 3)(y^2 + 3y + 9)$;

г) $x(x + 3)^2 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) - 2(x - 2)(3x + 2).

а) Для упрощения выражения $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и суммой кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применяя эти формулы к каждому слагаемому, получаем:
Первое слагаемое: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
Второе слагаемое: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.
Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение и сложим их:
$(a^3 - b^3) + (a^3 + b^3) = a^3 - b^3 + a^3 + b^3 = 2a^3$.
Ответ: $2a^3$.

б) Рассмотрим выражение $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.
Это выражение также состоит из двух частей, которые соответствуют формулам суммы и разности кубов.
Первая часть, $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$, является формулой суммы кубов, где $a=x$ и $b=2$:
$(x + 2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.
Вторая часть, $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$, является формулой разности кубов, где $a=x$ и $b=2$:
$(x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.
Теперь выполним вычитание:
$(x^3 + 8) - (x^3 - 8) = x^3 + 8 - x^3 + 8 = 16$.
Ответ: $16$.

в) Упростим выражение $y(y - 1)(y + 1) - (y - 3)(y^2 + 3y + 9)$.
Рассмотрим каждую часть отдельно.
Первая часть: $y(y - 1)(y + 1)$. Произведение $(y - 1)(y + 1)$ является разностью квадратов: $y^2 - 1^2 = y^2 - 1$.
Тогда $y(y^2 - 1) = y \cdot y^2 - y \cdot 1 = y^3 - y$.
Вторая часть: $(y - 3)(y^2 + 3y + 9)$. Это формула разности кубов, где $a=y$ и $b=3$:
$(y - 3)(y^2 + y \cdot 3 + 3^2) = y^3 - 3^3 = y^3 - 27$.
Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(y^3 - y) - (y^3 - 27) = y^3 - y - y^3 + 27 = 27 - y$.
Ответ: $27 - y$.

г) Упростим выражение $x(x + 3)^2 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) - 2(x - 2)(3x + 2)$.
Упростим выражение по частям.
1. Упростим $x(x + 3)^2$. Сначала раскроем квадрат суммы: $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
Затем умножим на $x$: $x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$.
2. Упростим $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$. Это формула суммы кубов: $x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.
3. Упростим $2(x - 2)(3x + 2)$. Сначала перемножим скобки: $(x - 2)(3x + 2) = 3x^2 + 2x - 6x - 4 = 3x^2 - 4x - 4$.
Затем умножим на 2: $2(3x^2 - 4x - 4) = 6x^2 - 8x - 8$.
Теперь объединим все части:
$(x^3 + 6x^2 + 9x) - (x^3 + 8) - (6x^2 - 8x - 8)$.
Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:
$x^3 + 6x^2 + 9x - x^3 - 8 - 6x^2 + 8x + 8$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 - x^3) + (6x^2 - 6x^2) + (9x + 8x) + (-8 + 8) = 0 + 0 + 17x + 0 = 17x$.
Ответ: $17x$.