Номер 7.68, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.68, страница 203.

Условие.

Разложите на множители (7.68–7.69).

7.68 a) $x^3 y^3 - 1$;

б) $8a^3 b^3 + c^3$;

в) $1 - m^3 n^3 p^3$;

г) $x^3 y^3 + 8a^3 z^3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Для разложения на множители выражения $x^3y^3 - 1$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В данном случае $x^3y^3 = (xy)^3$ и $1 = 1^3$. Таким образом, $a = xy$ и $b = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$x^3y^3 - 1 = (xy)^3 - 1^3 = (xy - 1)((xy)^2 + xy \cdot 1 + 1^2) = (xy - 1)(x^2y^2 + xy + 1)$.
Ответ: $(xy - 1)(x^2y^2 + xy + 1)$.

б) Для разложения выражения $8a^3b^3 + c^3$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов: $8a^3b^3 = (2ab)^3$. Таким образом, $a = 2ab$ и $b = c$.
Подставим эти значения в формулу:
$8a^3b^3 + c^3 = (2ab)^3 + c^3 = (2ab + c)((2ab)^2 - 2ab \cdot c + c^2) = (2ab + c)(4a^2b^2 - 2abc + c^2)$.
Ответ: $(2ab + c)(4a^2b^2 - 2abc + c^2)$.

в) Для разложения выражения $1 - m^3n^3p^3$ снова используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов: $1 = 1^3$ и $m^3n^3p^3 = (mnp)^3$. Таким образом, $a = 1$ и $b = mnp$.
Подставим эти значения в формулу:
$1 - m^3n^3p^3 = 1^3 - (mnp)^3 = (1 - mnp)(1^2 + 1 \cdot mnp + (mnp)^2) = (1 - mnp)(1 + mnp + m^2n^2p^2)$.
Ответ: $(1 - mnp)(1 + mnp + m^2n^2p^2)$.

г) Для разложения выражения $x^3y^3 + 8a^3z^3$ снова используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов: $x^3y^3 = (xy)^3$ и $8a^3z^3 = (2az)^3$. Таким образом, $a = xy$ и $b = 2az$.
Подставим эти значения в формулу:
$x^3y^3 + 8a^3z^3 = (xy)^3 + (2az)^3 = (xy + 2az)((xy)^2 - xy \cdot 2az + (2az)^2) = (xy + 2az)(x^2y^2 - 2axyz + 4a^2z^2)$.
Ответ: $(xy + 2az)(x^2y^2 - 2axyz + 4a^2z^2)$.