Номер 7.72, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.72 Выполните умножение:

а) $(m + 1)((m^2 - m + 1) + 3);$

б) $(x + 1)(x^2 - x + 7);$

в) $(a + b)(a^2 - 3ab + b^2);$

г) $(p - q)(p^2 + 3pq + q^2).$

Подсказка. Преобразуйте второй многочлен так, чтобы можно было применить формулу разности или суммы кубов. Например, так:

$(c - 1)(c^2 + c + 3) = (c - 1)((c^2 + c + 1) + 2) = (c^3 - 1) + 2(c - 1) = c^3 - 1 + 2c - 2 = c^3 + 2c - 3.$

а) $(m + 1)((m^2 - m + 1) + 3)$

Воспользуемся подсказкой и преобразуем выражение так, чтобы применить формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a=m$ и $b=1$. Часть выражения $(m+1)(m^2-m+1)$ является формулой суммы кубов $m^3 + 1^3$.

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:

$(m + 1)((m^2 - m + 1) + 3) = (m + 1)(m^2 - m + 1) + (m + 1) \cdot 3$

Применяем формулу суммы кубов для первого слагаемого и раскрываем скобки во втором:

$(m^3 + 1^3) + 3m + 3 = m^3 + 1 + 3m + 3$

Приводим подобные члены:

$m^3 + 3m + 4$

Ответ: $m^3 + 3m + 4$

б) $(x + 1)(x^2 - x + 7)$

Представим второй многочлен $x^2 - x + 7$ в виде суммы, выделив выражение для формулы суммы кубов $(x^2 - x + 1)$.

$x^2 - x + 7 = (x^2 - x + 1) + 6$

Подставим это в исходное выражение:

$(x + 1)((x^2 - x + 1) + 6)$

Раскроем скобки:

$(x + 1)(x^2 - x + 1) + (x + 1) \cdot 6$

Первое слагаемое является формулой суммы кубов $x^3 + 1^3$. Второе слагаемое равно $6x + 6$.

$(x^3 + 1) + 6x + 6 = x^3 + 1 + 6x + 6$

Приводим подобные члены:

$x^3 + 6x + 7$

Ответ: $x^3 + 6x + 7$

в) $(a + b)(a^2 - 3ab + b^2)$

Применим тот же метод. Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Преобразуем второй многочлен $a^2 - 3ab + b^2$, выделив в нем выражение $a^2 - ab + b^2$.

$a^2 - 3ab + b^2 = (a^2 - ab + b^2) - 2ab$

Подставим в исходное выражение:

$(a + b)((a^2 - ab + b^2) - 2ab)$

Раскроем скобки:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) - (a + b)(2ab)$

Применяем формулу суммы кубов к первому члену и раскрываем скобки во втором:

$(a^3 + b^3) - (2a^2b + 2ab^2) = a^3 + b^3 - 2a^2b - 2ab^2$

Перегруппируем члены для стандартного вида:

$a^3 - 2a^2b - 2ab^2 + b^3$

Ответ: $a^3 - 2a^2b - 2ab^2 + b^3$

г) $(p - q)(p^2 + 3pq + q^2)$

Здесь мы будем использовать формулу разности кубов: $p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$.

Преобразуем второй многочлен $p^2 + 3pq + q^2$, выделив в нем выражение $p^2 + pq + q^2$.

$p^2 + 3pq + q^2 = (p^2 + pq + q^2) + 2pq$

Подставим в исходное выражение:

$(p - q)((p^2 + pq + q^2) + 2pq)$

Раскроем скобки:

$(p - q)(p^2 + pq + q^2) + (p - q)(2pq)$

Применяем формулу разности кубов к первому члену и раскрываем скобки во втором:

$(p^3 - q^3) + (2p^2q - 2pq^2) = p^3 - q^3 + 2p^2q - 2pq^2$

Перегруппируем члены:

$p^3 + 2p^2q - 2pq^2 - q^3$

Ответ: $p^3 + 2p^2q - 2pq^2 - q^3$