Номер 7.66, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 7. Разложение многочленов на множители. 7.4. Формулы разности и суммы кубов. Упражнения - номер 7.66, страница 203.

Условие.

7.66 РАССУЖДАЕМ Составьте выражения, которые можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов или разности кубов, и выполните эти преобразования.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Задача состоит в том, чтобы составить выражения, которые можно разложить на множители по формулам суммы или разности кубов, и затем выполнить это разложение. Вспомним эти формулы:

• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Составим и решим несколько примеров различной сложности.

Пример 1: Сумма кубов с простыми одночленами

Составим выражение, где каждый член является кубом одночлена. Например, $x^3$ и $125$.

Выражение: $x^3 + 125$.

Чтобы применить формулу суммы кубов, представим $125$ как куб числа: $125 = 5^3$.

Теперь выражение выглядит как $x^3 + 5^3$. Здесь $a = x$, а $b = 5$.

Применяем формулу $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + 5^3 = (x + 5)(x^2 - x \cdot 5 + 5^2) = (x + 5)(x^2 - 5x + 25)$.

Ответ: $(x + 5)(x^2 - 5x + 25)$

Пример 2: Разность кубов с коэффициентами и степенями

Составим более сложное выражение, включающее числовые коэффициенты и переменные в степенях, кратных трём.

Выражение: $64m^6 - 27n^9$.

Представим каждый член этого выражения в виде куба:

Первый член: $64m^6 = 4^3 \cdot (m^2)^3 = (4m^2)^3$.

Второй член: $27n^9 = 3^3 \cdot (n^3)^3 = (3n^3)^3$.

Теперь выражение имеет вид $(4m^2)^3 - (3n^3)^3$. Это разность кубов, где $a = 4m^2$ и $b = 3n^3$.

Применяем формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$(4m^2 - 3n^3)((4m^2)^2 + (4m^2)(3n^3) + (3n^3)^2)$.

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$(4m^2 - 3n^3)(16m^4 + 12m^2n^3 + 9n^6)$.

Ответ: $(4m^2 - 3n^3)(16m^4 + 12m^2n^3 + 9n^6)$

Пример 3: Сумма кубов с дробным коэффициентом

Составим выражение, в котором один из членов содержит дробный коэффициент, являющийся кубом рационального числа.

Выражение: $y^3 + \frac{1}{8}z^3$.

Представим второй член в виде куба: $\frac{1}{8}z^3 = (\frac{1}{2})^3 \cdot z^3 = (\frac{1}{2}z)^3$.

Выражение принимает вид $y^3 + (\frac{1}{2}z)^3$. Это сумма кубов, где $a = y$ и $b = \frac{1}{2}z$.

Применяем формулу $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$(y + \frac{1}{2}z)(y^2 - y \cdot (\frac{1}{2}z) + (\frac{1}{2}z)^2)$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(y + \frac{1}{2}z)(y^2 - \frac{1}{2}yz + \frac{1}{4}z^2)$.

Ответ: $(y + \frac{1}{2}z)(y^2 - \frac{1}{2}yz + \frac{1}{4}z^2)$

Пример 4: Разность кубов, где один из членов является двучленом

Составим выражение, где основанием одного из кубов является двучлен.

Выражение: $(a+b)^3 - 8$.

Представим $8$ как $2^3$. Выражение примет вид $(a+b)^3 - 2^3$.

Это разность кубов, где в качестве $a$ выступает выражение $(a+b)$, а в качестве $b$ — число $2$.

Применяем формулу $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = (a+b)$ и $B = 2$:

$((a+b) - 2)((a+b)^2 + (a+b) \cdot 2 + 2^2)$.

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки:

$(a+b-2)((a^2+2ab+b^2) + (2a+2b) + 4)$.

$(a+b-2)(a^2+2ab+b^2+2a+2b+4)$.

Ответ: $(a+b-2)(a^2+b^2+2ab+2a+2b+4)$