Номер 7.70, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.70 Сократите дробь:

а) $\frac{a-b}{a^3-b^3}$;

б) $\frac{p^3+q^3}{2p+2q}$;

в) $\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}$;

г) $\frac{a^2+2ab+b^2}{a^3+b^3}$;

д) $\frac{m^3+n^3}{2(m^2-mn+n^2)}$;

е) $\frac{a^2-az}{a^3-z^3}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a-b}{a^3-b^3}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель $a^3-b^3$ является разностью кубов, которая раскладывается по формуле: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Подставим это выражение в знаменатель дроби: $\frac{a-b}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$. Теперь мы можем сократить общий множитель $(a-b)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ne b$). В результате получаем: $\frac{1}{a^2+ab+b^2}$.
Ответ: $\frac{1}{a^2+ab+b^2}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{p^3+q^3}{2p+2q}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $p^3+q^3$ — это сумма кубов, которая раскладывается по формуле: $p^3+q^3 = (p+q)(p^2-pq+q^2)$. В знаменателе $2p+2q$ вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(p+q)$. Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{(p+q)(p^2-pq+q^2)}{2(p+q)}$. Сократим общий множитель $(p+q)$ (при условии, что $p \ne -q$). Получаем: $\frac{p^2-pq+q^2}{2}$.
Ответ: $\frac{p^2-pq+q^2}{2}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $x^3-y^3$ — это разность кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Знаменатель $x^2-y^2$ — это разность квадратов: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$. Подставим разложения в дробь: $\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)}$. Сократим общий множитель $(x-y)$ (при условии, что $x \ne y$). В итоге получаем: $\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$.
Ответ: $\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2+2ab+b^2}{a^3+b^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель $a^2+2ab+b^2$ является полным квадратом суммы: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$. Знаменатель $a^3+b^3$ является суммой кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Подставим разложения в дробь: $\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}$. Сократим общий множитель $(a+b)$ (при условии, что $a \ne -b$). В результате получаем: $\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}$.
Ответ: $\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}$

д) Чтобы сократить дробь $\frac{m^3+n^3}{2(m^2-mn+n^2)}$, разложим числитель на множители. Числитель $m^3+n^3$ — это сумма кубов, которая раскладывается по формуле: $m^3+n^3 = (m+n)(m^2-mn+n^2)$. Подставим это выражение в числитель дроби: $\frac{(m+n)(m^2-mn+n^2)}{2(m^2-mn+n^2)}$. Теперь мы можем сократить общий множитель $(m^2-mn+n^2)$ в числителе и знаменателе (это выражение равно нулю только при $m=n=0$). В результате получаем: $\frac{m+n}{2}$.
Ответ: $\frac{m+n}{2}$

е) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2-az}{a^3-z^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе $a^2-az$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(a-z)$. Знаменатель $a^3-z^3$ — это разность кубов: $a^3-z^3 = (a-z)(a^2+az+z^2)$. Подставим разложения в дробь: $\frac{a(a-z)}{(a-z)(a^2+az+z^2)}$. Сократим общий множитель $(a-z)$ (при условии, что $a \ne z$). В итоге получаем: $\frac{a}{a^2+az+z^2}$.
Ответ: $\frac{a}{a^2+az+z^2}$