Номер 2, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Как проверить, верно или неверно выполнено разложение многочлена на множители? Проверьте правильность разложения на множители многочленов:

а) $x^3 - x^2y - x + y = (x - 1)(x + 1)(x - y)$

б) $a^2 - 2ab + b^2 + a - b = (a - b)(a - b + 1)$

Чтобы проверить, верно ли выполнено разложение многочлена на множители, нужно перемножить полученные множители. Если в результате умножения получается исходный многочлен, то разложение выполнено верно. В противном случае — неверно.

Проверим правильность разложения для каждого случая.

а) Проверим равенство $x^3 - x^2y - x + y = (x - 1)(x + 1)(x - y)$.

Для этого раскроем скобки в правой части выражения. Сначала перемножим первые две скобки, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Теперь результат умножим на третью скобку $(x - y)$:

$(x^2 - 1)(x - y) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-y) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-y) = x^3 - x^2y - x + y$.

Полученное выражение $x^3 - x^2y - x + y$ полностью совпадает с многочленом в левой части равенства. Следовательно, разложение выполнено верно.

Ответ: разложение выполнено верно.

б) Проверим равенство $a^2 - 2ab + b^2 + a - b = (a - b)(a - b + 1)$.

Раскроем скобки в правой части, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:

$(a - b)(a - b + 1) = a \cdot a + a \cdot (-b) + a \cdot 1 - b \cdot a - b \cdot (-b) - b \cdot 1 = a^2 - ab + a - ab + b^2 - b$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$a^2 - ab - ab + b^2 + a - b = a^2 - 2ab + b^2 + a - b$.

Полученное выражение $a^2 - 2ab + b^2 + a - b$ полностью совпадает с многочленом в левой части равенства. Следовательно, разложение выполнено верно.

Ответ: разложение выполнено верно.