Страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Назовите известные вам приёмы разложения многочленов на множители. Прочитайте рекомендации, которых целесообразно придерживаться при разложении многочлена на множители. Пользуясь этими рекомендациями, разложите на множители многочлен $4a^2c - b^2c$.

Назовите известные вам приёмы разложения многочленов на множители.

Разложение многочлена на множители — это тождественное преобразование, в результате которого многочлен представляется в виде произведения нескольких множителей (многочленов или одночленов). Существуют следующие основные приёмы:

1. Вынесение общего множителя за скобки. Это основной и наиболее часто применяемый приём. Если все члены многочлена имеют общий множитель, его выносят за скобки на основании распределительного закона умножения. Например, $15x^3 - 25x^2 = 5x^2(3x - 5)$.

2. Метод группировки. Этот метод используется, когда у всех членов многочлена нет общего множителя. Члены многочлена объединяют в группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, а затем вынести общий для всех групп множитель за скобки. Например, $xy - 6 + 3x - 2y = (xy + 3x) + (-2y - 6) = x(y+3) - 2(y+3) = (y+3)(x-2)$.

3. Применение формул сокращённого умножения. Этот приём заключается в распознавании в многочлене одной из известных формул и применении её в обратном порядке:

- Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

- Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$

- Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

- Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

- Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

4. Разложение квадратного трёхчлена. Если многочлен является квадратным трёхчленом вида $ax^2 + bx + c$, его можно разложить на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

5. Комбинация различных приёмов. Часто для полного разложения многочлена на множители требуется последовательно применить несколько из перечисленных выше методов.

Ответ: Основные приёмы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, метод группировки, применение формул сокращённого умножения, разложение квадратного трёхчлена и комбинация этих методов.

Пользуясь этими рекомендациями, разложите на множители многочлен $4a^2c - b^2c$.

Для разложения многочлена $4a^2c - b^2c$ на множители будем следовать рекомендациям, комбинируя различные приёмы.

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Первым шагом всегда следует проверять, есть ли у всех членов многочлена общий множитель. В данном многочлене оба члена, $4a^2c$ и $-b^2c$, содержат общий множитель $c$. Вынесем его за скобки:

$4a^2c - b^2c = c(4a^2 - b^2)$

2. Применение формул сокращённого умножения.

Теперь рассмотрим выражение, оставшееся в скобках: $4a^2 - b^2$. Это выражение является разностью двух слагаемых. Проверим, не является ли оно разностью квадратов.

Первое слагаемое $4a^2$ можно представить как квадрат выражения $2a$, то есть $4a^2 = (2a)^2$.

Второе слагаемое $b^2$ является квадратом выражения $b$, то есть $b^2 = (b)^2$.

Таким образом, выражение в скобках является разностью квадратов $(2a)^2 - (b)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где в нашем случае $x=2a$ и $y=b$:

$4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$

3. Окончательная запись.

Подставим полученное разложение обратно в выражение из первого шага:

$c(4a^2 - b^2) = c(2a - b)(2a + b)$

Полученные множители $c$, $(2a - b)$ и $(2a + b)$ являются простыми, то есть их нельзя разложить на более простые множители. Следовательно, разложение завершено.

Ответ: $c(2a - b)(2a + b)$

Как проверить, верно или неверно выполнено разложение многочлена на множители? Проверьте правильность разложения на множители многочленов:

а) $x^3 - x^2y - x + y = (x - 1)(x + 1)(x - y)$

б) $a^2 - 2ab + b^2 + a - b = (a - b)(a - b + 1)$

Чтобы проверить, верно ли выполнено разложение многочлена на множители, нужно перемножить полученные множители. Если в результате умножения получается исходный многочлен, то разложение выполнено верно. В противном случае — неверно.

Проверим правильность разложения для каждого случая.

а) Проверим равенство $x^3 - x^2y - x + y = (x - 1)(x + 1)(x - y)$.

Для этого раскроем скобки в правой части выражения. Сначала перемножим первые две скобки, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Теперь результат умножим на третью скобку $(x - y)$:

$(x^2 - 1)(x - y) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-y) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-y) = x^3 - x^2y - x + y$.

Полученное выражение $x^3 - x^2y - x + y$ полностью совпадает с многочленом в левой части равенства. Следовательно, разложение выполнено верно.

Ответ: разложение выполнено верно.

б) Проверим равенство $a^2 - 2ab + b^2 + a - b = (a - b)(a - b + 1)$.

Раскроем скобки в правой части, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:

$(a - b)(a - b + 1) = a \cdot a + a \cdot (-b) + a \cdot 1 - b \cdot a - b \cdot (-b) - b \cdot 1 = a^2 - ab + a - ab + b^2 - b$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$a^2 - ab - ab + b^2 + a - b = a^2 - 2ab + b^2 + a - b$.

Полученное выражение $a^2 - 2ab + b^2 + a - b$ полностью совпадает с многочленом в левой части равенства. Следовательно, разложение выполнено верно.

Ответ: разложение выполнено верно.

Разложите на множители (7.74–7.77).

7.74 а) $3a^2 - 3b^2;$

б) $12m^2 - 12n^2;$

в) $ax^2 - ay^2;$

г) $2a^2x - 2b^2x;$

д) $5x^2 - 5;$

е) $2a^2 - 8;$

ж) $3an^2 - 27a;$

з) $2xy^2 - 50x;$

и) $x^3 - 9x;$

к) $3y^3 - 3y;$

л) $2a^3 - 8a;$

м) $40b - 10b^3.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $3a^2 - 3b^2$, первым шагом вынесем за скобки общий множитель. Для одночленов $3a^2$ и $3b^2$ общим множителем является 3.
$3a^2 - 3b^2 = 3(a^2 - b^2)$
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $a^2 - b^2$. Это разность квадратов. Применим формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
В нашем случае $x=a$ и $y=b$, поэтому $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Подставив это в наше выражение, получаем окончательный результат:
$3(a-b)(a+b)$
Ответ: $3(a - b)(a + b)$

б) В выражении $12m^2 - 12n^2$ вынесем общий множитель 12 за скобки:
$12m^2 - 12n^2 = 12(m^2 - n^2)$
Выражение в скобках $m^2 - n^2$ является разностью квадратов. Применяя формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем:
$12(m - n)(m + n)$
Ответ: $12(m - n)(m + n)$

в) В выражении $ax^2 - ay^2$ общим множителем является $a$. Вынесем его за скобки:
$ax^2 - ay^2 = a(x^2 - y^2)$
Применим формулу разности квадратов к выражению $x^2 - y^2$:
$a(x - y)(x + y)$
Ответ: $a(x - y)(x + y)$

г) В выражении $2a^2x - 2b^2x$ общим множителем является $2x$. Вынесем его за скобки:
$2a^2x - 2b^2x = 2x(a^2 - b^2)$
Применим формулу разности квадратов к выражению $a^2 - b^2$:
$2x(a - b)(a + b)$
Ответ: $2x(a - b)(a + b)$

д) В выражении $5x^2 - 5$ вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5x^2 - 5 = 5(x^2 - 1)$
Заметим, что $1 = 1^2$, поэтому выражение в скобках является разностью квадратов $x^2 - 1^2$. Применим формулу:
$5(x - 1)(x + 1)$
Ответ: $5(x - 1)(x + 1)$

е) В выражении $2a^2 - 8$ вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2a^2 - 8 = 2(a^2 - 4)$
Представим 4 как $2^2$. Выражение в скобках $a^2 - 2^2$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$2(a - 2)(a + 2)$
Ответ: $2(a - 2)(a + 2)$

ж) В выражении $3an^2 - 27a$ общим множителем является $3a$. Вынесем его за скобки:
$3an^2 - 27a = 3a(n^2 - 9)$
Представим 9 как $3^2$. Выражение в скобках $n^2 - 3^2$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$3a(n - 3)(n + 3)$
Ответ: $3a(n - 3)(n + 3)$

з) В выражении $2xy^2 - 50x$ общим множителем является $2x$. Вынесем его за скобки:
$2xy^2 - 50x = 2x(y^2 - 25)$
Представим 25 как $5^2$. Выражение в скобках $y^2 - 5^2$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$2x(y - 5)(y + 5)$
Ответ: $2x(y - 5)(y + 5)$

и) В выражении $x^3 - 9x$ общим множителем является $x$. Вынесем его за скобки:
$x^3 - 9x = x(x^2 - 9)$
Представим 9 как $3^2$. Выражение в скобках $x^2 - 3^2$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$x(x - 3)(x + 3)$
Ответ: $x(x - 3)(x + 3)$

к) В выражении $3y^3 - 3y$ общим множителем является $3y$. Вынесем его за скобки:
$3y^3 - 3y = 3y(y^2 - 1)$
Представим 1 как $1^2$. Выражение в скобках $y^2 - 1^2$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$3y(y - 1)(y + 1)$
Ответ: $3y(y - 1)(y + 1)$

л) В выражении $2a^3 - 8a$ общим множителем является $2a$. Вынесем его за скобки:
$2a^3 - 8a = 2a(a^2 - 4)$
Представим 4 как $2^2$. Выражение в скобках $a^2 - 2^2$ является разностью квадратов. Применим формулу:
$2a(a - 2)(a + 2)$
Ответ: $2a(a - 2)(a + 2)$

м) В выражении $40b - 10b^3$ общим множителем является $10b$. Вынесем его за скобки:
$40b - 10b^3 = 10b(4 - b^2)$
Представим 4 как $2^2$. Выражение в скобках $2^2 - b^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$10b(2 - b)(2 + b)$
Ответ: $10b(2 - b)(2 + b)$