Страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Найдите корни уравнения (7.97–7.98).

7.97 a) $(x^{2} + 3)(x - 7) = 0;$

б) $(3y - 1)(y^{2} + 1) = 0;$

в) $(z - 1)^{2}(z + 4) = 0;$

г) $(3t + 12)(t + 2)^{2} = 0.$

а) $(x^2 + 3)(x - 7) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом существует. Рассмотрим каждый множитель отдельно.

1) $x^2 + 3 = 0$. Перенесем 3 в правую часть: $x^2 = -3$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($x^2 \ge 0$), данное уравнение не имеет действительных корней. Другими словами, множитель $x^2 + 3$ всегда больше нуля ($x^2 + 3 \ge 3$).

2) $x - 7 = 0$. Перенесем 7 в правую часть: $x = 7$.

Поскольку первый множитель никогда не равен нулю, корень уравнения определяется только вторым множителем.

Ответ: $7$.

б) $(3y - 1)(y^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $3y - 1 = 0$. Перенесем 1 в правую часть и разделим на 3: $3y = 1$, откуда $y = \frac{1}{3}$.

2) $y^2 + 1 = 0$. Перенесем 1 в правую часть: $y^2 = -1$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Множитель $y^2 + 1$ всегда больше нуля ($y^2 + 1 \ge 1$).

Следовательно, у исходного уравнения есть только один корень.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) $(z - 1)^2(z + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $(z - 1)^2 = 0$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $z - 1 = 0$. Отсюда $z = 1$.

2) $z + 4 = 0$. Перенесем 4 в правую часть: $z = -4$.

Уравнение имеет два различных корня.

Ответ: $1; -4$.

г) $(3t + 12)(t + 2)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) $3t + 12 = 0$. Перенесем 12 в правую часть: $3t = -12$. Разделим обе части на 3: $t = \frac{-12}{3}$, откуда $t = -4$.

2) $(t + 2)^2 = 0$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $t + 2 = 0$. Отсюда $t = -2$.

Уравнение имеет два различных корня.

Ответ: $-4; -2$.

7.98 а) $3x(x - 1) + (x^2 - 1) = 0;$

б) $2(y - 1) - (1 - y)^2 = 0;$

В) $3(x - 2) + (x^2 - 4) = 0;$

Г) $(y - 3)^2 - 4(3 - y) = 0.$

а) $3x(x - 1) + (x^2 - 1) = 0$

Для решения этого уравнения разложим выражение $(x^2 - 1)$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Теперь подставим это разложение в исходное уравнение:

$3x(x - 1) + (x - 1)(x + 1) = 0$

Мы видим общий множитель $(x - 1)$, который можно вынести за скобки:

$(x - 1)(3x + (x + 1)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 1)(4x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:

1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

2) $4x + 1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x_2 = -1/4$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1/4$.

б) $2(y - 1) - (1 - y)^2 = 0$

Заметим, что $(1 - y)^2$ и $(y - 1)^2$ равны, так как $(1 - y) = -(y - 1)$, а квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного. Заменим $(1 - y)^2$ на $(y - 1)^2$:

$2(y - 1) - (y - 1)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:

$(y - 1)(2 - (y - 1)) = 0$

Раскроем скобки во втором множителе:

$(y - 1)(2 - y + 1) = 0$

$(y - 1)(3 - y) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $y - 1 = 0 \implies y_1 = 1$

2) $3 - y = 0 \implies y_2 = 3$

Ответ: $y_1 = 1, y_2 = 3$.

в) $3(x - 2) + (x^2 - 4) = 0$

Используем формулу разности квадратов для разложения выражения $(x^2 - 4)$:

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Подставим это в уравнение:

$3(x - 2) + (x - 2)(x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(3 + (x + 2)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 2)(3 + x + 2) = 0$

$(x - 2)(x + 5) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

2) $x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -5$.

г) $(y - 3)^2 - 4(3 - y) = 0$

Преобразуем выражение $(3 - y)$, вынеся знак минус за скобку: $3 - y = -(y - 3)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(y - 3)^2 - 4(-(y - 3)) = 0$

$(y - 3)^2 + 4(y - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 3)$ за скобки:

$(y - 3)((y - 3) + 4) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(y - 3)(y + 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $y - 3 = 0 \implies y_1 = 3$

2) $y + 1 = 0 \implies y_2 = -1$

Ответ: $y_1 = 3, y_2 = -1$.

7.99 Решите уравнение:

а) $(x+1)^2 - 4 = 0;$

б) $(x+2)^2 - 9 = 0;$

в) $1 - (x-3)^2 = 0;$

г) $25 - (10-x)^2 = 0.$

а) Исходное уравнение: $(x + 1)^2 - 4 = 0$.
Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим $4$ как $2^2$, чтобы привести уравнение к виду разности квадратов:
$(x + 1)^2 - 2^2 = 0$
Применим формулу, где $a = x + 1$ и $b = 2$:
$((x + 1) - 2)((x + 1) + 2) = 0$
Упростим выражения в скобках:
$(x - 1)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$
Ответ: $-3; 1$.

б) Исходное уравнение: $(x + 2)^2 - 9 = 0$.
Используем формулу разности квадратов. Представим $9$ как $3^2$:
$(x + 2)^2 - 3^2 = 0$
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x + 2$ и $b = 3$:
$((x + 2) - 3)((x + 2) + 3) = 0$
Упростим выражения в скобках:
$(x - 1)(x + 5) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$
Ответ: $-5; 1$.

в) Исходное уравнение: $1 - (x - 3)^2 = 0$.
Используем формулу разности квадратов. Представим $1$ как $1^2$:
$1^2 - (x - 3)^2 = 0$
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 1$ и $b = x - 3$:
$(1 - (x - 3))(1 + (x - 3)) = 0$
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(1 - x + 3)(1 + x - 3) = 0$
$(4 - x)(x - 2) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $4 - x = 0 \implies x_1 = 4$
2) $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
Ответ: $2; 4$.

г) Исходное уравнение: $25 - (10 - x)^2 = 0$.
Используем формулу разности квадратов. Представим $25$ как $5^2$:
$5^2 - (10 - x)^2 = 0$
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5$ и $b = 10 - x$:
$(5 - (10 - x))(5 + (10 - x)) = 0$
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(5 - 10 + x)(5 + 10 - x) = 0$
$(x - 5)(15 - x) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x - 5 = 0 \implies x_1 = 5$
2) $15 - x = 0 \implies x_2 = 15$
Ответ: $5; 15$.

7.100 Найдите корни уравнения (для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом, рассмотренным в упражнении 7.86):

а) $x^2 + 4x + 3;$

б) $x^2 + 2x - 8;$

в) $x^2 - 2x - 3;$

г) $x^2 - 10x + 16.$

а) Чтобы найти корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$, разложим левую часть на множители. Для этого представим средний член $4x$ в виде суммы двух слагаемых. Ищем два числа, произведение которых равно свободному члену (3), а сумма — коэффициенту при $x$ (4). Эти числа — 1 и 3, так как $1 \cdot 3 = 3$ и $1 + 3 = 4$.
Запишем уравнение в новом виде: $x^2 + x + 3x + 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки: $(x^2 + x) + (3x + 3) = 0$
$x(x + 1) + 3(x + 1) = 0$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x+1)$: $(x + 1)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $x + 1 = 0$ или $x + 3 = 0$
$x_1 = -1$
$x_2 = -3$
Ответ: $-3; -1$.

б) Решим уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$. Разложим многочлен $x^2 + 2x - 8$ на множители. Нам нужны два числа, произведение которых равно $-8$, а сумма равна $2$. Эти числа — 4 и -2, так как $4 \cdot (-2) = -8$ и $4 + (-2) = 2$.
Представим $2x$ как $4x - 2x$: $x^2 + 4x - 2x - 8 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители: $(x^2 + 4x) - (2x + 8) = 0$
$x(x + 4) - 2(x + 4) = 0$
Вынесем за скобки $(x+4)$: $(x + 4)(x - 2) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю: $x + 4 = 0$ или $x - 2 = 0$
$x_1 = -4$
$x_2 = 2$
Ответ: $-4; 2$.

в) Решим уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. Разложим многочлен $x^2 - 2x - 3$ на множители. Ищем два числа, произведение которых равно $-3$, а сумма равна $-2$. Эти числа — -3 и 1, так как $(-3) \cdot 1 = -3$ и $-3 + 1 = -2$.
Представим $-2x$ как $-3x + x$: $x^2 - 3x + x - 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители: $(x^2 - 3x) + (x - 3) = 0$
$x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
Вынесем за скобки $(x-3)$: $(x - 3)(x + 1) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю: $x - 3 = 0$ или $x + 1 = 0$
$x_1 = 3$
$x_2 = -1$
Ответ: $-1; 3$.

г) Решим уравнение $x^2 - 10x + 16 = 0$. Разложим многочлен $x^2 - 10x + 16$ на множители. Ищем два числа, произведение которых равно $16$, а сумма равна $-10$. Эти числа — -2 и -8, так как $(-2) \cdot (-8) = 16$ и $(-2) + (-8) = -10$.
Представим $-10x$ как $-2x - 8x$: $x^2 - 2x - 8x + 16 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители: $(x^2 - 2x) - (8x - 16) = 0$
$x(x - 2) - 8(x - 2) = 0$
Вынесем за скобки $(x-2)$: $(x - 2)(x - 8) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю: $x - 2 = 0$ или $x - 8 = 0$
$x_1 = 2$
$x_2 = 8$
Ответ: $2; 8$.

7.101 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Решим уравнение $(\frac{3}{x} - \frac{1}{4})(\frac{1}{x} + \frac{2}{3}) = 0$:

$\frac{3}{x} - \frac{1}{4} = 0$
$\frac{3}{x} = \frac{1}{4}$
$x = 3 \cdot 4$
$x = 12$

или

$\frac{1}{x} + \frac{2}{3} = 0$
$\frac{1}{x} = -\frac{2}{3}$
$2x = -3$
$x = -1,5$

Ответ. 12; -1,5.

Решите уравнение, воспользовавшись разобранным способом:

a) $(\frac{1}{x} - \frac{2}{7})(\frac{5}{8} - \frac{1}{x}) = 0$

б) $(\frac{3}{4} + \frac{2}{x})(\frac{4}{3} - \frac{4}{x}) = 0$

в) $(\frac{5}{x} + 3)(\frac{2}{x} + 2) = 0$

г) $(\frac{3}{2x} - \frac{1}{6})(\frac{2}{3x} - \frac{2}{9}) = 0$

Для решения уравнений воспользуемся правилом: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом существуют (не теряют смысла). Во всех представленных уравнениях переменная $x$ находится в знаменателе, поэтому необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ), исключая значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, то есть $x \neq 0$.

а) $(\frac{1}{x} - \frac{2}{7})(\frac{5}{8} - \frac{1}{x}) = 0$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\frac{1}{x} - \frac{2}{7} = 0$ или $\frac{5}{8} - \frac{1}{x} = 0$

Решим первое уравнение:

$\frac{1}{x} = \frac{2}{7}$

По свойству пропорции:

$2x = 7$

$x_1 = \frac{7}{2} = 3,5$

Решим второе уравнение:

$\frac{5}{8} = \frac{1}{x}$

По свойству пропорции:

$5x = 8$

$x_2 = \frac{8}{5} = 1,6$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $3,5; 1,6$.

б) $(\frac{3}{4} + \frac{2}{x})(\frac{4}{3} - \frac{4}{x}) = 0$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\frac{3}{4} + \frac{2}{x} = 0$ или $\frac{4}{3} - \frac{4}{x} = 0$

Решим первое уравнение:

$\frac{2}{x} = -\frac{3}{4}$

По свойству пропорции:

$-3x = 2 \cdot 4$

$-3x = 8$

$x_1 = -\frac{8}{3}$

Решим второе уравнение:

$\frac{4}{3} = \frac{4}{x}$

Так как числители равны, то должны быть равны и знаменатели:

$x_2 = 3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-\frac{8}{3}; 3$.

в) $(\frac{5}{x} + 3)(\frac{2}{x} + 2) = 0$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\frac{5}{x} + 3 = 0$ или $\frac{2}{x} + 2 = 0$

Решим первое уравнение:

$\frac{5}{x} = -3$

$-3x = 5$

$x_1 = -\frac{5}{3}$

Решим второе уравнение:

$\frac{2}{x} = -2$

$-2x = 2$

$x_2 = -1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-\frac{5}{3}; -1$.

г) $(\frac{3}{2x} - \frac{1}{6})(\frac{2}{3x} - \frac{2}{9}) = 0$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений (ОДЗ: $x \neq 0$):

$\frac{3}{2x} - \frac{1}{6} = 0$ или $\frac{2}{3x} - \frac{2}{9} = 0$

Решим первое уравнение:

$\frac{3}{2x} = \frac{1}{6}$

По свойству пропорции:

$2x \cdot 1 = 3 \cdot 6$

$2x = 18$

$x_1 = 9$

Решим второе уравнение:

$\frac{2}{3x} = \frac{2}{9}$

Так как числители равны, то должны быть равны и знаменатели:

$3x = 9$

$x_2 = 3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $9; 3$.

7.102 Решите уравнение относительно x:

a) $x^2 - m^2 = 0;$

б) $a^2 - x^2 = 0;$

В) $(x + 4 - a)(x + 4 + a) = 0;$

Г) $25 - (x - b)^2 = 0.$

Для решения уравнения $x^2 - m^2 = 0$ воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Разложим левую часть на множители:

$(x - m)(x + m) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x - m = 0 \Rightarrow x_1 = m$

2) $x + m = 0 \Rightarrow x_2 = -m$

Ответ: $x_1 = m, x_2 = -m$.

Уравнение $a^2 - x^2 = 0$ также является разностью квадратов.

Разложим левую часть на множители:

$(a - x)(a + x) = 0$

Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:

1) $a - x = 0 \Rightarrow x_1 = a$

2) $a + x = 0 \Rightarrow x_2 = -a$

Ответ: $x_1 = a, x_2 = -a$.

В уравнении $(x + 4 - a)(x + 4 + a) = 0$ левая часть уже представлена в виде произведения двух множителей. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1) $x + 4 - a = 0$

Выразим $x$, перенеся остальные члены в правую часть: $x_1 = a - 4$.

2) $x + 4 + a = 0$

Выразим $x$: $x_2 = -a - 4$.

Ответ: $x_1 = a - 4, x_2 = -a - 4$.

Для решения уравнения $25 - (x - b)^2 = 0$ перенесем $(x - b)^2$ в правую часть:

$(x - b)^2 = 25$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, учитывая оба знака:

$x - b = \pm\sqrt{25}$

$x - b = \pm 5$

Это дает нам два линейных уравнения:

1) $x - b = 5 \Rightarrow x_1 = 5 + b$

2) $x - b = -5 \Rightarrow x_2 = b - 5$

Ответ: $x_1 = 5 + b, x_2 = b - 5$.