Номер 7.100, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.100 Найдите корни уравнения (для разложения многочлена на множители воспользуйтесь способом, рассмотренным в упражнении 7.86):

а) $x^2 + 4x + 3;$

б) $x^2 + 2x - 8;$

в) $x^2 - 2x - 3;$

г) $x^2 - 10x + 16.$

а) Чтобы найти корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$, разложим левую часть на множители. Для этого представим средний член $4x$ в виде суммы двух слагаемых. Ищем два числа, произведение которых равно свободному члену (3), а сумма — коэффициенту при $x$ (4). Эти числа — 1 и 3, так как $1 \cdot 3 = 3$ и $1 + 3 = 4$.
Запишем уравнение в новом виде: $x^2 + x + 3x + 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки: $(x^2 + x) + (3x + 3) = 0$
$x(x + 1) + 3(x + 1) = 0$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x+1)$: $(x + 1)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $x + 1 = 0$ или $x + 3 = 0$
$x_1 = -1$
$x_2 = -3$
Ответ: $-3; -1$.

б) Решим уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$. Разложим многочлен $x^2 + 2x - 8$ на множители. Нам нужны два числа, произведение которых равно $-8$, а сумма равна $2$. Эти числа — 4 и -2, так как $4 \cdot (-2) = -8$ и $4 + (-2) = 2$.
Представим $2x$ как $4x - 2x$: $x^2 + 4x - 2x - 8 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители: $(x^2 + 4x) - (2x + 8) = 0$
$x(x + 4) - 2(x + 4) = 0$
Вынесем за скобки $(x+4)$: $(x + 4)(x - 2) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю: $x + 4 = 0$ или $x - 2 = 0$
$x_1 = -4$
$x_2 = 2$
Ответ: $-4; 2$.

в) Решим уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. Разложим многочлен $x^2 - 2x - 3$ на множители. Ищем два числа, произведение которых равно $-3$, а сумма равна $-2$. Эти числа — -3 и 1, так как $(-3) \cdot 1 = -3$ и $-3 + 1 = -2$.
Представим $-2x$ как $-3x + x$: $x^2 - 3x + x - 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители: $(x^2 - 3x) + (x - 3) = 0$
$x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
Вынесем за скобки $(x-3)$: $(x - 3)(x + 1) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю: $x - 3 = 0$ или $x + 1 = 0$
$x_1 = 3$
$x_2 = -1$
Ответ: $-1; 3$.

г) Решим уравнение $x^2 - 10x + 16 = 0$. Разложим многочлен $x^2 - 10x + 16$ на множители. Ищем два числа, произведение которых равно $16$, а сумма равна $-10$. Эти числа — -2 и -8, так как $(-2) \cdot (-8) = 16$ и $(-2) + (-8) = -10$.
Представим $-10x$ как $-2x - 8x$: $x^2 - 2x - 8x + 16 = 0$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители: $(x^2 - 2x) - (8x - 16) = 0$
$x(x - 2) - 8(x - 2) = 0$
Вынесем за скобки $(x-2)$: $(x - 2)(x - 8) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю: $x - 2 = 0$ или $x - 8 = 0$
$x_1 = 2$
$x_2 = 8$
Ответ: $2; 8$.