Номер 7.96, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение уравнений с помощью разложения на множители. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.96, страница 208.

Условие.

7.96 Найдите корни уравнения подбором, а затем решите это уравнение, применив разложение на множители:

а) $y^2 = y$;

б) $a^3 = a$;

в) $x^2 = 4x$;

г) $t^2 = -5t$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Сначала найдем корни уравнения $y^2 = y$ подбором. Легко заметить, что если подставить $y=0$, то получится верное равенство: $0^2 = 0$. Также, если подставить $y=1$, равенство $1^2 = 1$ тоже будет верным. Таким образом, корни, найденные подбором: 0 и 1.
Теперь решим уравнение, применив разложение на множители. Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$y^2 - y = 0$
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(y - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы имеем два случая:
1) $y = 0$
2) $y - 1 = 0$, откуда $y = 1$
Корни уравнения: 0 и 1.
Ответ: 0; 1.

б) Найдем корни уравнения $a^3 = a$ подбором. Проверим несколько значений:
Если $a=0$, то $0^3 = 0$. Верно.
Если $a=1$, то $1^3 = 1$. Верно.
Если $a=-1$, то $(-1)^3 = -1$. Верно.
Корни, найденные подбором: 0, 1 и -1.
Теперь решим уравнение разложением на множители. Перенесем все в левую часть:
$a^3 - a = 0$
Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a(a^2 - 1) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов $a^2 - 1^2$, которую можно разложить как $(a-1)(a+1)$.
$a(a - 1)(a + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $a = 0$
2) $a - 1 = 0$, откуда $a = 1$
3) $a + 1 = 0$, откуда $a = -1$
Корни уравнения: 0, 1 и -1.
Ответ: -1; 0; 1.

в) Найдем корни уравнения $x^2 = 4x$ подбором.
Если $x=0$, то $0^2 = 4 \cdot 0$, что дает $0 = 0$. Верно.
Если $x=4$, то $4^2 = 4 \cdot 4$, что дает $16 = 16$. Верно.
Корни, найденные подбором: 0 и 4.
Теперь решим уравнение разложением на множители. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 4x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 4) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $x = 0$
2) $x - 4 = 0$, откуда $x = 4$
Корни уравнения: 0 и 4.
Ответ: 0; 4.

г) Найдем корни уравнения $t^2 = -5t$ подбором.
Если $t=0$, то $0^2 = -5 \cdot 0$, что дает $0 = 0$. Верно.
Если $t=-5$, то $(-5)^2 = -5 \cdot (-5)$, что дает $25 = 25$. Верно.
Корни, найденные подбором: 0 и -5.
Теперь решим уравнение разложением на множители. Перенесем все члены в левую часть:
$t^2 + 5t = 0$
Вынесем общий множитель $t$ за скобки:
$t(t + 5) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $t = 0$
2) $t + 5 = 0$, откуда $t = -5$
Корни уравнения: 0 и -5.
Ответ: -5; 0.