Номер 7.101, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение уравнений с помощью разложения на множители. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.101, страница 209.

Условие.

7.101 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Решим уравнение $(\frac{3}{x} - \frac{1}{4})(\frac{1}{x} + \frac{2}{3}) = 0$:

$\frac{3}{x} - \frac{1}{4} = 0$
$\frac{3}{x} = \frac{1}{4}$
$x = 3 \cdot 4$
$x = 12$

или

$\frac{1}{x} + \frac{2}{3} = 0$
$\frac{1}{x} = -\frac{2}{3}$
$2x = -3$
$x = -1,5$

Ответ. 12; -1,5.

Решите уравнение, воспользовавшись разобранным способом:

a) $(\frac{1}{x} - \frac{2}{7})(\frac{5}{8} - \frac{1}{x}) = 0$

б) $(\frac{3}{4} + \frac{2}{x})(\frac{4}{3} - \frac{4}{x}) = 0$

в) $(\frac{5}{x} + 3)(\frac{2}{x} + 2) = 0$

г) $(\frac{3}{2x} - \frac{1}{6})(\frac{2}{3x} - \frac{2}{9}) = 0$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения уравнений воспользуемся правилом: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом существуют (не теряют смысла). Во всех представленных уравнениях переменная $x$ находится в знаменателе, поэтому необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ), исключая значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, то есть $x \neq 0$.

---

а) $(\frac{1}{x} - \frac{2}{7})(\frac{5}{8} - \frac{1}{x}) = 0$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\frac{1}{x} - \frac{2}{7} = 0$ или $\frac{5}{8} - \frac{1}{x} = 0$

Решим первое уравнение:

$\frac{1}{x} = \frac{2}{7}$

По свойству пропорции:

$2x = 7$

$x_1 = \frac{7}{2} = 3,5$

Решим второе уравнение:

$\frac{5}{8} = \frac{1}{x}$

По свойству пропорции:

$5x = 8$

$x_2 = \frac{8}{5} = 1,6$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $3,5; 1,6$.

---

б) $(\frac{3}{4} + \frac{2}{x})(\frac{4}{3} - \frac{4}{x}) = 0$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\frac{3}{4} + \frac{2}{x} = 0$ или $\frac{4}{3} - \frac{4}{x} = 0$

Решим первое уравнение:

$\frac{2}{x} = -\frac{3}{4}$

По свойству пропорции:

$-3x = 2 \cdot 4$

$-3x = 8$

$x_1 = -\frac{8}{3}$

Решим второе уравнение:

$\frac{4}{3} = \frac{4}{x}$

Так как числители равны, то должны быть равны и знаменатели:

$x_2 = 3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-\frac{8}{3}; 3$.

---

в) $(\frac{5}{x} + 3)(\frac{2}{x} + 2) = 0$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\frac{5}{x} + 3 = 0$ или $\frac{2}{x} + 2 = 0$

Решим первое уравнение:

$\frac{5}{x} = -3$

$-3x = 5$

$x_1 = -\frac{5}{3}$

Решим второе уравнение:

$\frac{2}{x} = -2$

$-2x = 2$

$x_2 = -1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-\frac{5}{3}; -1$.

---

г) $(\frac{3}{2x} - \frac{1}{6})(\frac{2}{3x} - \frac{2}{9}) = 0$

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений (ОДЗ: $x \neq 0$):

$\frac{3}{2x} - \frac{1}{6} = 0$ или $\frac{2}{3x} - \frac{2}{9} = 0$

Решим первое уравнение:

$\frac{3}{2x} = \frac{1}{6}$

По свойству пропорции:

$2x \cdot 1 = 3 \cdot 6$

$2x = 18$

$x_1 = 9$

Решим второе уравнение:

$\frac{2}{3x} = \frac{2}{9}$

Так как числители равны, то должны быть равны и знаменатели:

$3x = 9$

$x_2 = 3$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $9; 3$.