Номер 7.105, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.105 Решите уравнение $x^4 + 4x^2 - 5 = 0.$

Данное уравнение $x^4 + 4x^2 - 5 = 0$ является биквадратным. Для его решения применяется метод замены переменной.

Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставим новую переменную $t$ в исходное уравнение. Так как $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 4t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

1. Решение по теореме Виета:

Сумма корней $t_1 + t_2 = -4$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -5$. Подбором находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

2. Решение через дискриминант:

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения $a=1, b=4, c=-5$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые вычисляются по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$t_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Для этого выполним обратную замену $x^2 = t$, учитывая условие $t \ge 0$.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним и не приводит к действительным решениям для $x$.

Рассмотрим корень $t_1 = 1$:

$x^2 = 1$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-1; 1$.