Номер 2, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2 На основе какого свойства действия выполняется вынесение за скобки общего множителя? Объясните на примере многочлена $12ab^2 + 3a^2b$, как вынести за скобки общий множитель.

На основе какого свойства действия выполняется вынесение за скобки общего множителя?

Вынесение общего множителя за скобки выполняется на основе распределительного свойства умножения относительно сложения, которое также называют дистрибутивным законом. Это свойство устанавливает связь между операциями сложения и умножения. В общем виде его записывают следующей формулой:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

При выполнении операции вынесения за скобки это свойство используется в обратном порядке, то есть справа налево:

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

В данном случае, $a$ является общим множителем для слагаемых $ab$ и $ac$, который и выносится за скобки.

Ответ: Вынесение общего множителя за скобки выполняется на основе распределительного свойства умножения.

Объясните на примере многочлена $12ab^2 + 3a^2b$, как вынести за скобки общий множитель.

Чтобы вынести общий множитель за скобки в многочлене $12ab^2 + 3a^2b$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов.
Коэффициенты у нас 12 и 3. Их наибольший общий делитель — это 3.

2. Найти общие переменные и их наименьшие степени.
Переменная $a$ присутствует в обоих членах ($a$ и $a^2$). Выбираем наименьшую степень — $a^1$, то есть просто $a$.
Переменная $b$ также присутствует в обоих членах ($b^2$ и $b$). Выбираем наименьшую степень — $b^1$, то есть просто $b$.

3. Определить общий множитель.
Общий множитель является произведением НОД коэффициентов и общих переменных в наименьших степенях: $3 \cdot a \cdot b = 3ab$.

4. Разделить каждый член многочлена на общий множитель.
Теперь выносим $3ab$ за скобки, для чего делим каждый член исходного многочлена на этот общий множитель. Результаты деления составят выражение в скобках.
Первый член: $\frac{12ab^2}{3ab} = 4b$
Второй член: $\frac{3a^2b}{3ab} = a$

5. Записать итоговое выражение.
Записываем общий множитель перед скобками, а в скобках — сумму полученных частных:
$12ab^2 + 3a^2b = 3ab(4b + a)$

Для проверки можно выполнить обратное действие — раскрыть скобки: $3ab(4b + a) = 3ab \cdot 4b + 3ab \cdot a = 12ab^2 + 3a^2b$. Результат совпадает с исходным многочленом, следовательно, разложение выполнено правильно.

Ответ: $12ab^2 + 3a^2b = 3ab(4b + a)$.