Номер 4, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4 Запишите формулу разности квадратов и докажите её. Составьте несколько выражений, которые можно разложить на множители с помощью этой формулы.

Запишите формулу разности квадратов

Формула разности квадратов — это одна из ключевых формул сокращённого умножения в алгебре. Она гласит, что разность квадратов двух чисел или выражений равна произведению их разности на их сумму.

Математическая запись формулы выглядит следующим образом:

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Здесь a и b могут быть любыми числами или математическими выражениями.

Ответ: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Докажите её

Доказательство формулы разности квадратов проводится путем преобразования её правой части. Наша задача — показать, что произведение $(a - b)(a + b)$ тождественно равно $a^2 - b^2$. Для этого раскроем скобки, умножив многочлен $(a - b)$ на многочлен $(a + b)$ по правилу "каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого".

1. Умножим a на $(a + b)$: $a \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b = a^2 + ab$.

2. Умножим -b на $(a + b)$: $-b \cdot (a + b) = -b \cdot a - b \cdot b = -ba - b^2$.

3. Сложим полученные результаты:

$$(a - b)(a + b) = (a^2 + ab) + (-ba - b^2) = a^2 + ab - ba - b^2$$

4. Поскольку в алгебре умножение коммутативно ($ab = ba$), мы можем привести подобные слагаемые $ab$ и $-ba$:

$$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 + 0 - b^2 = a^2 - b^2$$

Мы преобразовали правую часть равенства к левой: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Тождество доказано.

Ответ: Доказательство проведено путем раскрытия скобок в правой части выражения $(a - b)(a + b)$, которое после приведения подобных слагаемых становится тождественно равным левой части $a^2 - b^2$.

Составьте несколько выражений, которые можно разложить на множители с помощью этой формулы

Формулу разности квадратов можно применять для разложения на множители любого выражения, которое представляет собой разность двух членов, каждый из которых является полным квадратом.

Пример 1: $49 - x^2$

Представим 49 как $7^2$. Тогда выражение примет вид $7^2 - x^2$. Здесь $a = 7$, $b = x$.

$$49 - x^2 = 7^2 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$$

Пример 2: $16y^2 - 25z^2$

Представим $16y^2$ как $(4y)^2$ и $25z^2$ как $(5z)^2$. Здесь $a = 4y$, $b = 5z$.

$$16y^2 - 25z^2 = (4y)^2 - (5z)^2 = (4y - 5z)(4y + 5z)$$

Пример 3: $c^4 - 81$

Представим $c^4$ как $(c^2)^2$ и 81 как $9^2$. Здесь $a = c^2$, $b = 9$.

$$c^4 - 81 = (c^2)^2 - 9^2 = (c^2 - 9)(c^2 + 9)$$

Обратите внимание, что первый множитель $(c^2 - 9)$ также является разностью квадратов ($c^2 - 3^2$) и может быть разложен дальше: $(c - 3)(c + 3)$. Таким образом, полное разложение выглядит так:

$$(c - 3)(c + 3)(c^2 + 9)$$

Пример 4: $(a+b)^2 - 4$

Здесь первый член уже является квадратом выражения $(a+b)$, а второй член — это $2^2$. Здесь $a_{формулы} = (a+b)$, $b_{формулы} = 2$.

$$(a+b)^2 - 4 = (a+b)^2 - 2^2 = ((a+b) - 2)((a+b) + 2) = (a+b-2)(a+b+2)$$

Ответ: Примеры выражений, разложенных на множители с помощью формулы разности квадратов:
1. $49 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$;
2. $16y^2 - 25z^2 = (4y - 5z)(4y + 5z)$;
3. $c^4 - 81 = (c - 3)(c + 3)(c^2 + 9)$;
4. $(a+b)^2 - 4 = (a+b-2)(a+b+2)$.