Страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4 Запишите формулу разности квадратов и докажите её. Составьте несколько выражений, которые можно разложить на множители с помощью этой формулы.

Запишите формулу разности квадратов

Формула разности квадратов — это одна из ключевых формул сокращённого умножения в алгебре. Она гласит, что разность квадратов двух чисел или выражений равна произведению их разности на их сумму.

Математическая запись формулы выглядит следующим образом:

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Здесь a и b могут быть любыми числами или математическими выражениями.

Ответ: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Докажите её

Доказательство формулы разности квадратов проводится путем преобразования её правой части. Наша задача — показать, что произведение $(a - b)(a + b)$ тождественно равно $a^2 - b^2$. Для этого раскроем скобки, умножив многочлен $(a - b)$ на многочлен $(a + b)$ по правилу "каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого".

1. Умножим a на $(a + b)$: $a \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b = a^2 + ab$.

2. Умножим -b на $(a + b)$: $-b \cdot (a + b) = -b \cdot a - b \cdot b = -ba - b^2$.

3. Сложим полученные результаты:

$$(a - b)(a + b) = (a^2 + ab) + (-ba - b^2) = a^2 + ab - ba - b^2$$

4. Поскольку в алгебре умножение коммутативно ($ab = ba$), мы можем привести подобные слагаемые $ab$ и $-ba$:

$$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 + 0 - b^2 = a^2 - b^2$$

Мы преобразовали правую часть равенства к левой: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Тождество доказано.

Ответ: Доказательство проведено путем раскрытия скобок в правой части выражения $(a - b)(a + b)$, которое после приведения подобных слагаемых становится тождественно равным левой части $a^2 - b^2$.

Составьте несколько выражений, которые можно разложить на множители с помощью этой формулы

Формулу разности квадратов можно применять для разложения на множители любого выражения, которое представляет собой разность двух членов, каждый из которых является полным квадратом.

Пример 1: $49 - x^2$

Представим 49 как $7^2$. Тогда выражение примет вид $7^2 - x^2$. Здесь $a = 7$, $b = x$.

$$49 - x^2 = 7^2 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$$

Пример 2: $16y^2 - 25z^2$

Представим $16y^2$ как $(4y)^2$ и $25z^2$ как $(5z)^2$. Здесь $a = 4y$, $b = 5z$.

$$16y^2 - 25z^2 = (4y)^2 - (5z)^2 = (4y - 5z)(4y + 5z)$$

Пример 3: $c^4 - 81$

Представим $c^4$ как $(c^2)^2$ и 81 как $9^2$. Здесь $a = c^2$, $b = 9$.

$$c^4 - 81 = (c^2)^2 - 9^2 = (c^2 - 9)(c^2 + 9)$$

Обратите внимание, что первый множитель $(c^2 - 9)$ также является разностью квадратов ($c^2 - 3^2$) и может быть разложен дальше: $(c - 3)(c + 3)$. Таким образом, полное разложение выглядит так:

$$(c - 3)(c + 3)(c^2 + 9)$$

Пример 4: $(a+b)^2 - 4$

Здесь первый член уже является квадратом выражения $(a+b)$, а второй член — это $2^2$. Здесь $a_{формулы} = (a+b)$, $b_{формулы} = 2$.

$$(a+b)^2 - 4 = (a+b)^2 - 2^2 = ((a+b) - 2)((a+b) + 2) = (a+b-2)(a+b+2)$$

Ответ: Примеры выражений, разложенных на множители с помощью формулы разности квадратов:
1. $49 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$;
2. $16y^2 - 25z^2 = (4y - 5z)(4y + 5z)$;
3. $c^4 - 81 = (c - 3)(c + 3)(c^2 + 9)$;
4. $(a+b)^2 - 4 = (a+b-2)(a+b+2)$.

5 Запишите формулу разности кубов и докажите её. Покажите на примере выражения $8 - 27y^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители.

Запишите формулу разности кубов

Формула разности кубов двух выражений $a$ и $b$ — это тождество, которое позволяет разложить разность кубов на множители. Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Формула имеет следующий вид:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Докажите её

Для доказательства формулы разности кубов необходимо показать, что правая часть равенства $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ тождественно равна левой. Для этого выполним умножение многочленов в правой части:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2)$

Раскроем скобки:

$a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$

В результате преобразований правая часть формулы оказалась равна левой части ($a^3 - b^3 = a^3 - b^3$), что и доказывает тождество.

Ответ: Доказательство основано на раскрытии скобок в правой части формулы $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$, что после приведения подобных слагаемых дает $a^3 - b^3$, то есть левую часть формулы.

Покажите на примере выражения $8 - 27y^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители

Чтобы разложить на множители выражение $8 - 27y^3$ с помощью формулы разности кубов, сначала представим его в виде $a^3 - b^3$.

1. Определим, что будет играть роль $a$. Первое слагаемое $8$ можно представить как куб числа $2$, то есть $8 = 2^3$. Значит, $a = 2$.

2. Определим, что будет играть роль $b$. Второе слагаемое $27y^3$ можно представить как куб выражения $3y$, то есть $27y^3 = (3y)^3$. Значит, $b = 3y$.

3. Теперь подставим значения $a = 2$ и $b = 3y$ в формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$8 - 27y^3 = 2^3 - (3y)^3 = (2 - 3y)(2^2 + 2 \cdot (3y) + (3y)^2)$

4. Выполним вычисления во второй скобке, чтобы получить окончательный вид разложения:

$(2 - 3y)(4 + 6y + 9y^2)$

Таким образом, выражение $8 - 27y^3$ разложено на два множителя.

Ответ: $8 - 27y^3 = (2 - 3y)(4 + 6y + 9y^2)$.

6 Запишите формулу суммы кубов и докажите её. Покажите на примере выражения $1 + \frac{1}{8}a^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители.

Запишите формулу суммы кубов

Формула суммы кубов двух выражений $a$ и $b$ выглядит следующим образом:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Словесно эта формула читается так: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Ответ: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Докажите её

Для доказательства формулы достаточно раскрыть скобки в её правой части и убедиться, что полученное выражение равно левой части. Выполним преобразование правой части тождества:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2)$

Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на второй:

$= a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2$

$= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $-a^2b$ и $+a^2b$ взаимно уничтожаются, так же как и члены $+ab^2$ и $-ab^2$:

$= a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

В результате мы получили выражение $a^3 + b^3$, которое в точности совпадает с левой частью формулы. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Доказательство проведено путем раскрытия скобок в правой части формулы: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$.

Покажите на примере выражения $1 + \frac{1}{8}a^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители

Дано выражение $1 + \frac{1}{8}a^3$. Чтобы применить формулу суммы кубов, необходимо представить каждое слагаемое в виде куба некоторого выражения.

1. Представим первое слагаемое, число $1$, в виде куба: $1 = 1^3$.

2. Представим второе слагаемое, $\frac{1}{8}a^3$, в виде куба: $\frac{1}{8}a^3 = (\frac{1}{2})^3 \cdot a^3 = (\frac{1}{2}a)^3$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде суммы кубов:

$1 + \frac{1}{8}a^3 = 1^3 + (\frac{1}{2}a)^3$

3. Применим формулу $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, где в нашем случае $x = 1$ и $y = \frac{1}{2}a$.

Подставим эти значения в правую часть формулы:

$(1 + \frac{1}{2}a)(1^2 - 1 \cdot \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2)$

4. Упростим выражение во второй скобке:

$(1 + \frac{1}{2}a)(1 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2)$

Таким образом, мы разложили исходное выражение на два множителя, применив формулу суммы кубов.

Ответ: $1 + \frac{1}{8}a^3 = (1 + \frac{1}{2}a)(1 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2)$.

7 Сформулируйте условие равенства нулю произведения двух или нескольких чисел.

Условие, при котором произведение чисел равно нулю, является фундаментальным свойством в арифметике и алгебре, которое часто называют свойством нулевого произведения. Оно формулируется одинаково как для двух, так и для любого большего количества чисел.

Рассмотрим сначала произведение двух чисел, которые обозначим как $a$ и $b$. Их произведение $a \cdot b$ равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю.
Математически это записывается так:
$a \cdot b = 0 \iff a = 0$ или $b = 0$.
Это означает, что если один из множителей равен нулю (например, $a=0$), то и все произведение равно нулю: $0 \cdot b = 0$. И наоборот, если известно, что произведение $a \cdot b = 0$, то можно сделать вывод, что либо $a=0$, либо $b=0$, либо оба равны нулю. Если бы оба множителя были отличны от нуля, их произведение также было бы отлично от нуля.

Это же правило распространяется на произведение любого количества чисел. Если у нас есть несколько множителей $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$, то их произведение будет равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из этих множителей равен нулю.
Запись в общем виде:
$a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n = 0 \iff$ существует хотя бы один множитель $a_i$ такой, что $a_i=0$.
Это свойство широко используется при решении уравнений. Например, для решения уравнения $(x-5)(x+3)=0$ мы используем это правило, приравнивая каждый множитель к нулю: $x-5=0$ или $x+3=0$, что дает корни $x=5$ и $x=-3$.

Таким образом, можно сформулировать единое и универсальное условие.

Ответ: Произведение двух или нескольких чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1 $9x^2 + 3x.$

1.

Задача состоит в том, чтобы разложить на множители выражение $9x^2 + 3x$. Для этого необходимо найти наибольший общий множитель для обоих слагаемых и вынести его за скобки.

1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 9 и 3.
НОД(9, 3) = 3.

2. Находим общую переменную часть для $x^2$ и $x$. Общей частью является переменная в наименьшей степени, то есть $x$.

3. Таким образом, общий множитель для всего выражения — это произведение НОД коэффициентов и общей переменной части: $3x$.

4. Выносим общий множитель $3x$ за скобки. Для этого делим каждый член исходного многочлена на $3x$ и результат записываем в скобках:

$9x^2 + 3x = 3x \cdot (\frac{9x^2}{3x} + \frac{3x}{3x})$

Выполняем деление в скобках:

$\frac{9x^2}{3x} = 3x$

$\frac{3x}{3x} = 1$

Подставляем полученные результаты обратно в выражение:

$3x(3x + 1)$

Для проверки можно раскрыть скобки: $3x \cdot 3x + 3x \cdot 1 = 9x^2 + 3x$. Полученное выражение совпадает с исходным, значит, разложение на множители выполнено верно.

Ответ: $3x(3x + 1)$

2 $2ab - ab^2.$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо вынести общий множитель за скобки.

Исходное выражение: $2ab - ab^2$.

1. Проанализируем оба члена выражения ($2ab$ и $ab^2$) и найдем их общие части.

2. Оба члена содержат переменные $a$ и $b$.

3. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для этих членов. Для этого возьмем каждую переменную в наименьшей степени, в которой она встречается в выражении.

• Переменная $a$ входит в оба члена в первой степени ($a^1$).
• Переменная $b$ входит в первый член в первой степени ($b^1$), а во второй — во второй степени ($b^2$). Наименьшая степень — первая.

Таким образом, общий множитель — это $ab$.

4. Вынесем $ab$ за скобки. Для этого разделим каждый член исходного выражения на $ab$: $2ab \div (ab) = 2$ $-ab^2 \div (ab) = -b$

5. Запишем результат в виде произведения общего множителя на выражение в скобках: $ab(2 - b)$

Ответ: $ab(2 - b)$

3 $6xy + 3x^2y - 12xy^2$.

Данное выражение $6xy + 3x^2y - 12xy^2$ представляет собой многочлен. Чтобы его упростить, необходимо вынести за скобки общий множитель. Для этого последовательно найдем наибольший общий делитель для коэффициентов и для переменных.

1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 6, 3 и 12. Очевидно, что все три числа делятся на 3. Таким образом, НОД(6, 3, 12) = 3.

2. Находим общую часть для переменных в каждом члене многочлена: $xy$, $x^2y$ и $xy^2$. Для этого берем каждую переменную в наименьшей степени, в которой она встречается во всех членах.
- Переменная $x$ входит в члены в степенях 1, 2 и 1. Наименьшая степень — 1. Значит, общим множителем будет $x^1 = x$.
- Переменная $y$ входит в члены в степенях 1, 1 и 2. Наименьшая степень — 1. Значит, общим множителем будет $y^1 = y$.
Общая переменная часть, которую можно вынести за скобки, — это $xy$.

Объединяя результаты, получаем, что общий множитель для всего выражения равен $3xy$.

Теперь вынесем $3xy$ за скобки. Для этого нужно каждый член исходного многочлена разделить на $3xy$:
$6xy + 3x^2y - 12xy^2 = 3xy \cdot (\frac{6xy}{3xy} + \frac{3x^2y}{3xy} - \frac{12xy^2}{3xy})$

Выполним деление в скобках:
- $\frac{6xy}{3xy} = 2$
- $\frac{3x^2y}{3xy} = x$
- $\frac{-12xy^2}{3xy} = -4y$

Подставив полученные значения обратно в скобки, получаем окончательный вид выражения: $3xy(2 + x - 4y)$.

Ответ: $3xy(2 + x - 4y)$

4 $5a^4 - 10a^3 + 10a^2.$

Для того чтобы разложить на множители данный многочлен $5a^4 - 10a^3 + 10a^2$, первым шагом вынесем за скобки общий множитель.

1. Нахождение общего множителя.
Все коэффициенты многочлена (5, -10, 10) делятся на 5. Это наибольший общий делитель для чисел. Переменная $a$ входит в каждый член. Наименьшая степень переменной $a$ в данном многочлене – это $a^2$. Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, – это $5a^2$.

2. Вынесение общего множителя за скобки.
Разделим каждый член многочлена на $5a^2$:
$5a^4 : (5a^2) = a^2$
$-10a^3 : (5a^2) = -2a$
$10a^2 : (5a^2) = 2$
Таким образом, получаем:
$5a^4 - 10a^3 + 10a^2 = 5a^2(a^2 - 2a + 2)$

3. Проверка возможности дальнейшего разложения.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $a^2 - 2a + 2$. Это квадратный трёхчлен. Чтобы проверить, можно ли его разложить на множители, найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.
Для трехчлена $a^2 - 2a + 2$ коэффициенты равны: $a=1, b=-2, c=2$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$
Так как дискриминант $D < 0$, квадратный трёхчлен $a^2 - 2a + 2$ не имеет действительных корней, а значит, его нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, итоговое разложение многочлена на множители является окончательным.
Ответ: $5a^2(a^2 - 2a + 2)$

5 $y(y - 1) + 2(y - 1).$

Данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых: $y(y - 1)$ и $2(y - 1)$.

Для упрощения выражения необходимо найти и вынести за скобки общий множитель. В данном случае общим множителем для обоих слагаемых является выражение в скобках $(y - 1)$.

Применим распределительный закон умножения $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$.

Пусть $c = (y - 1)$, $a = y$ и $b = 2$. Тогда выражение можно переписать, вынеся общий множитель $(y - 1)$ за скобки:

$y\underbrace{(y - 1)}_{c} + 2\underbrace{(y - 1)}_{c} = (y + 2)(y - 1)$.

Таким образом, исходное выражение раскладывается на два множителя: $(y + 2)$ и $(y - 1)$.

Ответ: $(y + 2)(y - 1)$.

6 $ax - ay + 2x - 2y.$

6.

Чтобы разложить многочлен $ax - ay + 2x - 2y$ на множители, используется метод группировки. Суть метода заключается в том, чтобы объединить слагаемые в группы, из каждой из которых можно вынести общий множитель, а затем вынести за скобки общий для этих групп множитель.

1. Сгруппируем слагаемые попарно. Объединим первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(ax - ay) + (2x - 2y)$

2. Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе.
В первой группе $(ax - ay)$ общим множителем является переменная $a$. Выносим её:
$a(x - y)$
Во второй группе $(2x - 2y)$ общим множителем является число $2$. Выносим его:
$2(x - y)$

3. После вынесения общих множителей из каждой группы исходное выражение принимает вид:
$a(x - y) + 2(x - y)$

4. Теперь мы видим, что у обоих получившихся слагаемых, $a(x - y)$ и $2(x - y)$, есть общий множитель — это выражение в скобках $(x - y)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:
$(x - y)(a + 2)$

В результате разложения многочлена на множители мы получили произведение двух двучленов. Порядок множителей не имеет значения, поэтому ответ можно записать и как $(a + 2)(x - y)$.

Ответ: $(a + 2)(x - y)$

7 $x^2 - 64.$

Для разложения данного выражения на множители используется формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов".

Формула разности квадратов выглядит следующим образом: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В выражении $x^2 - 64$ мы можем увидеть, что:

Первый член — это $x^2$, что является квадратом переменной $x$. Значит, $a = x$.

Второй член — это $64$, что является квадратом числа $8$, так как $8^2 = 64$. Значит, $b = 8$.

Теперь подставим наши значения $a$ и $b$ в формулу разности квадратов:

$x^2 - 64 = x^2 - 8^2 = (x - 8)(x + 8)$.

Таким образом, выражение раскладывается на два множителя: $(x - 8)$ и $(x + 8)$.

Ответ: $(x - 8)(x + 8)$

8 $9a^2 - 16b^2$.

Для разложения на множители выражения $9a^2 - 16b^2$ используется формула сокращенного умножения, а именно формула разности квадратов:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Сначала представим каждый член исходного выражения в виде квадрата.

Первый член выражения — это $9a^2$. Его можно представить как квадрат выражения $3a$, поскольку $3^2 = 9$:

$9a^2 = (3a)^2$

Второй член выражения — это $16b^2$. Его можно представить как квадрат выражения $4b$, поскольку $4^2 = 16$:

$16b^2 = (4b)^2$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$9a^2 - 16b^2 = (3a)^2 - (4b)^2$

Применим формулу разности квадратов, где $x = 3a$ и $y = 4b$:

$(3a)^2 - (4b)^2 = (3a - 4b)(3a + 4b)$

Ответ: $(3a - 4b)(3a + 4b)$

9. $\frac{x^2 + 3x}{3a + ax}$.

Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо разложить числитель и знаменатель дроби на множители, а затем сократить общие множители.

Исходное выражение:

$$ \frac{x^2 + 3x}{3a + ax} $$

1. Разложим на множители числитель $x^2 + 3x$. Общий множитель для обоих слагаемых — это $x$. Вынесем его за скобки:

$$ x^2 + 3x = x(x + 3) $$

2. Разложим на множители знаменатель $3a + ax$. Общий множитель — это $a$. Вынесем его за скобки:

$$ 3a + ax = a(3 + x) $$

3. Теперь подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в дробь:

$$ \frac{x(x + 3)}{a(3 + x)} $$

4. В числителе и знаменателе есть общий множитель. Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $(x + 3)$ и $(3 + x)$ — это одно и то же выражение. Мы можем сократить дробь на этот общий множитель при условии, что он не равен нулю (т.е. $x + 3 \neq 0$, или $x \neq -3$) и знаменатель не равен нулю ($a \neq 0$).

$$ \frac{x \cdot \cancel{(x + 3)}}{a \cdot \cancel{(3 + x)}} = \frac{x}{a} $$

После сокращения получаем итоговый результат.

Ответ: $ \frac{x}{a} $

10 $\frac{b^2}{b^2 + bc}$.

10

Для упрощения данного алгебраического выражения необходимо сократить дробь. Для этого сначала разложим знаменатель на множители.

Исходное выражение:

$$ \frac{b^2}{b^2 + bc} $$

В знаменателе дроби $b^2 + bc$ есть общий множитель $b$. Вынесем его за скобки:

$$ b^2 + bc = b \cdot b + b \cdot c = b(b + c) $$

Теперь подставим разложенный на множители знаменатель обратно в исходное выражение:

$$ \frac{b^2}{b(b + c)} $$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $b$, поскольку в числителе стоит $b^2 = b \cdot b$. Сокращение возможно при условии, что $b \ne 0$.

$$ \frac{\cancel{b} \cdot b}{\cancel{b}(b + c)} = \frac{b}{b + c} $$

Следует отметить, что данное упрощение справедливо при условии, что знаменатель исходной дроби не равен нулю, то есть $b^2 + bc \ne 0$, что эквивалентно $b(b+c) \ne 0$. Отсюда следует, что $b \ne 0$ и $b \ne -c$.

Ответ: $ \frac{b}{b + c} $

11 $\frac{2a+4}{a^2-4}$.

Для упрощения данного алгебраического выражения необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, а затем сократить полученную дробь.

Исходное выражение:

$$ \frac{2a + 4}{a^2 - 4} $$

Сначала разложим на множители числитель. В выражении $2a + 4$ можно вынести за скобки общий множитель 2:

$$ 2a + 4 = 2(a + 2) $$

Теперь разложим на множители знаменатель. Выражение $a^2 - 4$ является разностью квадратов, так как $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$$ a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2) $$

Подставим полученные разложения обратно в исходную дробь:

$$ \frac{2(a + 2)}{(a - 2)(a + 2)} $$

Мы видим, что и в числителе, и в знаменателе есть общий множитель $(a + 2)$. Мы можем сократить дробь на этот множитель. Это возможно при условии, что $a + 2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$. Также изначальный знаменатель $a^2 - 4$ не должен быть равен нулю, откуда $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

После сокращения получаем:

$$ \frac{2\cancel{(a + 2)}}{(a - 2)\cancel{(a + 2)}} = \frac{2}{a - 2} $$

Ответ: $$ \frac{2}{a - 2} $$

12 $\frac{x^2 - y^2}{x^2 - xy}$.

Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо разложить его числитель и знаменатель на множители, а затем сократить общие множители.

Исходное выражение:$$ \frac{x^2 - y^2}{x^2 - xy} $$

1. Разложение числителя на множители
Числитель $x^2 - y^2$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Применяя эту формулу, получаем:$$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $$

2. Разложение знаменателя на множители
В знаменателе $x^2 - xy$ можно вынести за скобки общий множитель $x$.
Получаем:$$ x^2 - xy = x(x - y) $$

3. Упрощение дроби
Теперь подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в дробь:$$ \frac{(x - y)(x + y)}{x(x - y)} $$
Мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $(x - y)$. Мы можем сократить на него, при условии, что он не равен нулю (т.е. $x \neq y$). Также из определения дроби следует, что знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x(x-y) \neq 0$, что означает $x \neq 0$ и $x \neq y$.
После сокращения общего множителя $(x-y)$ получаем:$$ \frac{\cancel{(x - y)}(x + y)}{x\cancel{(x - y)}} = \frac{x + y}{x} $$

Таким образом, мы упростили исходное выражение.
Ответ: $ \frac{x + y}{x} $

13 $(x - a)(x + a)$

Данное выражение $(x-a)(x+a)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Для его упрощения следует использовать формулу сокращённого умножения, известную как "разность квадратов".

Формула разности квадратов имеет следующий вид:
$(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$.

В нашем случае в роли $A$ выступает $x$, а в роли $B$ выступает $a$. Подставим эти значения в формулу:
$(x-a)(x+a) = x^2 - a^2$.

Также можно прийти к этому результату, раскрыв скобки путем перемножения каждого члена первого многочлена на каждый член второго:
$(x-a)(x+a) = x \cdot x + x \cdot a - a \cdot x - a \cdot a = x^2 + ax - ax - a^2$.
Затем необходимо привести подобные слагаемые. Члены $ax$ и $-ax$ взаимно уничтожаются:
$x^2 + (ax - ax) - a^2 = x^2 - a^2$.
Как видим, результат совпадает.

Ответ: $x^2 - a^2$

14 $(2p - 3n)(2p + 3n).$

14. Для решения данной задачи необходимо упростить выражение $14 (2p - 3n)(2p + 3n)$.

Сначала обратим внимание на произведение скобок $(2p - 3n)(2p + 3n)$. Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае, пусть $a = 2p$ и $b = 3n$. Применим формулу:

$(2p - 3n)(2p + 3n) = (2p)^2 - (3n)^2$

Возведем каждый член в квадрат:

$(2p)^2 = 2^2 \cdot p^2 = 4p^2$

$(3n)^2 = 3^2 \cdot n^2 = 9n^2$

Таким образом, произведение скобок равно $4p^2 - 9n^2$.

Теперь подставим это упрощенное выражение обратно в исходное:

$14 (4p^2 - 9n^2)$

Осталось раскрыть скобки, умножив число 14 на каждый член внутри скобок (используем распределительный закон умножения):

$14 \cdot 4p^2 - 14 \cdot 9n^2 = 56p^2 - 126n^2$

Ответ: $56p^2 - 126n^2$.

15 $(a + b)^2 - (a - b)(a + b).$

Чтобы упростить данное алгебраическое выражение, можно пойти двумя путями: вынести общий множитель или использовать формулы сокращённого умножения для раскрытия скобок.

Способ 1: Вынесение общего множителя

Исходное выражение: $(a + b)^2 - (a - b)(a + b)$.

Заметим, что $(a+b)$ является общим множителем для обоих членов выражения. Вынесем его за скобки:

$(a + b) \cdot ((a + b) - (a - b))$

Теперь упростим выражение во вторых скобках, раскрыв внутренние скобки. Обратите внимание на знак минус перед второй скобкой:

$(a + b) \cdot (a + b - a + b)$

Приведём подобные слагаемые внутри скобок:

$(a + b) \cdot (2b)$

Раскроем скобки, умножив $2b$ на каждый член в первой скобке:

$2b \cdot a + 2b \cdot b = 2ab + 2b^2$

Способ 2: Раскрытие скобок с помощью формул сокращённого умножения

Исходное выражение: $(a + b)^2 - (a - b)(a + b)$.

Воспользуемся двумя формулами сокращённого умножения:

1. Квадрат суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

2. Разность квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Применим первую формулу к $(a + b)^2$:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Применим вторую формулу к $(a - b)(a + b)$:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - b^2)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри неё меняются на противоположные:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + b^2$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + 2ab + (b^2 + b^2) = 0 + 2ab + 2b^2 = 2ab + 2b^2$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $2ab + 2b^2$

16 $(x - 1)(x + 1) - x(x - 3).$

16

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо раскрыть скобки и затем привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(x - 1)(x + 1) - x(x - 3)$.

1. Раскроем первую часть выражения $(x - 1)(x + 1)$. Это известная формула сокращенного умножения — разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=1$.

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

2. Раскроем вторую часть выражения $-x(x - 3)$, используя распределительный закон (умножим $-x$ на каждый член в скобках):

$-x(x - 3) = (-x) \cdot x - (-x) \cdot 3 = -x^2 + 3x$.

3. Теперь объединим результаты и подставим их в исходное выражение:

$(x^2 - 1) + (-x^2 + 3x) = x^2 - 1 - x^2 + 3x$.

4. Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с $x^2$, с $x$ и свободные члены:

$(x^2 - x^2) + 3x - 1$.

Слагаемые $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются, так как их сумма равна нулю.

$0 + 3x - 1 = 3x - 1$.

Ответ: $3x - 1$.

17 $a^3 - 4a.$

Чтобы разложить на множители выражение $a^3 - 4a$, необходимо выполнить несколько шагов.

Сначала вынесем за скобки общий множитель. В данном случае для одночленов $a^3$ и $4a$ общим множителем является $a$.
$a^3 - 4a = a(a^2 - 4)$

Далее, рассмотрим выражение, получившееся в скобках: $a^2 - 4$. Это выражение представляет собой разность квадратов, так как $4$ можно представить как $2^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Применим формулу к нашему выражению, где $x=a$ и $y=2$:
$a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$

Подставив полученное разложение обратно, получим окончательный вид выражения, разложенного на множители.
$a(a^2 - 4) = a(a - 2)(a + 2)$

Ответ: $a(a - 2)(a + 2)$

18 $ax^2 - ay^2$.

Чтобы разложить на множители выражение $ax^2 - ay^2$, необходимо последовательно выполнить два действия: вынесение общего множителя за скобки и применение формулы сокращенного умножения.

1. Первым шагом вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$ax^2 - ay^2 = a(x^2 - y^2)$

2. Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 - y^2$. Это разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В нашем случае $A=x$ и $B=y$.
Применяя формулу, получаем:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

3. Подставим полученное разложение обратно в выражение из первого шага:
$a(x^2 - y^2) = a(x - y)(x + y)$

Таким образом, мы полностью разложили исходное выражение на множители.

Ответ: $a(x - y)(x + y)$

19 $3a^2 - 6ab + 3b^2$

Чтобы разложить на множители выражение $3a^2 - 6ab + 3b^2$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти общий множитель для всех членов многочлена и вынести его за скобки. В данном случае коэффициенты 3, -6 и 3 имеют общий делитель 3. Выносим 3 за скобки:
$3a^2 - 6ab + 3b^2 = 3(a^2 - 2ab + b^2)$

2. Проанализировать выражение, оставшееся в скобках: $a^2 - 2ab + b^2$. Это выражение является полным квадратом и соответствует формуле сокращенного умножения "квадрат разности": $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Применим эту формулу, где $x=a$ и $y=b$:
$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

3. Совместить результаты. Подставим свернутое выражение из второго шага в результат первого шага.

Ответ: $3(a-b)^2$

20 $ax^2 + 2ax + a.$

Чтобы разложить на множители выражение $ax^2 + 2ax + a$, необходимо выполнить следующие действия.

Сначала найдём общий множитель для всех членов многочлена. Мы видим, что каждый член ($ax^2$, $2ax$ и $a$) содержит общий множитель $a$. Вынесем его за скобки:
$ax^2 + 2ax + a = a(x^2 + 2x + 1)$

Теперь проанализируем выражение, которое находится в скобках: $x^2 + 2x + 1$. Этот трёхчлен является полным квадратом, так как он соответствует формуле квадрата суммы: $(b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2$.

В нашем случае, если мы положим $b = x$ и $c = 1$, то получим:
$(x+1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$
Это в точности совпадает с выражением в скобках. Следовательно, мы можем заменить $x^2 + 2x + 1$ на $(x+1)^2$.

Подставим полученное выражение обратно в результат первого шага. Это даст нам окончательное разложение на множители:
$a(x^2 + 2x + 1) = a(x+1)^2$

Ответ: $a(x+1)^2$

21 $(x - 12)(3x + 9) = 0.$

Дано уравнение: $(x - 12)(3x + 9) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, чтобы найти все решения, нужно каждый из множителей приравнять к нулю.

1. Приравниваем первый множитель к нулю:

$x - 12 = 0$

Переносим $-12$ в правую часть уравнения, меняя знак на противоположный:

$x_1 = 12$

2. Приравниваем второй множитель к нулю:

$3x + 9 = 0$

Переносим $9$ в правую часть уравнения, меняя знак на противоположный:

$3x = -9$

Делим обе части уравнения на $3$, чтобы найти $x$:

$x_2 = \frac{-9}{3}$

$x_2 = -3$

Таким образом, у уравнения есть два корня.

Ответ: $-3; 12$

22 $(x + 2)^2 = 0.$

Дано уравнение: $(x + 2)^2 = 0$.

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся свойством степени. Если квадрат какого-либо выражения равен нулю, то и само это выражение должно быть равно нулю. То есть, если $A^2 = 0$, то $A = 0$.

Применительно к нашему уравнению, выражение в скобках $(x + 2)$ должно быть равно нулю:
$x + 2 = 0$

Мы получили простое линейное уравнение. Для его решения перенесем число 2 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$x = -2$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x = -2$ в исходное уравнение:
$(-2 + 2)^2 = 0$
$0^2 = 0$
$0 = 0$
Равенство верное, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $-2$

23 $x^2 + 7x = 0$.

Данное уравнение $x^2 + 7x = 0$ является неполным квадратным уравнением, так как в нем свободный член равен нулю ($c=0$).

Для решения таких уравнений удобно использовать метод разложения на множители. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни уравнения.

1) Первый множитель равен нулю:
$x_1 = 0$

2) Второй множитель равен нулю:
$x + 7 = 0$

Перенесем 7 в правую часть уравнения, изменив знак:
$x_2 = -7$

Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и -7.

Ответ: $-7; 0$.

24 $x^2 - 25 = 0$

Данное уравнение $x^2 - 25 = 0$ является неполным квадратным уравнением. Число 24, указанное перед уравнением, является номером задания. Решить это уравнение можно несколькими способами.

Способ 1: Изолирование переменной

1. Перенесем свободный член (-25) в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$x^2 = 25$

2. Чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{25}$

3. Вычисляем значение корня:
$x_1 = 5$
$x_2 = -5$

Способ 2: Использование формулы разности квадратов

1. Левую часть уравнения можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В нашем случае $a = x$, а $b = 5$, так как $25 = 5^2$.
Запишем уравнение в виде:
$x^2 - 5^2 = 0$

2. Применим формулу и разложим левую часть на множители:
$(x - 5)(x + 5) = 0$

3. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни.
$x - 5 = 0 \quad \implies \quad x_1 = 5$
$x + 5 = 0 \quad \implies \quad x_2 = -5$

Оба способа приводят к одинаковому результату. Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-5; 5$.