Номер 15, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

15 $(a + b)^2 - (a - b)(a + b).$

Чтобы упростить данное алгебраическое выражение, можно пойти двумя путями: вынести общий множитель или использовать формулы сокращённого умножения для раскрытия скобок.

Способ 1: Вынесение общего множителя

Исходное выражение: $(a + b)^2 - (a - b)(a + b)$.

Заметим, что $(a+b)$ является общим множителем для обоих членов выражения. Вынесем его за скобки:

$(a + b) \cdot ((a + b) - (a - b))$

Теперь упростим выражение во вторых скобках, раскрыв внутренние скобки. Обратите внимание на знак минус перед второй скобкой:

$(a + b) \cdot (a + b - a + b)$

Приведём подобные слагаемые внутри скобок:

$(a + b) \cdot (2b)$

Раскроем скобки, умножив $2b$ на каждый член в первой скобке:

$2b \cdot a + 2b \cdot b = 2ab + 2b^2$

Способ 2: Раскрытие скобок с помощью формул сокращённого умножения

Исходное выражение: $(a + b)^2 - (a - b)(a + b)$.

Воспользуемся двумя формулами сокращённого умножения:

1. Квадрат суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

2. Разность квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Применим первую формулу к $(a + b)^2$:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Применим вторую формулу к $(a - b)(a + b)$:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - b^2)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри неё меняются на противоположные:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + b^2$

Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + 2ab + (b^2 + b^2) = 0 + 2ab + 2b^2 = 2ab + 2b^2$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $2ab + 2b^2$