Страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Что называется решением уравнения с двумя переменными (фрагмент 1)? Пользуясь этим определением, покажите, что пара (2; 4) является решением уравнения $xy = 2x + y$, а пара (3; 4) не является.

Что называется решением уравнения с двумя переменными?
Решением уравнения с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называется упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, которая при подстановке в это уравнение вместо переменных $x$ и $y$ соответственно обращает его в верное числовое равенство.
Ответ: Решением уравнения с двумя переменными является упорядоченная пара значений этих переменных, которая обращает данное уравнение в верное числовое равенство.

Покажите, что пара (2; 4) является решением уравнения $xy = 2x + y$, а пара (3; 4) не является.
Чтобы проверить, является ли пара чисел решением уравнения, нужно подставить значения из этой пары в уравнение и посмотреть, получится ли верное равенство.

Проверка для пары (2; 4):
Подставим в уравнение $xy = 2x + y$ значения $x = 2$ и $y = 4$.
Левая часть: $2 \cdot 4 = 8$.
Правая часть: $2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 = 8$.
Получили верное равенство: $8 = 8$.
Следовательно, пара чисел (2; 4) является решением данного уравнения.

Проверка для пары (3; 4):
Подставим в уравнение $xy = 2x + y$ значения $x = 3$ и $y = 4$.
Левая часть: $3 \cdot 4 = 12$.
Правая часть: $2 \cdot 3 + 4 = 6 + 4 = 10$.
Получили неверное равенство: $12 \neq 10$.
Следовательно, пара чисел (3; 4) не является решением данного уравнения.

Ответ: Пара (2; 4) является решением, так как при подстановке получается верное равенство $8 = 8$. Пара (3; 4) не является решением, так как при подстановке получается неверное равенство $12 = 10$.

Какая из пар: $(-10; -5)$ или $(-5; -10)$ – является решением уравнения $x - 2y = 15$?

Чтобы определить, какая из предложенных пар является решением уравнения $x - 2y = 15$, необходимо подставить координаты $x$ и $y$ из каждой пары в уравнение и проверить, выполняется ли полученное равенство.

(-10; -5)

Проверим пару чисел, в которой $x = -10$ и $y = -5$.
Подставим эти значения в левую часть уравнения:
$x - 2y = -10 - 2 \cdot (-5) = -10 + 10 = 0$.
Сравним полученный результат с правой частью уравнения: $0 \neq 15$.
Равенство не выполняется, следовательно, пара $(-10; -5)$ не является решением уравнения.

(-5; -10)

Проверим пару чисел, в которой $x = -5$ и $y = -10$.
Подставим эти значения в левую часть уравнения:
$x - 2y = -5 - 2 \cdot (-10) = -5 + 20 = 15$.
Сравним полученный результат с правой частью уравнения: $15 = 15$.
Равенство выполняется, следовательно, пара $(-5; -10)$ является решением уравнения.

Ответ: решением уравнения является пара $(-5; -10)$.

Убедитесь, что точка (3; 10) принадлежит графику уравнения $10x - y = 20$. Дайте алгебраическое истолкование этого факта, используя термин «решение уравнения».

Убедитесь, что точка (3; 10) принадлежит графику уравнения $10x - y = 20$.

Чтобы проверить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику уравнения, необходимо подставить значения этих координат в уравнение. Для точки $(3; 10)$ имеем $x=3$ и $y=10$.

Подставим эти значения в левую часть уравнения $10x - y = 20$:

$10 \cdot 3 - 10 = 30 - 10 = 20$

В результате мы получили $20 = 20$, что является верным числовым равенством.

Ответ: Поскольку подстановка координат точки $(3; 10)$ в уравнение $10x - y = 20$ приводит к верному равенству, точка принадлежит графику данного уравнения.

Дайте алгебраическое истолкование этого факта, используя термин «решение уравнения».

График уравнения с двумя переменными — это геометрическое изображение множества всех точек на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

В алгебре пара значений переменных, которая обращает уравнение в верное числовое равенство, называется решением уравнения.

Так как пара чисел $x=3$ и $y=10$ обращает уравнение $10x - y = 20$ в верное равенство $20=20$, то эта пара является его решением.

Ответ: Алгебраическое истолкование того факта, что точка $(3; 10)$ принадлежит графику уравнения $10x - y = 20$, заключается в том, что упорядоченная пара чисел $(3; 10)$ является решением этого уравнения.

Убедитесь, что пара чисел $(-5; 3)$ является решением уравнения $xy = -15$. Дайте геометрическое истолкование этого факта, используя термин «график уравнения».

Убедитесь, что пара чисел (-5; 3) является решением уравнения $xy = -15$.

Чтобы убедиться, что пара чисел $(-5; 3)$ является решением уравнения, необходимо подставить эти числа в уравнение вместо переменных $x$ и $y$. В данной паре $x = -5$, а $y = 3$.

Подставляем значения в левую часть уравнения $xy = -15$:

$(-5) \cdot 3 = -15$

В результате вычисления мы получили $-15$. Это значение совпадает со значением в правой части уравнения. Так как равенство $-15 = -15$ является верным, то пара чисел $(-5; 3)$ действительно является решением данного уравнения.

Ответ: Пара чисел $(-5; 3)$ является решением уравнения, так как при подстановке $x = -5$ и $y = 3$ в уравнение $xy = -15$ получается верное числовое равенство: $(-5) \cdot 3 = -15$.

Дайте геометрическое истолкование этого факта, используя термин «график уравнения».

График уравнения с двумя переменными — это множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых $(x; y)$ являются решениями этого уравнения. Каждой паре чисел, являющейся решением уравнения, соответствует точка на его графике, и наоборот, каждая точка на графике имеет координаты, которые являются решением уравнения.

Так как пара чисел $(-5; 3)$ является решением уравнения $xy = -15$, то, согласно определению, точка с координатами $(-5; 3)$ принадлежит графику этого уравнения. Геометрически это означает, что если построить график функции $y = -15/x$ (который представляет собой гиперболу), то точка с абсциссой $-5$ и ординатой $3$ будет лежать на одной из ветвей этой гиперболы.

Ответ: Геометрическое истолкование этого факта состоит в том, что точка с координатами $(-5; 3)$ лежит на графике уравнения $xy = -15$.

Графиком какого из уравнений: $\frac{x}{2} + y = 5$ или $\frac{2}{x} + y = 5$ - является прямая?

Назовите коэффициенты $a$, $b$ и $c$ в уравнении прямой.

Графиком прямой является линейное уравнение. Общий вид линейного уравнения с двумя переменными — $ax + by + c = 0$, где $x$ и $y$ — переменные в первой степени, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты).

1. Проанализируем первое уравнение: $\frac{x}{2} + y = 5$.
Его можно переписать в виде $\frac{1}{2}x + 1 \cdot y - 5 = 0$. В этом уравнении переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени, что полностью соответствует определению линейного уравнения. Следовательно, его графиком является прямая.

2. Проанализируем второе уравнение: $\frac{2}{x} + y = 5$.
В этом уравнении переменная $x$ находится в знаменателе, что эквивалентно степени $-1$ ($2x^{-1} + y = 5$). Такое уравнение не является линейным. Его графиком будет кривая линия (гипербола), а не прямая.

Ответ: Прямая является графиком уравнения $\frac{x}{2} + y = 5$.

Мы установили, что уравнение прямой — это $\frac{x}{2} + y = 5$. Для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ необходимо привести это уравнение к общему виду $ax + by + c = 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$\frac{x}{2} + y - 5 = 0$

Теперь представим это уравнение в виде, явно показывающем коэффициенты при переменных и свободный член:
$\frac{1}{2} \cdot x + 1 \cdot y + (-5) = 0$

Сравнивая полученное уравнение с общим видом $ax + by + c = 0$, мы можем определить значения коэффициентов:
$a = \frac{1}{2}$
$b = 1$
$c = -5$

Ответ: Коэффициенты в уравнении прямой: $a = \frac{1}{2}$, $b = 1$, $c = -5$.

8.1 1) Проверьте, является ли пара чисел $(-2; 2)$ решением уравнения:
a) $x - y = -4$; б) $x + 2 = 2y$; в) $x^2 - y = 2$.

2) Какая из указанных пар чисел не является решением уравнения $xy + x = 2$:
а) $(-2; 2)$; б) $(0,5; 3)$; в) $(-3; -1)$; г) $(-0,5; -5)$?

1)

Для проверки того, является ли пара чисел $(-2; 2)$ решением, необходимо подставить значения $x = -2$ и $y = 2$ в каждое из уравнений.

а) $x - y = -4$

Подставляем значения: $(-2) - 2 = -4$.

Выполняем вычисления в левой части: $-4 = -4$.

Получено верное равенство, следовательно, пара чисел $(-2; 2)$ является решением этого уравнения.

Ответ: является.

б) $x + 2 = 2y$

Подставляем значения: $(-2) + 2 = 2 \cdot 2$.

Выполняем вычисления в обеих частях: $0 = 4$.

Получено неверное равенство, следовательно, пара чисел $(-2; 2)$ не является решением этого уравнения.

Ответ: не является.

в) $x^2 - y = 2$

Подставляем значения: $(-2)^2 - 2 = 2$.

Выполняем вычисления в левой части: $4 - 2 = 2$, что приводит к $2 = 2$.

Получено верное равенство, следовательно, пара чисел $(-2; 2)$ является решением этого уравнения.

Ответ: является.

2)

Для того чтобы определить, какая из указанных пар чисел не является решением уравнения $xy + x = 2$, необходимо проверить каждую из предложенных пар путем подстановки.

а) (-2; 2)

Подставляем $x = -2$ и $y = 2$ в уравнение: $(-2) \cdot 2 + (-2) = -4 - 2 = -6$.

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $-6 \neq 2$. Следовательно, эта пара не является решением.

б) (0,5; 3)

Подставляем $x = 0,5$ и $y = 3$ в уравнение: $0,5 \cdot 3 + 0,5 = 1,5 + 0,5 = 2$.

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $2 = 2$. Следовательно, эта пара является решением.

в) (-3; -1)

Подставляем $x = -3$ и $y = -1$ в уравнение: $(-3) \cdot (-1) + (-3) = 3 - 3 = 0$.

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $0 \neq 2$. Следовательно, эта пара не является решением.

г) (-0,5; -5)

Подставляем $x = -0,5$ и $y = -5$ в уравнение: $(-0,5) \cdot (-5) + (-0,5) = 2,5 - 0,5 = 2$.

Сравниваем результат с правой частью уравнения: $2 = 2$. Следовательно, эта пара является решением.

По результатам проверки видно, что две пары чисел, а) и в), не являются решениями уравнения. Так как в вопросе ("Какая из...") обычно предполагается один правильный ответ, в условии задачи, вероятно, допущена опечатка. Обе указанные пары являются верными ответами.

Ответ: а) (-2; 2) и в) (-3; -1).

8.2 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Какие из утверждений являются верными? Неверные утверждения переформулируйте так, чтобы они стали верными:

1) Пара чисел (-1; 3) является решением уравнения $x + 2y = 5$.

2) Пара чисел (-2; -1) не является решением уравнения $x^2 + 4y = 8$.

3) Пара чисел (-4; 3) не является решением уравнения $\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = 0$.

1) Чтобы проверить, является ли пара чисел $(-1; 3)$ решением уравнения $x + 2y = 5$, нужно подставить значения $x = -1$ и $y = 3$ в это уравнение. Выполняем подстановку: $(-1) + 2 \cdot 3 = -1 + 6 = 5$. В результате мы получаем верное равенство $5 = 5$. Это означает, что данная пара чисел действительно является решением уравнения. Таким образом, утверждение верное.
Ответ: утверждение верное.

2) Чтобы проверить утверждение, что пара чисел $(-2; -1)$ не является решением уравнения $x^2 + 4y = 8$, подставим $x = -2$ и $y = -1$ в левую часть уравнения. Получаем: $(-2)^2 + 4 \cdot (-1) = 4 - 4 = 0$. Правая часть уравнения равна 8. Так как $0 \neq 8$, данная пара чисел не является решением уравнения. Следовательно, исходное утверждение, что пара не является решением, верное.
Ответ: утверждение верное.

3) Чтобы проверить утверждение, что пара чисел $(-4; 3)$ не является решением уравнения $\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = 0$, подставим $x = -4$ и $y = 3$ в левую часть уравнения. Получаем: $\frac{-4}{2} + \frac{2 \cdot 3}{3} = -2 + \frac{6}{3} = -2 + 2 = 0$. Правая часть уравнения равна 0. Так как $0 = 0$, равенство верное, и данная пара чисел является решением уравнения. Следовательно, исходное утверждение неверное. Для того чтобы утверждение стало верным, его нужно переформулировать, убрав отрицание.
Ответ: утверждение неверное. Верная формулировка: "Пара чисел $(-4; 3)$ является решением уравнения $\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = 0$".

8.3 Какие из данных уравнений являются линейными?

1) $2x + 3y = 6$

2) $5x - 2y = 0$

3) $\frac{2}{x} + \frac{7}{y} = 1$

4) $3xy + 2y = 2$

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Для того чтобы уравнение было линейным, переменные должны входить в него только в первой степени, не должно быть произведений переменных (например, $xy$) и деления на переменные.

Проанализируем каждое из предложенных уравнений:

1) $2x + 3y = 6$

Это уравнение полностью соответствует стандартному виду линейного уравнения $ax + by = c$, где $a=2$, $b=3$ и $c=6$. Переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени, отсутствуют их произведения и деление на них. Следовательно, это уравнение является линейным.

Ответ: является линейным.

2) $5x - 2y = 0$

Это уравнение также соответствует стандартному виду $ax + by = c$, где $a=5$, $b=-2$ и $c=0$. Все условия для линейного уравнения выполнены: переменные в первой степени, нет их произведения или деления на них. Следовательно, это уравнение является линейным.

Ответ: является линейным.

3) $\frac{2}{x} + \frac{7}{y} = 1$

В этом уравнении переменные $x$ и $y$ находятся в знаменателе, что эквивалентно их отрицательной степени ($2x^{-1} + 7y^{-1} = 1$). Это нарушает требование о том, что переменные должны быть в первой степени. Такое уравнение не является линейным.

Ответ: не является линейным.

4) $3xy + 2y = 2$

Это уравнение содержит член $3xy$, который является произведением переменных $x$ и $y$. Наличие такого члена делает уравнение нелинейным, так как оно не может быть представлено в стандартном виде $ax + by = c$.

Ответ: не является линейным.