Страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

8.4 Найдите несколько решений уравнения, предварительно выразив одну переменную через другую:

а) $x + y = 20$;

б) $4x + y = 0$;

в) $2x - y + 10 = 0$;

г) $x - 3y + 1 = 0$.

а) В уравнении $x + y = 20$ выразим переменную $y$ через $x$. Для этого перенесем $x$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$y = 20 - x$

Теперь найдем несколько решений, подставляя произвольные значения для $x$ и вычисляя соответствующее значение $y$.

• Если $x = 10$, то $y = 20 - 10 = 10$. Решение: $(10; 10)$.
• Если $x = 5$, то $y = 20 - 5 = 15$. Решение: $(5; 15)$.
• Если $x = 0$, то $y = 20 - 0 = 20$. Решение: $(0; 20)$.

Ответ: например, $(10; 10)$, $(5; 15)$, $(0; 20)$.

б) В уравнении $4x + y = 0$ выразим переменную $y$ через $x$:

$y = -4x$

Подберем несколько пар чисел $(x; y)$, которые являются решениями, подставляя произвольные значения для $x$.

• Если $x = 1$, то $y = -4 \cdot 1 = -4$. Решение: $(1; -4)$.
• Если $x = -2$, то $y = -4 \cdot (-2) = 8$. Решение: $(-2; 8)$.
• Если $x = 0$, то $y = -4 \cdot 0 = 0$. Решение: $(0; 0)$.

Ответ: например, $(1; -4)$, $(-2; 8)$, $(0; 0)$.

в) В уравнении $2x - y + 10 = 0$ выразим переменную $y$ через $x$. Для этого перенесем $y$ в правую часть уравнения:

$2x + 10 = y$, что то же самое, что и $y = 2x + 10$.

Теперь найдем несколько решений, придавая $x$ произвольные значения.

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 10 = 10$. Решение: $(0; 10)$.
• Если $x = -5$, то $y = 2 \cdot (-5) + 10 = -10 + 10 = 0$. Решение: $(-5; 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 + 10 = 12$. Решение: $(1; 12)$.

Ответ: например, $(0; 10)$, $(-5; 0)$, $(1; 12)$.

г) В уравнении $x - 3y + 1 = 0$ удобнее выразить переменную $x$ через $y$, чтобы избежать дробных выражений:

$x = 3y - 1$

Теперь будем задавать произвольные значения для $y$ и находить соответствующие значения $x$.

• Если $y = 0$, то $x = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Решение: $(-1; 0)$.
• Если $y = 1$, то $x = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. Решение: $(2; 1)$.
• Если $y = -1$, то $x = 3 \cdot (-1) - 1 = -3 - 1 = -4$. Решение: $(-4; -1)$.

Ответ: например, $(-1; 0)$, $(2; 1)$, $(-4; -1)$.

8.5 На рисунке 8.5 изображён график уравнения $2x + y = 5$. Найдите с помощью графика несколько решений этого уравнения, составленных из целых чисел. Проверьте подстановкой, правильно ли вы указали решения.

Замечание. Как и любой график уравнения с двумя переменными, этот график даёт нам все решения уравнения. Но определить их достаточно точно можно только для «хороших» точек (проходящих через узлы сетки). В остальных случаях, скорее всего, ответ будет приближённым. Поэтому всегда полезно проверить подстановкой, насколько точно найдено решение.

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ (8.6-8.7)

Рис. 8.5

Найдем с помощью графика несколько решений этого уравнения, составленных из целых чисел.
Решениями уравнения $2x + y = 5$ являются координаты точек, лежащих на изображенной прямой. Чтобы найти решения, состоящие из целых чисел, необходимо найти на графике точки, которые лежат на прямой и одновременно находятся в узлах координатной сетки (на пересечении линий).
Рассмотрим график и определим координаты нескольких таких точек:
- При $x = -1$ прямая проходит через точку, где $y = 7$. Получаем решение $(-1, 7)$.
- При $x = 0$ прямая пересекает ось $y$ в точке $y = 5$. Получаем решение $(0, 5)$.
- При $x = 1$ прямая проходит через точку, где $y = 3$. Получаем решение $(1, 3)$.
- При $x = 2$ прямая проходит через точку, где $y = 1$. Получаем решение $(2, 1)$.
- При $x = 3$ прямая проходит через точку, где $y = -1$. Получаем решение $(3, -1)$.
Ответ: Несколько решений уравнения, составленных из целых чисел: $(-1, 7)$, $(0, 5)$, $(1, 3)$, $(2, 1)$, $(3, -1)$.

Проверим подстановкой, правильно ли мы указали решения.
Для проверки подставим найденные пары чисел $(x, y)$ в исходное уравнение $2x + y = 5$.
- Для пары $(-1, 7)$: $2 \cdot (-1) + 7 = -2 + 7 = 5$. Равенство $5 = 5$ является верным.
- Для пары $(0, 5)$: $2 \cdot 0 + 5 = 0 + 5 = 5$. Равенство $5 = 5$ является верным.
- Для пары $(1, 3)$: $2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$. Равенство $5 = 5$ является верным.
- Для пары $(2, 1)$: $2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5$. Равенство $5 = 5$ является верным.
- Для пары $(3, -1)$: $2 \cdot 3 + (-1) = 6 - 1 = 5$. Равенство $5 = 5$ является верным.
Все найденные по графику пары чисел являются точными решениями уравнения, что подтверждается проверкой.
Ответ: Да, указанные решения являются правильными.

8.6 Постройте прямую, являющуюся графиком уравнения, найдя точки пересечения с осями координат:

а) $x + y = 5;$

б) $x - y = 3;$

в) $x - y + 1 = 0;$

г) $x + y + 4 = 0.$

а) Для построения прямой, являющейся графиком уравнения $x + y = 5$, необходимо найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Удобнее всего находить точки пересечения с осями координат.
1. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox). В этой точке координата $y$ равна нулю. Подставим $y=0$ в уравнение:
$x + 0 = 5$
$x = 5$
Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(5; 0)$.
2. Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy). В этой точке координата $x$ равна нулю. Подставим $x=0$ в уравнение:
$0 + y = 5$
$y = 5$
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; 5)$.
Отметив на координатной плоскости точки $(5; 0)$ и $(0; 5)$ и проведя через них прямую, мы получим график заданного уравнения.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(5; 0)$ и $(0; 5)$.

б) Для построения графика уравнения $x - y = 3$ найдем его точки пересечения с осями координат.
1. Пересечение с осью Ox (при $y = 0$):
$x - 0 = 3$
$x = 3$
Точка пересечения — $(3; 0)$.
2. Пересечение с осью Oy (при $x = 0$):
$0 - y = 3$
$-y = 3$
$y = -3$
Точка пересечения — $(0; -3)$.
Прямая проходит через точки $(3; 0)$ и $(0; -3)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(3; 0)$ и $(0; -3)$.

в) Для построения графика уравнения $x - y + 1 = 0$ найдем его точки пересечения с осями координат.
1. Пересечение с осью Ox (при $y = 0$):
$x - 0 + 1 = 0$
$x = -1$
Точка пересечения — $(-1; 0)$.
2. Пересечение с осью Oy (при $x = 0$):
$0 - y + 1 = 0$
$-y = -1$
$y = 1$
Точка пересечения — $(0; 1)$.
Прямая проходит через точки $(-1; 0)$ и $(0; 1)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(-1; 0)$ и $(0; 1)$.

г) Для построения графика уравнения $x + y + 4 = 0$ найдем его точки пересечения с осями координат.
1. Пересечение с осью Ox (при $y = 0$):
$x + 0 + 4 = 0$
$x = -4$
Точка пересечения — $(-4; 0)$.
2. Пересечение с осью Oy (при $x = 0$):
$0 + y + 4 = 0$
$y = -4$
Точка пересечения — $(0; -4)$.
Прямая проходит через точки $(-4; 0)$ и $(0; -4)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(-4; 0)$ и $(0; -4)$.

8.7 Постройте прямую, заданную уравнением (воспользуйтесь любым способом):

а) $3x - y = 6;$

б) $2x + y = 10;$

в) $2x + 3y = -6;$

г) $3x - 4y = 12.$

а) $3x - y = 6$

Для построения прямой, заданной уравнением, достаточно найти координаты двух точек, удовлетворяющих этому уравнению. Удобно найти точки пересечения прямой с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение:

$3 \cdot 0 - y = 6$

$-y = 6$

$y = -6$

Таким образом, первая точка имеет координаты $(0; -6)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$). Для этого подставим $y = 0$ в уравнение:

$3x - 0 = 6$

$3x = 6$

$x = 2$

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(2; 0)$.

Чтобы построить график, нужно отметить на координатной плоскости точки $(0; -6)$ и $(2; 0)$ и провести через них прямую.

Ответ: Прямая, проходящая через точки с координатами $(0; -6)$ и $(2; 0)$.

б) $2x + y = 10$

Чтобы построить прямую, найдем две точки, через которые она проходит. Самый простой способ — найти точки пересечения с осями $Ox$ и $Oy$.

1. Найдем точку пересечения с осью $Oy$ (при $x = 0$):

$2 \cdot 0 + y = 10$

$y = 10$

Первая точка имеет координаты $(0; 10)$.

2. Найдем точку пересечения с осью $Ox$ (при $y = 0$):

$2x + 0 = 10$

$2x = 10$

$x = 5$

Вторая точка имеет координаты $(5; 0)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0; 10)$ и $(5; 0)$ и проводим через них прямую.

Ответ: Прямая, проходящая через точки с координатами $(0; 10)$ и $(5; 0)$.

в) $2x + 3y = -6$

Для построения графика функции найдем координаты двух любых ее точек. Возьмем точки пересечения с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x = 0$:

$2 \cdot 0 + 3y = -6$

$3y = -6$

$y = -2$

Координаты первой точки: $(0; -2)$.

2. Найдем точку пересечения с осью $Ox$, подставив $y = 0$:

$2x + 3 \cdot 0 = -6$

$2x = -6$

$x = -3$

Координаты второй точки: $(-3; 0)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0; -2)$ и $(-3; 0)$ и проводим через них прямую.

Ответ: Прямая, проходящая через точки с координатами $(0; -2)$ и $(-3; 0)$.

г) $3x - 4y = 12$

Построим прямую по двум точкам. В качестве точек выберем точки пересечения с осями координат.

1. Точка пересечения с осью $Oy$ ($x = 0$):

$3 \cdot 0 - 4y = 12$

$-4y = 12$

$y = -3$

Координаты первой точки: $(0; -3)$.

2. Точка пересечения с осью $Ox$ ($y = 0$):

$3x - 4 \cdot 0 = 12$

$3x = 12$

$x = 4$

Координаты второй точки: $(4; 0)$.

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0; -3)$ и $(4; 0)$ и проводим через них прямую.

Ответ: Прямая, проходящая через точки с координатами $(0; -3)$ и $(4; 0)$.

8.8 Запишите уравнение прямой, если известны коэффициенты $a$, $b$ и $c$, и постройте эту прямую:

а) $a = 0, b = 2, c = -5;$

б) $a = 2, b = 0, c = -10;$

в) $a = 2, b = 4, c = 0;$

г) $a = 4, b = 2, c = 0.$

Общий вид уравнения прямой в декартовых координатах задается формулой $ax + by + c = 0$, где $x$ и $y$ — координаты точек на прямой, а $a, b, c$ — заданные коэффициенты.

Даны коэффициенты: $a = 0, b = 2, c = -5$.

Подставляем эти значения в общее уравнение прямой:

$0 \cdot x + 2 \cdot y + (-5) = 0$

Упрощаем и получаем уравнение нашей прямой:

$2y - 5 = 0$

Можно выразить $y$ для удобства построения графика:

$2y = 5$

$y = 2.5$

Это уравнение описывает горизонтальную прямую, все точки которой имеют ординату (координату $y$) равную 2.5. Эта прямая параллельна оси абсцисс (Ox) и пересекает ось ординат (Oy) в точке $(0; 2.5)$.

График прямой $y = 2.5$:

Ответ: Уравнение прямой: $2y - 5 = 0$. График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через точку $(0; 2.5)$ параллельно оси Ox.

Даны коэффициенты: $a = 2, b = 0, c = -10$.

Подставляем значения в общее уравнение:

$2 \cdot x + 0 \cdot y + (-10) = 0$

Упрощаем:

$2x - 10 = 0$

Выразим $x$:

$2x = 10$

$x = 5$

Это уравнение описывает вертикальную прямую, все точки которой имеют абсциссу (координату $x$) равную 5. Эта прямая параллельна оси ординат (Oy) и пересекает ось абсцисс (Ox) в точке $(5; 0)$.

График прямой $x=5$:

Ответ: Уравнение прямой: $2x - 10 = 0$. График представляет собой вертикальную линию, проходящую через точку $(5; 0)$ параллельно оси Oy.

Даны коэффициенты: $a = 2, b = 4, c = 0$.

Подставляем значения в общее уравнение:

$2 \cdot x + 4 \cdot y + 0 = 0$

$2x + 4y = 0$

Упростим уравнение, разделив обе части на 2:

$x + 2y = 0$

Выразим $y$ через $x$:

$2y = -x \implies y = -\frac{1}{2}x$

Так как $c = 0$, прямая проходит через начало координат $(0; 0)$. Для построения найдем еще одну точку. Например, при $x=4$:

$y = -\frac{1}{2} \cdot 4 = -2$

Таким образом, прямая проходит через точки $(0; 0)$ и $(4; -2)$.

График прямой $y = -\frac{1}{2}x$:

Ответ: Уравнение прямой: $2x + 4y = 0$. График — прямая, проходящая через начало координат и, например, точку $(4; -2)$.

Даны коэффициенты: $a = 4, b = 2, c = 0$.

Подставляем значения в общее уравнение:

$4 \cdot x + 2 \cdot y + 0 = 0$

$4x + 2y = 0$

Упростим, разделив на 2:

$2x + y = 0$

Выразим $y$ через $x$:

$y = -2x$

Эта прямая также проходит через начало координат $(0; 0)$. Найдем вторую точку, взяв, например, $x=2$:

$y = -2 \cdot 2 = -4$

Таким образом, прямая проходит через точки $(0; 0)$ и $(2; -4)$.

График прямой $y=-2x$:

Ответ: Уравнение прямой: $4x + 2y = 0$. График — прямая, проходящая через начало координат и, например, точку $(2; -4)$.