Страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.75 a) $3a^2 - 6a + 3;$

б) $ay^2 - 2ay + a;$

в) $8x^2 + 16xy + 8y^2;$

г) $-2a^2 - 4ab - 2b^2;$

д) $nx^2 + 4nx + 4n;$

е) $4x^2y - 4xy + y.$

а) $3a^2 - 6a + 3$

Для разложения данного многочлена на множители первым шагом вынесем общий числовой множитель 3 за скобки:

$3a^2 - 6a + 3 = 3(a^2 - 2a + 1)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $a^2 - 2a + 1$. Это выражение является полным квадратом разности и соответствует формуле сокращенного умножения $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = a$ и $y = 1$. Проверим: $x^2 = a^2$, $2xy = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$, $y^2 = 1^2 = 1$.

Таким образом, $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.

Подставив это в наше выражение, получаем окончательный результат:

$3(a - 1)^2$

Ответ: $3(a-1)^2$

б) $ay^2 - 2ay + a$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ay^2 - 2ay + a = a(y^2 - 2y + 1)$

Выражение в скобках $y^2 - 2y + 1$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x = y$ и $y = 1$. Проверим: $x^2 = y^2$, $2xy = 2 \cdot y \cdot 1 = 2y$, $y^2 = 1^2 = 1$.

Следовательно, $y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2$.

Окончательное разложение на множители:

$a(y - 1)^2$

Ответ: $a(y-1)^2$

в) $8x^2 + 16xy + 8y^2$

Вынесем общий числовой множитель 8 за скобки:

$8x^2 + 16xy + 8y^2 = 8(x^2 + 2xy + y^2)$

Выражение в скобках $x^2 + 2xy + y^2$ является полным квадратом суммы и соответствует формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = x$ и $b = y$.

Таким образом, $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.

В результате получаем:

$8(x + y)^2$

Ответ: $8(x+y)^2$

г) $-2a^2 - 4ab - 2b^2$

Вынесем общий множитель -2 за скобки, чтобы в скобках все коэффициенты стали положительными:

$-2a^2 - 4ab - 2b^2 = -2(a^2 + 2ab + b^2)$

Выражение в скобках $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x = a$ и $y = b$.

Значит, $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Окончательное разложение:

$-2(a + b)^2$

Ответ: $-2(a+b)^2$

д) $nx^2 + 4nx + 4n$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$nx^2 + 4nx + 4n = n(x^2 + 4x + 4)$

Рассмотрим выражение в скобках $x^2 + 4x + 4$. Это полный квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 2$. Проверим: $a^2 = x^2$, $2ab = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$, $b^2 = 2^2 = 4$.

Таким образом, $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$.

Подставив это в наше выражение, получаем:

$n(x + 2)^2$

Ответ: $n(x+2)^2$

е) $4x^2y - 4xy + y$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$4x^2y - 4xy + y = y(4x^2 - 4x + 1)$

Выражение в скобках $4x^2 - 4x + 1$ является полным квадратом разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 2x$ и $b = 1$. Проверим: $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$, $2ab = 2 \cdot (2x) \cdot 1 = 4x$, $b^2 = 1^2 = 1$.

Следовательно, $4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$.

В результате получаем:

$y(2x - 1)^2$

Ответ: $y(2x-1)^2$

7.76 a) $2x^3 + 2y^3$;

Б) $-3a^3 - 3b^3$;

В) $am^3 - an^3$;

Г) $2m^3 - 16$;

Д) $5 + 5b^3$;

е) $-c^4 + 27c$.

Для решения данных задач необходимо разложить многочлены на множители. Основным методом будет вынесение общего множителя за скобки с последующим применением формул сокращенного умножения, а именно суммы и разности кубов:

• Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

а) $2x^3 + 2y^3$

Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(x^3 + y^3)$

Теперь к выражению в скобках применим формулу суммы кубов:

$2(x+y)(x^2 - xy + y^2)$

Ответ: $2(x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

б) $-3a^3 - 3b^3$

Вынесем общий множитель -3 за скобки:

$-3(a^3 + b^3)$

Применим формулу суммы кубов для выражения в скобках:

$-3(a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Ответ: $-3(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

в) $am^3 - an^3$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(m^3 - n^3)$

К выражению в скобках применим формулу разности кубов:

$a(m-n)(m^2 + mn + n^2)$

Ответ: $a(m-n)(m^2 + mn + n^2)$.

г) $2m^3 - 16$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(m^3 - 8)$

Представим число 8 как куб числа 2, то есть $8 = 2^3$. Выражение примет вид:

$2(m^3 - 2^3)$

Теперь применим формулу разности кубов:

$2(m-2)(m^2 + m \cdot 2 + 2^2) = 2(m-2)(m^2 + 2m + 4)$

Ответ: $2(m-2)(m^2 + 2m + 4)$.

д) $5 + 5b^3$

Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5(1 + b^3)$

Представим число 1 как $1^3$, чтобы получить сумму кубов:

$5(1^3 + b^3)$

Применим формулу суммы кубов:

$5(1+b)(1^2 - 1 \cdot b + b^2) = 5(1+b)(1 - b + b^2)$

Ответ: $5(1+b)(1 - b + b^2)$.

е) $-c^4 + 27c$

Вынесем общий множитель $-c$ за скобки (можно вынести и $c$, но вынесение $-c$ сразу приведет к стандартному виду разности кубов):

$-c(c^3 - 27)$

Представим число 27 как куб числа 3, то есть $27 = 3^3$:

$-c(c^3 - 3^3)$

Применим формулу разности кубов к выражению в скобках:

$-c(c-3)(c^2 + c \cdot 3 + 3^2) = -c(c-3)(c^2 + 3c + 9)$

Ответ: $-c(c-3)(c^2 + 3c + 9)$.

7.77 а) $a^4 - b^4$;

б) $x^4 - x^2$;

В) $n^4 - 16$;

Г) $a^4 - 9a^2$;

Д) $1 - c^4$;

е) $x^2 - 16x^4$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $a^4 - b^4$, представим его как разность квадратов.
$a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$.
Следовательно, $a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^2$ и $y = b^2$:
$(a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.
Выражение $a^2 - b^2$ также является разностью квадратов, поэтому его можно разложить дальше:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Выражение $a^2 + b^2$ (сумма квадратов) не раскладывается на множители в действительных числах.
Таким образом, итоговое разложение:
$a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.
Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$.

б) В выражении $x^4 - x^2$ вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1)$.
Выражение в скобках $x^2 - 1$ является разностью квадратов, так как $1 = 1^2$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x$ и $b = 1$:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$x^2(x^2 - 1) = x^2(x - 1)(x + 1)$.
Ответ: $x^2(x - 1)(x + 1)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $n^4 - 16$, представим его как разность квадратов.
$n^4 = (n^2)^2$ и $16 = 4^2$.
Следовательно, $n^4 - 16 = (n^2)^2 - 4^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = n^2$ и $y = 4$:
$(n^2)^2 - 4^2 = (n^2 - 4)(n^2 + 4)$.
Выражение $n^2 - 4$ также является разностью квадратов, так как $4 = 2^2$. Разложим его:
$n^2 - 4 = (n - 2)(n + 2)$.
Выражение $n^2 + 4$ (сумма квадратов) не раскладывается на множители в действительных числах.
Таким образом, итоговое разложение:
$n^4 - 16 = (n - 2)(n + 2)(n^2 + 4)$.
Ответ: $(n - 2)(n + 2)(n^2 + 4)$.

г) В выражении $a^4 - 9a^2$ вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:
$a^4 - 9a^2 = a^2(a^2 - 9)$.
Выражение в скобках $a^2 - 9$ является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$.
Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a$ и $y = 3$:
$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$a^2(a^2 - 9) = a^2(a - 3)(a + 3)$.
Ответ: $a^2(a - 3)(a + 3)$.

д) Чтобы разложить на множители выражение $1 - c^4$, представим его как разность квадратов.
$1 = 1^2$ и $c^4 = (c^2)^2$.
Следовательно, $1 - c^4 = 1^2 - (c^2)^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 1$ и $y = c^2$:
$1^2 - (c^2)^2 = (1 - c^2)(1 + c^2)$.
Выражение $1 - c^2$ также является разностью квадратов. Разложим его:
$1 - c^2 = (1 - c)(1 + c)$.
Выражение $1 + c^2$ (сумма квадратов) не раскладывается на множители в действительных числах.
Таким образом, итоговое разложение:
$1 - c^4 = (1 - c)(1 + c)(1 + c^2)$.
Ответ: $(1 - c)(1 + c)(1 + c^2)$.

е) В выражении $x^2 - 16x^4$ вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2 - 16x^4 = x^2(1 - 16x^2)$.
Выражение в скобках $1 - 16x^2$ является разностью квадратов, так как $1 = 1^2$ и $16x^2 = (4x)^2$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 1$ и $b = 4x$:
$1 - 16x^2 = (1 - 4x)(1 + 4x)$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$x^2(1 - 16x^2) = x^2(1 - 4x)(1 + 4x)$.
Ответ: $x^2(1 - 4x)(1 + 4x)$.

Разложите на множители (7.78–7.85).

7.78 a) $x^8 - y^8$;

б) $a^8 - b^4$;

в) $x^4 - x^8$;

г) $a^9 - 1$;

д) $x^6 - 2^6$;

е) $a^6 - 1.

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^8 - y^8$, будем последовательно применять формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим $x^8$ как $(x^4)^2$ и $y^8$ как $(y^4)^2$:
$x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$.
Теперь разложим множитель $(x^4 - y^4)$, который также является разностью квадратов:
$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.
Продолжим с множителем $(x^2 - y^2)$:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Собираем все вместе:
$x^8 - y^8 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$.
Множители $(x^2 + y^2)$ и $(x^4 + y^4)$ дальше не раскладываются на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$.

б) Разложим на множители выражение $a^8 - b^4$, используя формулу разности квадратов.

Представим $a^8$ как $(a^4)^2$ и $b^4$ как $(b^2)^2$:
$a^8 - b^4 = (a^4)^2 - (b^2)^2 = (a^4 - b^2)(a^4 + b^2)$.
Множитель $(a^4 - b^2)$ также является разностью квадратов:
$a^4 - b^2 = (a^2)^2 - b^2 = (a^2 - b)(a^2 + b)$.
Подставляем обратно в исходное разложение:
$a^8 - b^4 = (a^2 - b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)$.

Ответ: $(a^2 - b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $x^4 - x^8$, сначала вынесем общий множитель за скобки.

Общий множитель здесь $x^4$:
$x^4 - x^8 = x^4(1 - x^4)$.
Выражение в скобках $1 - x^4$ является разностью квадратов:
$1 - x^4 = 1^2 - (x^2)^2 = (1 - x^2)(1 + x^2)$.
Множитель $(1 - x^2)$ также является разностью квадратов:
$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$.
Собираем все вместе:
$x^4 - x^8 = x^4(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)$.

Ответ: $x^4(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)$.

г) Разложим на множители выражение $a^9 - 1$. Его можно представить как разность кубов.

Используем формулу разности кубов $u^3 - v^3 = (u - v)(u^2 + uv + v^2)$, где $u = a^3$ и $v = 1$:
$a^9 - 1 = (a^3)^3 - 1^3 = (a^3 - 1)((a^3)^2 + a^3 \cdot 1 + 1^2) = (a^3 - 1)(a^6 + a^3 + 1)$.
Теперь разложим множитель $(a^3 - 1)$, который также является разностью кубов:
$a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = (a - 1)(a^2 + a + 1)$.
Многочлен $a^6 + a^3 + 1$ не раскладывается на более простые множители с целыми коэффициентами. Таким образом, окончательное разложение:
$a^9 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + a^3 + 1)$.

Ответ: $(a - 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + a^3 + 1)$.

д) Разложим на множители выражение $x^6 - 2^6$. Это можно сделать двумя способами: как разность квадратов или как разность кубов. Проще начать с разности квадратов.

Представим выражение как разность квадратов $(x^3)^2 - (2^3)^2$:
$x^6 - 2^6 = (x^3)^2 - (2^3)^2 = (x^3 - 2^3)(x^3 + 2^3)$.
Теперь применяем формулу разности кубов для первого множителя и формулу суммы кубов для второго:
$x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.
$x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.
Собираем все множители вместе:
$x^6 - 2^6 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$.

Ответ: $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$.

е) Разложим на множители выражение $a^6 - 1$. Этот пример аналогичен предыдущему.

Представим выражение как разность квадратов $(a^3)^2 - 1^2$:
$a^6 - 1 = (a^3)^2 - 1^2 = (a^3 - 1)(a^3 + 1)$.
Применим формулу разности кубов к $(a^3 - 1)$ и формулу суммы кубов к $(a^3 + 1)$:
$a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$.
$a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)$.
Объединяем все множители:
$a^6 - 1 = (a - 1)(a + 1)(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)$.

Ответ: $(a - 1)(a + 1)(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)$.

7.79 a) $x^2y + 2xy^2 + y^3$;

Б) $a^3x - 4a^2x + 4ax$;

В) $-9ay^2 - 6ay - a$;

Г) $6bc^2 - 3b^2c - 3c^3$.

а) В выражении $x^2y + 2xy^2 + y^3$ первым шагом является вынесение общего множителя за скобки. Общим множителем для всех членов является $y$. После вынесения $y$ получаем:
$y(x^2 + 2xy + y^2)$
Выражение в скобках, $x^2 + 2xy + y^2$, представляет собой полный квадрат суммы. Согласно формуле сокращенного умножения $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, где в нашем случае $a=x$ и $b=y$, мы можем свернуть это выражение:
$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$
Таким образом, итоговое разложение на множители выглядит как $y(x+y)^2$.
Ответ: $y(x+y)^2$

б) В выражении $a^3x - 4a^2x + 4ax$ вынесем за скобки общий множитель $ax$. Это наибольший общий делитель для всех членов многочлена. Получаем:
$ax(a^2 - 4a + 4)$
Выражение в скобках, $a^2 - 4a + 4$, является полным квадратом разности. Используя формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$, где $a=a$ и $b=2$, получаем:
$a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$
Следовательно, окончательный вид разложения: $ax(a-2)^2$.
Ответ: $ax(a-2)^2$

в) В многочлене $-9ay^2 - 6ay - a$ вынесем за скобки общий множитель $-a$. Вынесение знака "минус" упростит выражение в скобках:
$-a(9y^2 + 6y + 1)$
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $9y^2 + 6y + 1$. Его можно представить в виде $(3y)^2 + 2 \cdot (3y) \cdot 1 + 1^2$. Это соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, где $a=3y$ и $b=1$. Таким образом:
$9y^2 + 6y + 1 = (3y+1)^2$
В результате получаем разложение $-a(3y+1)^2$.
Ответ: $-a(3y+1)^2$

г) Для выражения $6bc^2 - 3b^2c - 3c^3$ найдем и вынесем общий множитель $3c$ за скобки:
$3c(2bc - b^2 - c^2)$
Выражение в скобках, $2bc - b^2 - c^2$, похоже на квадрат разности, но со знаками наоборот. Вынесем множитель $-1$ из скобок, чтобы привести его к стандартному виду:
$3c \cdot (-1) \cdot (-2bc + b^2 + c^2) = -3c(b^2 - 2bc + c^2)$
Теперь выражение в скобках $b^2 - 2bc + c^2$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=b$ и $b=c$.
Таким образом, окончательное разложение на множители: $-3c(b-c)^2$.
Ответ: $-3c(b-c)^2$

7.80 а) $b^2 - c^2 - b + c;$

б) $a + b - a^2 + b^2;$

В) $a^2 - a - c^2 + c;$

Г) $m - m^2 - n + n^2.$

а)

Чтобы разложить на множители выражение $b^2 - c^2 - b + c$, применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых, вынеся знак минус за скобки у второй группы.
$b^2 - c^2 - b + c = (b^2 - c^2) - (b - c)$.
Первая скобка представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$(b-c)(b+c) - (b-c)$.
Теперь мы видим общий множитель $(b-c)$, который можно вынести за скобку:
$(b-c)((b+c) - 1) = (b-c)(b+c-1)$.
Ответ: $(b-c)(b+c-1)$.

б)

Чтобы разложить на множители выражение $a + b - a^2 + b^2$, сгруппируем слагаемые следующим образом: $(a+b) + (b^2 - a^2)$.
Вторая группа является разностью квадратов, раскладываем ее по формуле $y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$:
$(a+b) + (b-a)(b+a)$.
Так как $a+b = b+a$, мы можем вынести общий множитель $(a+b)$ за скобку:
$(a+b)(1 + (b-a)) = (a+b)(1+b-a)$.
Ответ: $(a+b)(1+b-a)$.

в)

Разложим на множители выражение $a^2 - a - c^2 + c$. Сгруппируем слагаемые с квадратами и слагаемые в первой степени:
$(a^2 - c^2) + (-a + c) = (a^2 - c^2) - (a - c)$.
Применяем формулу разности квадратов к первой скобке:
$(a-c)(a+c) - (a-c)$.
Выносим общий множитель $(a-c)$ за скобку:
$(a-c)((a+c)-1) = (a-c)(a+c-1)$.
Ответ: $(a-c)(a+c-1)$.

г)

Разложим на множители выражение $m - m^2 - n + n^2$. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(m-n) + (n^2 - m^2)$.
Выражение во второй скобке является разностью квадратов: $n^2 - m^2 = (n-m)(n+m)$.
Получаем: $(m-n) + (n-m)(n+m)$.
Заметим, что $(m-n) = -(n-m)$. Заменим это в выражении:
$-(n-m) + (n-m)(n+m)$.
Теперь вынесем общий множитель $(n-m)$ за скобки:
$(n-m)(-1 + (n+m)) = (n-m)(n+m-1)$.
Ответ: $(n-m)(n+m-1)$.

7.81 а) $a^3 + a^2 - a - 1;$

б) $b^2 - bc - a^2 + ac;$

В) $ab^2 + cd^2 - ad^2 - b^2c;$

Г) $x^2y^2 + 1 - y^2 - x^2.$

а)

Для разложения на множители многочлена $a^3 + a^2 - a - 1$ применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(a^3 + a^2) - (a + 1)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы выносим $a^2$, из второй $-1$:

$a^2(a + 1) - 1(a + 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(a + 1)$ за скобки:

$(a + 1)(a^2 - 1)$

Выражение в скобках $(a^2 - 1)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$(a + 1)(a - 1)(a + 1)$

Сгруппировав одинаковые множители, получим окончательный вид:

$(a - 1)(a + 1)^2$

Ответ: $(a - 1)(a + 1)^2$

б)

Рассмотрим выражение $b^2 - bc - a^2 + ac$. Для разложения на множители используем метод группировки. Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить общие множители. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(b^2 - a^2) + (ac - bc)$

Первая группа $(b^2 - a^2)$ является разностью квадратов. Разложим ее. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $c$:

$(b - a)(b + a) + c(a - b)$

Заметим, что $(a - b) = -(b - a)$. Заменим $(a - b)$ в выражении:

$(b - a)(b + a) - c(b - a)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(b - a)$ за скобки:

$(b - a)(b + a - c)$

Ответ: $(b - a)(b + a - c)$

в)

Для разложения на множители выражения $ab^2 + cd^2 - ad^2 - b^2c$ применим метод группировки. Переставим слагаемые для удобства группировки. Сгруппируем слагаемые с $b^2$ и слагаемые с $d^2$:

$(ab^2 - b^2c) + (cd^2 - ad^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $b^2$, из второй $d^2$:

$b^2(a - c) + d^2(c - a)$

Так как $(c - a) = -(a - c)$, преобразуем выражение:

$b^2(a - c) - d^2(a - c)$

Вынесем общий множитель $(a - c)$ за скобки:

$(a - c)(b^2 - d^2)$

Выражение $(b^2 - d^2)$ является разностью квадратов, разложим его на множители:

$(a - c)(b - d)(b + d)$

Ответ: $(a - c)(b - d)(b + d)$

г)

Рассмотрим выражение $x^2y^2 + 1 - y^2 - x^2$. Для разложения на множители перегруппируем слагаемые:

$(x^2y^2 - x^2) + (1 - y^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $x^2$:

$x^2(y^2 - 1) + (1 - y^2)$

Заметим, что $(1 - y^2) = -(y^2 - 1)$, и преобразуем выражение:

$x^2(y^2 - 1) - 1(y^2 - 1)$

Вынесем общий множитель $(y^2 - 1)$ за скобки:

$(y^2 - 1)(x^2 - 1)$

Оба множителя в скобках являются разностями квадратов. Разложим каждый из них:

$(y - 1)(y + 1)(x - 1)(x + 1)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(y - 1)(y + 1)$

7.82 a) $a^3 + b^3 - a^2b - ab^2;$

Б) $xy^2 + x^2y - x^3 - y^3;$

В) $n^4 + an^3 - n - a;$

Г) $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.$

а) $a^3 + b^3 - a^2b - ab^2$

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые. Удобнее всего сгруппировать первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(a^3 - a^2b) + (b^3 - ab^2)$

Вынесем общий множитель из каждой скобки. Из первой скобки вынесем $a^2$, а из второй $-b^2$, чтобы получить в скобках одинаковое выражение $(a - b)$:

$a^2(a - b) - b^2(a - b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a - b)(a^2 - b^2)$

Выражение во второй скобке является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a - b)(a - b)(a + b) = (a - b)^2(a + b)$

Ответ: $(a - b)^2(a + b)$.

б) $xy^2 + x^2y - x^3 - y^3$

Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:

$(xy^2 - y^3) + (x^2y - x^3)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $y^2$, из второй $-x^2$:

$y^2(x - y) - x^2(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(y^2 - x^2)$

Выражение во второй скобке является разностью квадратов: $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$.

$(x - y)(y - x)(y + x)$

Заметим, что $(y - x) = -(x - y)$, поэтому можем переписать выражение:

$(x - y)(-(x - y))(x + y) = -(x - y)^2(x + y)$

Ответ: $-(x - y)^2(x + y)$.

в) $n^4 + an^3 - n - a$

Сгруппируем слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым:

$(n^4 + an^3) + (-n - a)$

Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой вынесем $n^3$, из второй $-1$:

$n^3(n + a) - 1(n + a)$

Вынесем общий множитель $(n+a)$ за скобки:

$(n + a)(n^3 - 1)$

Выражение во второй скобке является разностью кубов, которую можно разложить по формуле $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$:

$(n + a)(n - 1)(n^2 + n \cdot 1 + 1^2) = (n + a)(n - 1)(n^2 + n + 1)$

Ответ: $(n + a)(n - 1)(n^2 + n + 1)$.

г) $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Данное выражение представляет собой известную формулу сокращенного умножения, а именно куб разности.

Формула куба разности имеет вид: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Применяя эту формулу для нашего случая, где $x=a$ и $y=b$, получаем:

$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3$

Ответ: $(a - b)^3$.

7.83 a) $ax + ay - x^2 - 2xy - y^2$;

б) $a^2 - 2ab + b^2 - a + b$;

в) $a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$;

г) $9a^4 + 6a^2c + c^2 - 9$;

д) $ma^2 - m^3 - 2m^2 - m$;

е) $4x^5 + 4x^3y + xy^2 - 4x$.

а) Для разложения на множители выражения $ax + ay - x^2 - 2xy - y^2$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние три: $(ax + ay) + (-x^2 - 2xy - y^2)$.
Вынесем общий множитель $a$ из первой скобки и $-1$ из второй: $a(x + y) - (x^2 + 2xy + y^2)$.
Выражение во второй скобке является формулой полного квадрата суммы: $(x+y)^2$.
Подставим его в наше выражение: $a(x + y) - (x + y)^2$.
Теперь вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки: $(x + y)(a - (x + y))$.
Раскроем внутренние скобки и получим окончательный вид: $(x + y)(a - x - y)$.
Ответ: $(x + y)(a - x - y)$

б) В выражении $a^2 - 2ab + b^2 - a + b$ сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют формулу квадрата разности: $(a-b)^2$.
Выражение принимает вид: $(a-b)^2 - a + b$.
Сгруппируем последние два слагаемых, вынеся за скобку $-1$: $(a-b)^2 - (a - b)$.
Теперь можно вынести за скобку общий множитель $(a-b)$: $(a-b)((a-b) - 1)$.
Упростим выражение во второй скобке.
Ответ: $(a - b)(a - b - 1)$

в) В выражении $a^2 - b^2 - c^2 + 2bc$ сгруппируем последние три слагаемых, вынеся за скобки знак минус: $a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(b-c)^2$.
Таким образом, мы получаем выражение вида: $a^2 - (b - c)^2$.
Это формула разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=a$ и $B=(b-c)$.
Применим эту формулу: $(a - (b - c))(a + (b - c))$.
Раскрыв внутренние скобки, получаем результат.
Ответ: $(a - b + c)(a + b - c)$

г) Рассмотрим выражение $9a^4 + 6a^2c + c^2 - 9$. Первые три члена представляют собой полный квадрат суммы, так как $9a^4 = (3a^2)^2$, $c^2 = (c)^2$ и $6a^2c = 2 \cdot (3a^2) \cdot c$.
Сгруппируем их: $(9a^4 + 6a^2c + c^2) - 9 = (3a^2 + c)^2 - 9$.
Теперь перед нами разность квадратов, так как $9 = 3^2$. Получаем: $(3a^2 + c)^2 - 3^2$.
Применим формулу разности квадратов: $((3a^2 + c) - 3)((3a^2 + c) + 3)$.
Ответ: $(3a^2 + c - 3)(3a^2 + c + 3)$

д) В выражении $ma^2 - m^3 - 2m^2 - m$ первым делом вынесем общий множитель $m$ за скобки: $m(a^2 - m^2 - 2m - 1)$.
Теперь сгруппируем члены внутри скобок, вынеся минус у последних трех: $m(a^2 - (m^2 + 2m + 1))$.
Выражение $m^2 + 2m + 1$ является полным квадратом суммы $(m+1)^2$.
Получаем: $m(a^2 - (m + 1)^2)$.
В скобках образовалась разность квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=a$ и $B=(m+1)$: $m(a - (m+1))(a + (m+1))$.
Раскроем внутренние скобки.
Ответ: $m(a - m - 1)(a + m + 1)$

е) В выражении $4x^5 + 4x^3y + xy^2 - 4x$ вынесем за скобки общий множитель $x$: $x(4x^4 + 4x^2y + y^2 - 4)$.
Первые три слагаемых в скобках, $4x^4 + 4x^2y + y^2$, образуют полный квадрат суммы, так как $4x^4 = (2x^2)^2$, $y^2 = (y)^2$ и $4x^2y = 2 \cdot (2x^2) \cdot y$.
Выражение в скобках принимает вид: $((2x^2 + y)^2 - 4)$.
Это разность квадратов, так как $4 = 2^2$: $((2x^2 + y)^2 - 2^2)$.
Применяем формулу разности квадратов: $x((2x^2 + y - 2)(2x^2 + y + 2))$.
Ответ: $x(2x^2 + y - 2)(2x^2 + y + 2)$

7.84 a) $x^2(x - 3) + 10x(x - 3) + 25(x - 3);$

б) $4c^2(c + 2) + 9(c + 2) - 12c(c + 2);$

в) $a^2 - 25 - 2a(a^2 - 25) + a^2(a^2 - 25);$

г) $6x(y^2 - 1) + 9x^2(y^2 - 1) - 1 + y^2.$

а) Данное выражение $x^2(x - 3) + 10x(x - 3) + 25(x - 3)$.
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:
$(x - 3)(x^2 + 10x + 25)$.
Выражение во второй скобке $x^2 + 10x + 25$ представляет собой полный квадрат суммы. Применим формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В нашем случае $a = x$ и $b = 5$, так как $x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$.
Следовательно, $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.
Окончательный вид выражения: $(x - 3)(x + 5)^2$.
Ответ: $(x - 3)(x + 5)^2$.

б) Данное выражение $4c^2(c + 2) + 9(c + 2) - 12c(c + 2)$.
Вынесем общий множитель $(c + 2)$ за скобки:
$(c + 2)(4c^2 + 9 - 12c)$.
Перегруппируем слагаемые во второй скобке: $(c + 2)(4c^2 - 12c + 9)$.
Выражение во второй скобке $4c^2 - 12c + 9$ является полным квадратом разности. Применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В нашем случае $a = 2c$ и $b = 3$, так как $(2c)^2 - 2 \cdot (2c) \cdot 3 + 3^2 = 4c^2 - 12c + 9$.
Следовательно, $4c^2 - 12c + 9 = (2c - 3)^2$.
Окончательный вид выражения: $(c + 2)(2c - 3)^2$.
Ответ: $(c + 2)(2c - 3)^2$.

в) Данное выражение $a^2 - 25 - 2a(a^2 - 25) + a^2(a^2 - 25)$.
Вынесем общий множитель $(a^2 - 25)$ за скобки, представив первый член как $1 \cdot (a^2 - 25)$:
$(a^2 - 25)(1 - 2a + a^2)$.
Разложим на множители каждый из сомножителей в скобках.
Первый множитель $a^2 - 25$ — это разность квадратов. По формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ получаем:
$a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$.
Второй множитель $1 - 2a + a^2$ или $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом разности. По формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ получаем:
$a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.
Объединив результаты, получаем окончательное разложение: $(a - 5)(a + 5)(a - 1)^2$.
Ответ: $(a - 5)(a + 5)(a - 1)^2$.

г) Данное выражение $6x(y^2 - 1) + 9x^2(y^2 - 1) - 1 + y^2$.
Сгруппируем последние два члена: $-1 + y^2 = y^2 - 1$. Выражение принимает вид:
$6x(y^2 - 1) + 9x^2(y^2 - 1) + 1 \cdot (y^2 - 1)$.
Вынесем общий множитель $(y^2 - 1)$ за скобки:
$(y^2 - 1)(6x + 9x^2 + 1)$.
Перегруппируем слагаемые во второй скобке: $(y^2 - 1)(9x^2 + 6x + 1)$.
Разложим на множители каждый из сомножителей в скобках.
Первый множитель $y^2 - 1$ — это разность квадратов. По формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ получаем:
$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$.
Второй множитель $9x^2 + 6x + 1$ является полным квадратом суммы. По формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ получаем:
$9x^2 + 6x + 1 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = (3x + 1)^2$.
Объединив результаты, получаем окончательное разложение: $(y - 1)(y + 1)(3x + 1)^2$.
Ответ: $(y - 1)(y + 1)(3x + 1)^2$.

7.85 a) $(a - x)(x^2 - y^2) - (x - y)(a^2 - x^2);$

б) $(a - x)(x^3 - y^3) - (x - y)(a^3 - x^3).$

а) $(a - x)(x^2 - y^2) - (x - y)(a^2 - x^2)$

Для решения данной задачи воспользуемся формулой разности квадратов: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$.

Разложим на множители выражения в скобках:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

$a^2 - x^2 = (a - x)(a + x)$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$(a - x)(x - y)(x + y) - (x - y)(a - x)(a + x)$

Как видим, оба слагаемых имеют общий множитель $(a - x)(x - y)$. Вынесем его за скобки:

$(a - x)(x - y) \cdot ((x + y) - (a + x))$

Теперь упростим выражение во вторых скобках, раскрыв их:

$(x + y) - (a + x) = x + y - a - x = y - a$

В результате получаем произведение трех множителей:

$(a - x)(x - y)(y - a)$

Ответ: $(a - x)(x - y)(y - a)$

б) $(a - x)(x^3 - y^3) - (x - y)(a^3 - x^3)$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой разности кубов: $m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$.

Разложим на множители выражения в скобках:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

$a^3 - x^3 = (a - x)(a^2 + ax + x^2)$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$(a - x)(x - y)(x^2 + xy + y^2) - (x - y)(a - x)(a^2 + ax + x^2)$

Вынесем общий множитель $(a - x)(x - y)$ за скобки:

$(a - x)(x - y) \cdot ((x^2 + xy + y^2) - (a^2 + ax + x^2))$

Упростим выражение в больших скобках, раскрыв их и приведя подобные слагаемые:

$(x^2 + xy + y^2) - (a^2 + ax + x^2) = x^2 + xy + y^2 - a^2 - ax - x^2 = y^2 - a^2 + xy - ax$

Сгруппируем слагаемые в полученном выражении и разложим его на множители методом группировки:

$(y^2 - a^2) + (xy - ax) = (y - a)(y + a) + x(y - a)$

Вынесем общий множитель $(y - a)$ за скобки:

$(y - a)(y + a + x)$

Теперь соберем все множители вместе:

$(a - x)(x - y)(y - a)(a + x + y)$

Ответ: $(a - x)(x - y)(y - a)(a + x + y)$

7.86 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Трёхчлен $x^2 - 6x + 8$ можно разложить на множители, выделив квадрат двучлена:

$x^2 - 6x + 8 = x^2 - 6x + 8 + 1 - 1 = (x^2 - 6x + 9) - 1 = (x - 3)^2 - 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2).$

Разложите на множители трёхчлен:

а) $a^2 + 4a - 5$;

б) $x^2 - 2x - 24$;

в) $a^2 + 8a + 15$.

а) Чтобы разложить на множители трёхчлен $a^2 + 4a - 5$, применим метод выделения полного квадрата. Для этого нам нужно преобразовать выражение $a^2 + 4a$ в полный квадрат. Формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$, а $2xy = 4a$, откуда $2ay = 4a$, значит $y=2$. Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $y^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем это число:
$a^2 + 4a - 5 = a^2 + 4a + 4 - 4 - 5$
Теперь сгруппируем первые три слагаемых, чтобы свернуть их по формуле квадрата суммы, и вычислим остаток:
$(a^2 + 4a + 4) - 9 = (a + 2)^2 - 9$
Полученное выражение является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. В нашем случае $x = a+2$ и $y = 3$:
$(a + 2)^2 - 3^2 = (a + 2 - 3)(a + 2 + 3) = (a - 1)(a + 5)$
Ответ: $(a - 1)(a + 5)$.

б) Разложим на множители трёхчлен $x^2 - 2x - 24$, выделив полный квадрат. Для выражения $x^2 - 2x$ воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$, а $2ab = 2x$, значит $b=1$. Нам не хватает слагаемого $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1:
$x^2 - 2x - 24 = x^2 - 2x + 1 - 1 - 24$
Сгруппируем и свернём полный квадрат:
$(x^2 - 2x + 1) - 25 = (x - 1)^2 - 25$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x-1$ и $b = 5$:
$(x - 1)^2 - 5^2 = (x - 1 - 5)(x - 1 + 5) = (x - 6)(x + 4)$
Ответ: $(x - 6)(x + 4)$.

в) Разложим на множители трёхчлен $a^2 + 8a + 15$ методом выделения полного квадрата. Для выражения $a^2 + 8a$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Здесь $x=a$, а $2xy = 8a$, значит $y=4$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $y^2 = 4^2 = 16$. Добавим и вычтем 16:
$a^2 + 8a + 15 = a^2 + 8a + 16 - 16 + 15$
Сгруппируем слагаемые и свернём полный квадрат:
$(a^2 + 8a + 16) - 1 = (a + 4)^2 - 1$
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a+4$ и $y = 1$:
$(a + 4)^2 - 1^2 = (a + 4 - 1)(a + 4 + 1) = (a + 3)(a + 5)$
Ответ: $(a + 3)(a + 5)$.