Номер 5, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 7. Разложение многочленов на множители. Чему вы научились. Это надо знать - номер 5, страница 212.

Условие.

5 Запишите формулу разности кубов и докажите её. Покажите на примере выражения $8 - 27y^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Запишите формулу разности кубов

Формула разности кубов двух выражений $a$ и $b$ — это тождество, которое позволяет разложить разность кубов на множители. Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Формула имеет следующий вид:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Докажите её

Для доказательства формулы разности кубов необходимо показать, что правая часть равенства $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ тождественно равна левой. Для этого выполним умножение многочленов в правой части:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2)$

Раскроем скобки:

$a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$

В результате преобразований правая часть формулы оказалась равна левой части ($a^3 - b^3 = a^3 - b^3$), что и доказывает тождество.

Ответ: Доказательство основано на раскрытии скобок в правой части формулы $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$, что после приведения подобных слагаемых дает $a^3 - b^3$, то есть левую часть формулы.

Покажите на примере выражения $8 - 27y^3$, как применить эту формулу для разложения его на множители

Чтобы разложить на множители выражение $8 - 27y^3$ с помощью формулы разности кубов, сначала представим его в виде $a^3 - b^3$.

1. Определим, что будет играть роль $a$. Первое слагаемое $8$ можно представить как куб числа $2$, то есть $8 = 2^3$. Значит, $a = 2$.

2. Определим, что будет играть роль $b$. Второе слагаемое $27y^3$ можно представить как куб выражения $3y$, то есть $27y^3 = (3y)^3$. Значит, $b = 3y$.

3. Теперь подставим значения $a = 2$ и $b = 3y$ в формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$8 - 27y^3 = 2^3 - (3y)^3 = (2 - 3y)(2^2 + 2 \cdot (3y) + (3y)^2)$

4. Выполним вычисления во второй скобке, чтобы получить окончательный вид разложения:

$(2 - 3y)(4 + 6y + 9y^2)$

Таким образом, выражение $8 - 27y^3$ разложено на два множителя.

Ответ: $8 - 27y^3 = (2 - 3y)(4 + 6y + 9y^2)$.