Номер 7.98, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение уравнений с помощью разложения на множители. Глава 7. Разложение многочленов на множители - номер 7.98, страница 209.

Условие.

7.98 а) $3x(x - 1) + (x^2 - 1) = 0;$

б) $2(y - 1) - (1 - y)^2 = 0;$

В) $3(x - 2) + (x^2 - 4) = 0;$

Г) $(y - 3)^2 - 4(3 - y) = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $3x(x - 1) + (x^2 - 1) = 0$

Для решения этого уравнения разложим выражение $(x^2 - 1)$ на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Теперь подставим это разложение в исходное уравнение:

$3x(x - 1) + (x - 1)(x + 1) = 0$

Мы видим общий множитель $(x - 1)$, который можно вынести за скобки:

$(x - 1)(3x + (x + 1)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 1)(4x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас есть два случая:

1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

2) $4x + 1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x_2 = -1/4$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1/4$.

б) $2(y - 1) - (1 - y)^2 = 0$

Заметим, что $(1 - y)^2$ и $(y - 1)^2$ равны, так как $(1 - y) = -(y - 1)$, а квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного. Заменим $(1 - y)^2$ на $(y - 1)^2$:

$2(y - 1) - (y - 1)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:

$(y - 1)(2 - (y - 1)) = 0$

Раскроем скобки во втором множителе:

$(y - 1)(2 - y + 1) = 0$

$(y - 1)(3 - y) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $y - 1 = 0 \implies y_1 = 1$

2) $3 - y = 0 \implies y_2 = 3$

Ответ: $y_1 = 1, y_2 = 3$.

в) $3(x - 2) + (x^2 - 4) = 0$

Используем формулу разности квадратов для разложения выражения $(x^2 - 4)$:

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

Подставим это в уравнение:

$3(x - 2) + (x - 2)(x + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(3 + (x + 2)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 2)(3 + x + 2) = 0$

$(x - 2)(x + 5) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$

2) $x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -5$.

г) $(y - 3)^2 - 4(3 - y) = 0$

Преобразуем выражение $(3 - y)$, вынеся знак минус за скобку: $3 - y = -(y - 3)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(y - 3)^2 - 4(-(y - 3)) = 0$

$(y - 3)^2 + 4(y - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 3)$ за скобки:

$(y - 3)((y - 3) + 4) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(y - 3)(y + 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $y - 3 = 0 \implies y_1 = 3$

2) $y + 1 = 0 \implies y_2 = -1$

Ответ: $y_1 = 3, y_2 = -1$.